Đại số và số học cho học sinh giỏi: rút gọn, số dư, tổng đối xứng và số nguyên tố
Bốn chìa khóa cho ba bài đại số và số học của học sinh giỏi: điều kiện xác định, số dư đa thức, tổng đối xứng và phương trình nghiệm nguyên tố, có bài tập…
Toán 9 · Học sinh giỏi · Đại số và số học
Đại số và số học cho học sinh giỏi: bốn chìa khóa cho ba bài toán
Ba bài đầu của một bộ bài nâng cao hiếm khi cần phép tính dài. Chúng cần bốn thói quen: tìm miền xác định, thay nghiệm của đa thức chia (phương pháp thay giá trị đặc biệt), giữ bài ở mức tổng đối xứng, và ép phương trình nguyên về bài toán chia hết. Bài học này đi qua từng thói quen bằng ví dụ có lí do từng bước.
90 phút Mức: giỏi Bài luyện LUKATO nâng cao
Em sẽ học: rút gọn phân thức mà không đánh mất điều kiện, tìm số dư bằng nội suy, tính tổng lũy thừa từ hai dữ kiện, và giải phương trình với số nguyên tố bằng cách xét ước.
1 Ba bài toán, bốn chìa khóa
Trước khi giải, hãy nhìn cả đề một lượt: mỗi bài có một dấu hiệu riêng, và dấu hiệu ấy chỉ ra công cụ cần dùng.
GV
Cô Lukato
Chào các em. Cô là cô Lukato. Đây là bạn Minh, học trò của cô, người sẽ hay hỏi thay các em. Ba bài dưới đây không khó vì tính toán; chúng khó vì mỗi bài giấu một điều kiện hoặc một cấu trúc. Ai nhìn ra cấu trúc trước thì tính rất ít.
Đề bài (bài luyện LUKATO)
Bài 1. Cho biểu thức A={\large\tfrac{x^{2}+x}{x^{2}-2x+1}}:\left({\large\tfrac{x+1}{x}}-{\large\tfrac{1}{1-x}}+{\large\tfrac{2-x^{2}}{x^{2}-x}}\right). a) Rút gọn A và nêu điều kiện xác định. b) Tìm các số nguyên x để A là số nguyên.
Bài 2. a) Đa thức f(x) chia cho x-1 dư 2, chia cho x+2 dư 3. Tìm số dư khi chia f(x) cho x^{2}+x-2. b) Cho a+b+c=0 và a^{2}+b^{2}+c^{2}=14. Tính a^{4}+b^{4}+c^{4}.
Bài 3. Tìm các số nguyên tố p, q và số nguyên x sao cho x^{5}+px+3q=0.
Hình 1. Bốn chìa khóa. Mỗi chìa khóa xử lí một dấu hiệu riêng của đề: mẫu số, dư của đa thức, tổng đối xứng, số nguyên tố.
Ghi chú
Đây là bài luyện do LUKATO tự soạn. Để khỏi nhầm: “Bài 1”, “Bài 2a”, “Bài 2b”, “Bài 3” là các bài toán gốc trong đề ở mục 1; các bài luyện tập tự chấm được đánh số riêng, từ “Câu 1” đến “Câu 33”. Mọi kết quả (rút gọn, số dư, tổng lũy thừa, các bộ nghiệm) đều có lời giải đầy đủ và phép thử lại để em tự kiểm tra.
Dấu hiệu trong đề chỉ ra công cụ nào
Dấu hiệu trong đề · Chìa khóa và việc cần làm ngay
Nhiều phân thức, có phép chia · Miền xác định. Liệt kê mọi mẫu và mọi số chia phải khác 0.
Cho số dư theo từng nhân tử x-\alpha · Thay giá trị đặc biệt. Đặt R(x)=ax+b, thay x bằng nghiệm của đa thức chia.
Chỉ cho tổng, cho tổng bình phương · Tổng đối xứng. Tính ab+bc+ca rồi bình phương lên.
Có chữ "nguyên tố" trong phương trình nguyên · Chia hết. Đưa về "ước của một số có ít ước".
Minh
Trong đề có chữ "nguyên tố". Mình nhớ ngay: số nguyên tố chỉ có đúng hai ước dương. Ít ước thì ít trường hợp, và ít trường hợp thì làm được.
Ba câu kiểm tra đầu vào
Biểu thức \dfrac{1}{x-2}:\dfrac{x+3}{x} xác định khi và chỉ khi
Sai: mới dùng mẫu x-2; còn mẫu x của số chia và điều kiện số chia khác 0.
Sai: thiếu điều kiện số chia \dfrac{x+3}{x}\ne 0, tức x\ne -3.
Đúng: x-2\ne 0; x\ne 0 để số chia có nghĩa; và {\large\tfrac{x+3}{x}}\ne 0 nên x\ne -3.
Sai: thiếu x\ne 0, mẫu của số chia.
Số dư khi chia một đa thức cho x^{2}-1 có dạng nào?
Sai: bậc của số dư luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
Sai: dạng số dư luôn xác định: bậc nhỏ hơn bậc đa thức chia.
Sai: hằng số là số dư khi chia cho đa thức bậc 1; chia cho bậc hai thì số dư có thể còn chứa x.
Đúng: số dư có bậc nhỏ hơn bậc 2 của đa thức chia, nên là ax+b.
Với p là một số nguyên tố.
a) Nếu p là số chẵn thì p=2.
Đúng: mọi số chẵn lớn hơn 2 đều chia hết cho 2 nên có ước 2 khác 1 và khác chính nó.
b) Số 1 là số nguyên tố.
Sai: số nguyên tố phải có đúng hai ước dương; số 1 chỉ có một ước.
c) Số 3p có đúng bốn ước dương với mọi số nguyên tố p.
Sai: khi p=3, số 9 chỉ có ba ước dương là 1, 3, 9.
d) Nếu p\ne 2 thì p lẻ.
Đúng: số nguyên tố khác 2 không chẵn.
2 Chìa khóa 1: miền xác định và rút gọn phân thức (Bài 1)
Một biểu thức chỉ có nghĩa khi mọi mẫu số khác không, và khi ta chia cho một biểu thức thì biểu thức đó cũng phải khác không. Điều kiện phải được viết trước khi rút gọn.
Tại sao nghĩ ra hướng này
Đề có nhiều phân thức cộng, trừ, rồi chia. Nếu quy đồng cả một lúc, số hạng rất dài. Cách khôn ngoan hơn là làm bốn việc theo thứ tự: (1) liệt kê tất cả những gì bị cấm; (2) phân tích mọi tử và mẫu thành nhân tử; (3) đổi dấu để các mẫu giống nhau; (4) quy đồng phần trong ngoặc, rồi mới chia.
Điều kiện xác định
Biểu thức xác định khi mọi mẫu số khác 0 và mọi biểu thức đứng làm số chia khác 0 . Điều kiện luôn nói về biểu thức ban đầu , kể cả khi sau đó nó rút gọn được.
Ví dụ 1 · Rút gọn A và tìm điều kiện xác định
Các mẫu số trong đề: x; 1-x; x^{2}-x=x(x-1); x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Vậy x\ne 0 và x\ne 1.
Vì sao làm bước này: lấy điều kiện từ tất cả các mẫu của đề bài, chưa rút gọn gì cả.
Phân tích: x^{2}+x=x(x+1) và x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Đổi dấu: -{\large\tfrac{1}{1-x}}=+{\large\tfrac{1}{x-1}}.
Vì sao làm bước này: 1-x và x-1 là hai số đối nhau; đổi dấu để mẫu chung là x(x-1).
Quy đồng phần trong ngoặc với mẫu chung x(x-1): {\large\tfrac{(x+1)(x-1)+x+(2-x^{2})}{x(x-1)}}={\large\tfrac{x^{2}-1+x+2-x^{2}}{x(x-1)}}={\large\tfrac{x+1}{x(x-1)}}.
Vì sao làm bước này: các số hạng x^{2} triệt tiêu; đây là bước mà tính nhầm dấu dễ xảy ra nhất.
Số chia là {\large\tfrac{x+1}{x(x-1)}}, nó phải khác 0: x\ne -1. Điều kiện đầy đủ: x\ne 0, x\ne 1, x\ne -1.
Vì sao làm bước này: điều kiện ẩn: phép chia chỉ có nghĩa khi số chia khác 0, dù đề không ghi.
Chia là nhân với nghịch đảo: A={\large\tfrac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}}\cdot{\large\tfrac{x(x-1)}{x+1}}={\large\tfrac{x^{2}}{x-1}}.
Vì sao làm bước này: rút gọn thừa số chung x+1 và x-1; an toàn vì đã biết chúng khác 0.
Bẫy: rút gọn trước, điều kiện sau
Rút gọn xong mới tìm điều kiện. Biểu thức {\large\tfrac{x^{2}}{x-1}} trông có nghĩa tại x=0 và x=-1, nhưng biểu thức ban đầu thì không. Thử x=-1: phần trong ngoặc bằng 0-{\large\tfrac{1}{2}}+{\large\tfrac{1}{2}}=0, nên phép chia cho 0 vô nghĩa. Thử x=0: mẫu x bằng 0.
Hình 2. Đồ thị của A={\large\tfrac{x^{2}}{x-1}}. Hai vòng rỗng đỏ (x=0 và x=-1) là các điểm phải bỏ vì biểu thức ban đầu không xác định; chấm xanh là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2 · Tìm x nguyên để A nguyên
Chia đa thức: x^{2}=(x-1)(x+1)+1, nên A=x+1+\dfrac{1}{x-1}.
Vì sao làm bước này: tách phần nguyên; phần còn lại chỉ còn một hằng số ở tử.
Vì x nguyên nên x+1 nguyên. Vậy A nguyên khi và chỉ khi {\large\tfrac{1}{x-1}} nguyên, tức x-1 là ước của 1.
Vì sao làm bước này: tổng của một số nguyên và một số khác chỉ nguyên khi số khác đó nguyên.
x-1\in\{1;-1\}, suy ra x=2 hoặc x=0.
Vì sao làm bước này: ước nguyên của 1 chỉ có 1 và -1.
Đối chiếu miền xác định: x=0 bị loại. Còn x=2, khi đó A=4.
Vì sao làm bước này: nghiệm của bài toán phụ phải qua cửa kiểm tra miền xác định.
Thử lại trong đề bài: x=2 cho {\large\tfrac{x^{2}+x}{x^{2}-2x+1}}={\large\tfrac{6}{1}}=6 và ngoặc ={\large\tfrac{3}{2}}+1-1={\large\tfrac{3}{2}}. Vậy A=6:{\large\tfrac{3}{2}}=4.
Vì sao làm bước này: thử trực tiếp vào đề bài là cách chắc chắn nhất để bắt lỗi rút gọn.
Minh
Cô ơi, sao mình không xét luôn “x-1 là ước của x^{2}” cho nhanh ạ?
GV
Cô Lukato
Vì x^{2} cũng đổi theo x, nên không có con số cố định để liệt kê ước. Sau khi tách phần nguyên, tử chỉ còn hằng số 1, và một hằng số thì chỉ có hữu hạn ước. Đó là lí do ta luôn đưa bài về "ước của một hằng số".
Tách phần nguyên
Muốn tìm x nguyên để {\large\tfrac{P(x)}{x-a}} nguyên: chia P(x) cho x-a để được {\large\tfrac{P(x)}{x-a}}=Q(x)+{\large\tfrac{r}{x-a}} với r=P(a) là hằng số, rồi giải x-a\mid r.
Kiểm tra nhanh
Với biểu thức A của Bài 1, điều kiện xác định đầy đủ là
Đúng: ba giá trị 0, 1, -1 đều làm biểu thức gốc mất nghĩa.
Sai: mới xét mẫu x; còn mẫu x-1 và điều kiện của số chia.
Sai: mới xét mẫu x-1; còn mẫu x và số chia.
Sai: đây là điều kiện của các mẫu; còn thiếu x\ne -1 vì số chia {\large\tfrac{x+1}{x(x-1)}} không được bằng 0.
Với A=\dfrac{x^{2}}{x-1} đã rút gọn từ biểu thức gốc.
a) Tại x=-1, biểu thức gốc không xác định.
Đúng: khi x=-1, số chia bằng 0.
b) Tại x=0, biểu thức gốc bằng 0.
Sai: tại x=0 biểu thức gốc không xác định (mẫu x bằng 0), dù {\large\tfrac{x^{2}}{x-1}} cho 0.
c) Với x=2, A=4.
Đúng: \dfrac{2^{2}}{2-1}=4.
d) Có đúng hai số nguyên x để A nguyên.
Sai: chỉ có x=0 và x=2 làm A nguyên, nhưng x=0 bị loại, nên chỉ còn một số nguyên x=2.
Ta có x^{2}=(x-1)(x+1)+ , nên A=x+1+{\large\tfrac{1}{x-1}}. Để A nguyên thì x-1 là ước của 1, suy ra x-1= . Sau khi loại giá trị làm mẫu bằng 0, còn x= .
Sắp xếp các bước để làm Bài 1a cho đúng trình tự.
Các bước (bấm để chọn)
Chuỗi của em
Câu 1 Mức 1 · Nhận biết
Với biểu thức A của Bài 1, tính A khi x=3 (viết phân số hoặc số thập phân).
Gợi ý 1. Dùng A=\dfrac{x^{2}}{x-1}.
Gợi ý 2. Thay x=3 vào cả tử và mẫu; nhớ kiểm tra x=3 có thuộc miền xác định không.
Chính xác! A(3)=\dfrac{9}{2}.
9 chỉ là x^{2}; còn phải chia cho x-1=2.
Em đã chia cho x+1 thay vì x-1.
3 là giá trị của x, còn chưa tính \dfrac{x^{2}}{x-1}.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
A={\large\tfrac{3^{2}}{3-1}}={\large\tfrac{9}{2}}=4{,}5. Kiểm tra bằng đề bài: {\large\tfrac{12}{4}}=3 và ngoặc ={\large\tfrac{4}{3}}+{\large\tfrac{1}{2}}+{\large\tfrac{-7}{6}}={\large\tfrac{8+3-7}{6}}={\large\tfrac{2}{3}}; 3:{\large\tfrac{2}{3}}={\large\tfrac{9}{2}}.
Câu 2 Mức 1 · Nhận biết
Tìm tổng của tất cả các số nguyên x để {\large\tfrac{2x+3}{x-2}} là số nguyên.
Gợi ý 1. Tách: \dfrac{2x+3}{x-2}=2+\dfrac{7}{x-2}.
Gợi ý 2. x-2 chạy qua các ước nguyên (cả âm) của 7.
Chính xác! Bốn giá trị -5, 1, 3, 9 có tổng 8.
Em chỉ lấy ước dương 1 và 7, tức x=3 và x=9; còn quên ước âm -1 và -7.
Em chỉ lấy hai ước \pm 1 của 7 (được x=3 và x=1, tổng 4); còn quên hai ước \pm 7.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
{\large\tfrac{2x+3}{x-2}}=2+{\large\tfrac{7}{x-2}}, nên x-2\in\{1;-1;7;-7\}, tức x\in\{3;1;9;-5\}. Tổng =3+1+9-5=8.
Câu 3 Mức 2 · Vận dụng
Có bao nhiêu số nguyên x để \dfrac{x^{2}+3}{x+1} là số nguyên?
Gợi ý 1. Tách: x^{2}+3=(x+1)(x-1)+4.
Gợi ý 2. x+1 là ước nguyên của 4; nhớ ước âm.
Chính xác! Có 6 giá trị: -5,-3,-2, 0, 1, 3.
Em chỉ xét ước dương 1, 2, 4; còn ba ước âm -1,-2,-4.
4 là số cần chia, không phải số ước; hãy đếm cả \pm 1,\pm 2,\pm 4.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
{\large\tfrac{x^{2}+3}{x+1}}=x-1+{\large\tfrac{4}{x+1}}. x+1\in\{\pm1;\pm2;\pm4\} cho x\in\{0;-2;1;-3;3;-5\}: sáu giá trị.
Câu 4 Mức 2 · Vận dụng
Cho B={\large\tfrac{x^{2}+2x}{x^{2}-4x+4}}:\left({\large\tfrac{x+2}{x}}-{\large\tfrac{2}{2-x}}+{\large\tfrac{8-x^{2}}{x^{2}-2x}}\right). Sau khi rút gọn, B={\large\tfrac{x^{2}}{2(x-2)}} với x\ne 0, x\ne 2, x\ne -2. Tìm số nguyên x để B nguyên.
Gợi ý 1. x^{2}=(x-2)(x+2)+4, nên {\large\tfrac{x^{2}}{x-2}}=x+2+{\large\tfrac{4}{x-2}}.
Gợi ý 2. Cần 2(x-2)\mid x^{2}; thử các x-2\in\{\pm1;\pm2;\pm4\} rồi đối chiếu miền xác định.
Chính xác! Chỉ x=4 thỏa, khi đó B=4.
B(0)=0 là số nguyên nhưng x=0 làm mẫu x trong đề bằng 0; giá trị này bị loại.
B(3)=\dfrac{9}{2}, không nguyên.
B(6)=\dfrac{36}{8}=\dfrac{9}{2}, không nguyên.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Để B nguyên cần x-2\mid 4, nên x\in\{3;1;4;0;6;-2\}. Loại 0 và -2 (miền xác định). Thử: B(3)={\large\tfrac{9}{2}}, B(1)=-{\large\tfrac{1}{2}}, B(6)={\large\tfrac{36}{8}} đều không nguyên; B(4)={\large\tfrac{16}{4}}=4. Vậy chỉ có x=4.
Câu 5 Mức 2 · Vận dụng
Với x\gt 1, giá trị nhỏ nhất của A=\dfrac{x^{2}}{x-1} bằng bao nhiêu?
Gợi ý 1. Viết A=(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+2.
Gợi ý 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x-1 và {\large\tfrac{1}{x-1}}.
Chính xác! A_{\min}=4 tại x=2.
2 là giá trị của x tại đó A nhỏ nhất (cũng là giá trị nhỏ nhất của (x-1)+\dfrac{1}{x-1} nếu quên cộng thêm 2); chưa phải giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
A=(x-1)+{\large\tfrac{1}{x-1}}+2\ge 2\sqrt{1}+2=4; dấu bằng khi x-1={\large\tfrac{1}{x-1}}, tức x=2. Vậy giá trị nhỏ nhất là 4, đạt tại x=2 (khớp với nghiệm ở ví dụ 2).
Câu 6 Mức 3 · Thách thức
Có bao nhiêu số nguyên m trong đoạn [-5;5] để phương trình A=m có nghiệm x thuộc miền xác định?
Gợi ý 1. A=m tương đương x^{2}-mx+m=0. Cần \Delta\ge 0.
Gợi ý 2. Nhớ loại nghiệm x=0, x=1, x=-1 nếu có: chúng không thuộc miền xác định.
Chính xác! Bảy giá trị -5,-4,-3,-2,-1, 4, 5.
Em đã tính cả m=0, nhưng m=0 chỉ cho x=0, mà x=0 bị loại.
Em chỉ tính m=4, 5; còn các giá trị âm m\le -1 cũng đạt được.