Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: từ hai đường thẳng đến bài toán thực tế
Giải hệ bằng phương pháp thế và cộng đại số, đọc nghiệm như giao điểm hai đường thẳng, đặt ẩn phụ, biện luận tham số và lập hệ cho bài toán chuyển động, phần…
Toán 9 · Đại số · Hệ phương trình
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: từ hai đường thẳng đến bài toán thực tế
Một câu chuyện có hai điều chưa biết cần hai điều kiện mới kể hết. Bài này dạy em dịch câu chuyện thành hệ phương trình, giải bằng phương pháp thế và cộng đại số, rồi đọc kết quả bằng hình ảnh hai đường thẳng.
100 phút Mức: khá đến giỏi 16 bài chấm tự động và 2 bài tự chấm Có bài liên môn Hóa học
Em sẽ học: ba trường hợp về số nghiệm của một hệ, phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, lập hệ từ lời văn (chuyển động, tỉ lệ phần trăm, số lượng, năng suất), đường thẳng đi qua hai điểm, hệ có tham số.
1 Hai đường thẳng, ba trường hợp
Hệ phương trình là một cuộc gặp gỡ của hai đường thẳng: chúng gặp nhau một lần, không bao giờ gặp, hoặc luôn ở bên nhau.
Ở bài trước, em đã thấy một phương trình bậc nhất hai ẩn, chẳng hạn x+y=3, có vô số nghiệm và các nghiệm ấy nằm trên một đường thẳng. Bây giờ ta đặt hai phương trình cạnh nhau và đòi hỏi cả hai cùng đúng. Cách viết là dùng dấu ngoặc nhọn ở bên trái:
\left\{\begin{array}{l} x+y=3 \\ x-y=1 \end{array}\right.
Đó là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . Một nghiệm của hệ là một cặp số (x_{0};\ y_{0}) thỏa mãn cả hai phương trình. Về mặt hình học, mỗi phương trình là một đường thẳng, nên nghiệm của hệ là điểm chung của hai đường thẳng.
Hình 1. Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm: x = 2 và y = 1.
Trong Hình 1, đường thẳng x+y=3 và đường thẳng x-y=1 cắt nhau tại đúng một điểm (2;\ 1). Kiểm tra: 2+1=3 và 2-1=1, cả hai đều đúng. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;\ y)=(2;\ 1).
GV
Cô Lukato
Hai đường thẳng trong mặt phẳng chỉ có ba cách đứng cạnh nhau: cắt nhau, song song hoặc trùng nhau. Vì thế mọi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ có ba trường hợp: một nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Em hãy ghi nhớ bức tranh này, nó giúp em đoán trước kết quả trước khi tính.
Hình 2. Hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hai đường thẳng; số nghiệm của hệ là số điểm chung của chúng.
Ghi nhớ: ba trường hợp
Xét hệ \left\{\begin{array}{l} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{array}\right. (các hệ số ở mẫu khác 0).
- Nếu \dfrac{a_{1}}{a_{2}}\ne\dfrac{b_{1}}{b_{2}}: hai đường thẳng cắt nhau , hệ có một nghiệm duy nhất.
- Nếu \dfrac{a_{1}}{a_{2}}=\dfrac{b_{1}}{b_{2}}\ne\dfrac{c_{1}}{c_{2}}: hai đường thẳng song song , hệ vô nghiệm .
- Nếu \dfrac{a_{1}}{a_{2}}=\dfrac{b_{1}}{b_{2}}=\dfrac{c_{1}}{c_{2}}: hai đường thẳng trùng nhau , hệ có vô số nghiệm .
Cách an toàn hơn, tránh chia cho 0: so sánh tích chéo a_{1}b_{2} với a_{2}b_{1}. Hai tích khác nhau thì cắt; bằng nhau thì song song hoặc trùng.
Hệ phương trình · So sánh hệ số · Vị trí · Số nghiệm
x+y=3 và x-y=1 · \dfrac{1}{1}\ne\dfrac{1}{-1} · Cắt nhau · Một
2x-6y=5 và x-3y=2 · \dfrac{2}{1}=\dfrac{-6}{-3}=2\ne\dfrac{5}{2} · Song song · Không có
6x-3y=-12 và -2x+y=4 · \dfrac{6}{-2}=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{-12}{4}=-3 · Trùng nhau · Vô số
Bẫy thường gặp
“Vô nghiệm” không có nghĩa là hai đường thẳng không tồn tại, mà là hai đường thẳng không có điểm chung (song song). Ngược lại, “vô số nghiệm” không có nghĩa là mọi cặp số đều là nghiệm, mà chỉ là các cặp nằm trên một đường thẳng chung.
Bẫy: quên so sánh hằng số tự do
Đừng so sánh chỉ hai hệ số của x và y rồi kết luận ngay. Với 2x-6y=5 và x-3y=2, tỉ số của x là 2, tỉ số của y là 2, giống nhau; nhưng \dfrac{5}{2}=2{,}5 khác 2, nên hai đường song song chứ không trùng. Hằng số tự do quyết định song song hay trùng.
Hệ \left\{\begin{array}{l} x+2y=3 \\ 2x+4y=6 \end{array}\right. có bao nhiêu nghiệm?
Sai: hai tỉ số \dfrac{1}{2} và \dfrac{2}{4} bằng nhau, nên hai đường không cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Sai: tỉ số hằng số cũng bằng \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}, nên hai đường không song song mà trùng nhau.
Đúng: phương trình thứ hai là phương trình thứ nhất nhân với 2. Hai đường trùng nhau, mọi điểm của đường thẳng đều là nghiệm.
Sai: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không thể có đúng hai nghiệm; chỉ có 0, 1 hoặc vô số.
Hệ \left\{\begin{array}{l} 3x-y=1 \\ 6x-2y=5 \end{array}\right. có kết luận nào đúng?
Sai: tỉ số \dfrac{3}{6}=\dfrac{-1}{-2}, hai đường có cùng hướng nên không cắt nhau.
Đúng: \dfrac{3}{6}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2} nhưng \dfrac{1}{5}\ne\dfrac{1}{2}. Hai đường song song, không có điểm chung.
Sai: để trùng nhau thì tỉ số hằng số phải cũng bằng \dfrac{1}{2}, nhưng \dfrac{1}{5}\ne\dfrac{1}{2}.
Sai: nếu vô nghiệm thì không thể có nghiệm nào. Thử x=0: y=-1 từ phương trình đầu, nhưng -2\cdot(-1)=2\ne 5.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Giải hệ \left\{\begin{array}{l} x+y=5 \\ x-y=1 \end{array}\right.. Nhập nghiệm (x;\ y) dưới dạng hai số cách nhau dấu chấm phẩy.
Gợi ý 1. Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Cộng hai phương trình theo từng vế sẽ làm mất y.
Gợi ý 2. Cộng vế: 2x=6, suy ra x=3. Rồi thay vào x+y=5.
Chính xác! Nghiệm là (3;\ 2): 3+2=5 và 3-2=1.
Em đã đảo thứ tự: x là số đứng trước. Từ x+y=5 và x-y=1 ta có x lớn hơn y, nên x=3, y=2.
Em đã dừng ở 2x=6 và lấy x=6. Cần chia cho hệ số 2: x=3.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Cộng theo vế: (x+y)+(x-y)=5+1, tức 2x=6, nên x=3. Thay vào x+y=5 được y=2.
Thử lại: 3+2=5 đúng; 3-2=1 đúng.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Hệ \left\{\begin{array}{l} 2x-6y=5 \\ x-3y=2 \end{array}\right. có bao nhiêu nghiệm? Nhập một số.
Gợi ý 1. So sánh các tỉ số \dfrac{2}{1}, \dfrac{-6}{-3} và \dfrac{5}{2}.
Gợi ý 2. Hai tỉ số đầu bằng nhau =2, tỉ số cuối là 2{,}5, khác 2.
Chính xác! Hai đường thẳng song song nên hệ vô nghiệm, tức có 0 nghiệm.
Hai tỉ số hệ số của x và y bằng nhau nên hai đường có cùng hướng, không thể cắt nhau tại đúng một điểm.
Chưa đúng: để trùng nhau thì tỉ số hằng số cũng phải bằng 2, nhưng \dfrac{5}{2}\ne 2.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\dfrac{2}{1}=\dfrac{-6}{-3}=2 nhưng \dfrac{5}{2}\ne 2. Vậy hai đường thẳng song song, không có điểm chung: hệ có 0 nghiệm.
Có thể thấy bằng đại số: nhân phương trình thứ hai với 2 được 2x-6y=4, mâu thuẫn với 2x-6y=5.
2 Phương pháp thế: rút rồi thay
Biến hai ẩn thành một ẩn bằng cách thay thế.
Phương pháp thế dựa trên một ý rất tự nhiên: nếu biết y bằng cái gì đó theo x, ta thay “cái gì đó” ấy vào chỗ y ở phương trình còn lại. Hệ hai ẩn lập tức trở thành một phương trình một ẩn quen thuộc.
- Từ một phương trình, rút một ẩn theo ẩn kia (chọn ẩn có hệ số 1 hoặc -1 cho dễ).
- Thế biểu thức vừa rút vào phương trình còn lại, được phương trình một ẩn.
- Giải phương trình một ẩn, rồi thế ngược lại để tìm ẩn còn lại.
- Thử lại nghiệm vào cả hai phương trình ban đầu.
Ví dụ 1 · Giải \left\{\begin{array}{l} x+y=0 \\ 4x+3y=2 \end{array}\right.
Từ phương trình thứ nhất: y=-x.
Vì sao làm bước này: hệ số của y bằng 1, rút y là gọn nhất.
Thế vào phương trình thứ hai: 4x+3(-x)=2.
Vì sao làm bước này: mỗi chữ y được thay bằng -x.
Rút gọn: 4x-3x=2, suy ra x=2.
Vì sao làm bước này: nhớ nhân 3 với cả -x nên được -3x.
Thế ngược: y=-x=-2. Nghiệm là (2;\ -2).
Vì sao làm bước này: tìm ẩn còn lại từ biểu thức đã rút.
Thử lại: 2+(-2)=0 đúng; 4\cdot 2+3\cdot(-2)=8-6=2 đúng.
Vì sao làm bước này: phép thử là lưới an toàn cuối cùng.
Điều thú vị là khi thế, đôi khi ẩn biến mất cả hai . Khi ấy kết quả cho ta biết hai đường thẳng nằm cạnh nhau ra sao. Ta xem hai ví dụ trái ngược nhau.
Ví dụ 2 · Kết quả 0=0: \left\{\begin{array}{l} 6x-3y=-12 \\ -2x+y=4 \end{array}\right.
Từ phương trình thứ hai: y=2x+4.
Vì sao làm bước này: hệ số của y là 1 nên rút được ngay.
Thế vào phương trình thứ nhất: 6x-3(2x+4)=-12.
Vì sao làm bước này: thay y bằng 2x+4.
Khai triển: 6x-6x-12=-12, tức -12=-12, hay 0=0.
Vì sao làm bước này: ẩn x đã biến mất; câu 0=0 luôn đúng.
Vì 0=0 đúng với mọi x, hệ có vô số nghiệm : (x;\ y)=(t;\ 2t+4) với t là số thực bất kì.
Vì sao làm bước này: mọi cặp thỏa phương trình thứ hai cũng thỏa phương trình thứ nhất: hai đường thẳng trùng nhau.
Ví dụ 3 · Kết quả 0=4: \left\{\begin{array}{l} 2x-6y=5 \\ x-3y=2 \end{array}\right.
Từ phương trình thứ hai: x=3y+2.
Vì sao làm bước này: hệ số của x là 1 nên rút x.
Thế vào phương trình thứ nhất: 2(3y+2)-6y=5.
Vì sao làm bước này: thay x bằng 3y+2.
Khai triển: 6y+4-6y=5, tức 4=5.
Vì sao làm bước này: ẩn y đã biến mất và ta còn một đẳng thức sai.
Đẳng thức 4=5 sai với mọi y, nên hệ vô nghiệm : hai đường thẳng song song.
Vì sao làm bước này: không có giá trị nào của y làm cho đẳng thức đúng.
Ghi nhớ
Sau khi thế, ta luôn thu được một phương trình dạng ax=b. Có ba khả năng: a\ne 0 cho một nghiệm duy nhất; a=0 và b=0 (đẳng thức 0=0) cho vô số nghiệm; a=0 và b\ne 0 (đẳng thức sai như 0=4) cho vô nghiệm.
Bẫy thường gặp
Nhiều em thấy 0=0 thì kết luận “vô nghiệm” vì “ra số không”. Ngược lại: 0=0 là một câu luôn đúng , nên hệ có vô số nghiệm. Vô nghiệm chỉ khi ra một câu sai như 0=4 hoặc 0=-3.
Bẫy: thế thiếu ngoặc
Một lỗi tính toán rất hay gặp là quên nhân hệ số vào cả biểu thức khi thế. Ví dụ ở ví dụ 1, viết 4x+3\cdot(-x) thành 4x+3-x sẽ cho 3x+3=2, tức x=-\dfrac{1}{3}: sai. Hãy luôn đặt biểu thức thế trong dấu ngoặc.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Giải hệ \left\{\begin{array}{l} x-2y=3 \\ 3x+y=2 \end{array}\right. bằng phương pháp thế. Nhập nghiệm (x;\ y).
Gợi ý 1. Từ phương trình thứ nhất rút x=2y+3. Đặt 2y+3 trong ngoặc khi thế.
Gợi ý 2. Thế vào phương trình thứ hai: 3(2y+3)+y=2, tức 6y+9+y=2.
Chính xác! 7y=-7 nên y=-1, rồi x=2\cdot(-1)+3=1.
Em đã nhân 3 với 2y nhưng quên nhân 3 với hạng tử tự do 3: 3(2y+3)=6y+9, không phải 6y+3.
Em đã đảo thứ tự. Nghiệm phải viết theo thứ tự (x;\ y), tức x=1 và y=-1.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Từ x-2y=3 suy ra x=2y+3. Thế vào 3x+y=2: 3(2y+3)+y=2, tức 6y+9+y=2, hay 7y=-7, nên y=-1.
Thế ngược: x=2\cdot(-1)+3=1. Thử lại: 1-2\cdot(-1)=3 đúng; 3\cdot 1+(-1)=2 đúng.
Sau khi thế, một bạn thu được đẳng thức 0\cdot x=5. Kết luận đúng là gì?
Sai: 0\cdot x=5 không thể suy ra x=5; nhân bất kì số nào với 0 đều ra 0.
Sai: vô số nghiệm ứng với 0\cdot x=0, không phải 0\cdot x=5.
Đúng: không có giá trị nào của x làm 0\cdot x=5 đúng, nên hệ vô nghiệm (hai đường thẳng song song).
Sai: thử x=0 cho 0=5, sai.
3 Cộng đại số: triệt tiêu một ẩn
Khi hai phương trình đứng cạnh nhau, có khi chỉ cần cộng chúng lại.
Phương pháp cộng đại số dùng một mẹo khác: thay vì rút một ẩn, ta cộng (hoặc trừ) hai phương trình theo từng vế sao cho một ẩn biến mất. Điều này hợp lệ vì cộng hai đẳng thức đúng cho ta một đẳng thức đúng. Phương pháp này đặc biệt hợp khi hệ số của một ẩn đã đối nhau (cộng vế) hoặc bằng nhau (trừ vế).
- Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau (nếu chưa có).
- Cộng hoặc trừ hai phương trình theo vế để khử ẩn đó.
- Giải phương trình một ẩn nhận được.
- Thế nghiệm vào một phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại, rồi thử lại.
Ví dụ 4 · Hệ số của y bằng nhau: \left\{\begin{array}{l} -x+3y=-10 \\ 2x+3y=-1 \end{array}\right.
Nhận xét: cả hai phương trình đều có +3y. Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất sẽ khử y.
Vì sao làm bước này: hai hệ số bằng nhau thì trừ vế, hai hệ số đối nhau thì cộng vế.
Trừ theo vế: (2x+3y)-(-x+3y)=-1-(-10).
Vì sao làm bước này: dấu trừ đứng trước một biểu thức phải đổi dấu mọi số hạng trong ngoặc.
Khai triển: 2x+3y+x-3y=-1+10, tức 3x=9, suy ra x=3.
Vì sao làm bước này: cả -(-x)=+x và -(-10)=+10 đều đổi dấu.
Thế x=3 vào phương trình thứ nhất: -3+3y=-10, suy ra 3y=-7 và y=-\dfrac{7}{3}.
Vì sao làm bước này: chọn phương trình có số nhỏ để tính cho nhanh.
Thử lại vào phương trình thứ hai: 2\cdot 3+3\cdot\left(-\dfrac{7}{3}\right)=6-7=-1 đúng. Nghiệm \left(3;\ -\dfrac{7}{3}\right).
Vì sao làm bước này: phép thử vào phương trình còn lại kiểm tra cả hai bước.
Ví dụ 5 · Phải nhân trước: \left\{\begin{array}{l} 3x+2y=7 \\ 2x-5y=-8 \end{array}\right.
Hệ số của y là 2 và -5. Bội chung nhỏ nhất của 2 và 5 là 10. Nhân phương trình thứ nhất với 5, phương trình thứ hai với 2.
Vì sao làm bước này: để hai hệ số của y trở thành 10 và -10, đối nhau.
Được: 15x+10y=35 và 4x-10y=-16.
Vì sao làm bước này: nhân cả hai vế, kể cả vế phải 7 và -8.
Cộng theo vế: 19x=19, suy ra x=1.
Vì sao làm bước này: 10y và -10y triệt tiêu.
Thế x=1 vào 3x+2y=7: 3+2y=7, suy ra y=2.
Vì sao làm bước này: tìm ẩn còn lại.
Thử lại: 3\cdot 1+2\cdot 2=7 đúng; 2\cdot 1-5\cdot 2=-8 đúng. Nghiệm (1;\ 2).
Vì sao làm bước này: phép thử vào cả hai phương trình gốc.