Đọc kĩ từng mệnh đề: cách bắt lỗi trong câu Đúng/Sai Toán 9
Năm chiếc kính để đọc từng ý Đúng/Sai trong Toán 9: miền xác định, biến đổi tương đương, chiều dấu, số nghiệm và dạng nghiệm, ngữ cảnh, cùng cách tìm phản ví…
Toán 9 · Đúng/Sai · Kiểm tra từng mệnh đề
Đọc kĩ từng mệnh đề: cách bắt lỗi trong câu Đúng/Sai Toán 9
Câu Đúng/Sai hiếm khi khó ở phép tính; nó khó ở chỗ mỗi ý đều có một cái bẫy nhỏ. Bài này dạy em năm chiếc kính để nhìn ra bẫy trước khi chọn.
45 phút Mức: khá đến giỏi 5 chiếc kính Nhiều mệnh đề tự chấm
Em sẽ học: kiểm tra miền xác định, biến đổi tương đương, chiều dấu, số nghiệm và dạng nghiệm, ngữ cảnh; biết tìm phản ví dụ.
1 Năm chiếc kính của người đọc đề kĩ tính
Một mệnh đề Đúng/Sai giống một lời khai. Người điều tra giỏi không tin ngay, mà kiểm tra lời khai qua từng lớp.
Hình 1. Năm chiếc kính: mỗi mệnh đề đi qua lần lượt năm lớp kiểm tra.
Hãy tưởng tượng em cầm năm chiếc kính, mỗi chiếc soi vào một chỗ mà học sinh hay sơ suất. Kính 1 (Miền) hỏi: biểu thức có nghĩa khi nào, mẫu có bằng 0 không, số dưới dấu căn có âm không? Kính 2 (Biến đổi) hỏi: phép biến đổi vừa làm có giữ nguyên tập nghiệm không, hay đã làm mất hoặc thêm nghiệm? Kính 3 (Dấu) hỏi: có nhân hoặc chia cho số âm, và chiều bất đẳng thức đã đổi chưa? Kính 4 (Số nghiệm và dạng nghiệm) hỏi: kết quả là một nghiệm, vô số nghiệm hay vô nghiệm? Kính 5 (Ngữ cảnh) hỏi: nghiệm có hợp với đề không, có là số nguyên dương, có tạo thành tam giác không?
Kính · Soi vào đâu · Ví dụ ngắn
1 · Miền · Mẫu số, căn thức · \dfrac{1}{x-2} vô nghĩa khi x=2
2 · Biến đổi · Nhân, chia, bình phương hai vế · Chia x^{2}=3x cho x mất nghiệm 0
3 · Dấu · Nhân hoặc chia cho số âm · a<b suy ra -2a>-2b
4 · Số nghiệm · Kết quả 0=0 hoặc 0=5 · 0x=5 vô nghiệm
5 · Ngữ cảnh · Số lượng, độ dài, góc nhọn · Ba cạnh 1,\ 2,\ 3 không lập tam giác
GV
Cô Lukato
Đừng thấy năm chiếc kính mà ngại. Với một mệnh đề đơn giản em chỉ cần liếc qua cả năm trong vài giây. Ta sẽ tập từng kính một, rồi ghép lại ở phần cuối.
Trước khi vào từng kính, em thử ba câu khởi động. Không cần nhớ hết cách làm, chỉ cần chọn theo cảm nhận rồi đọc lời giải để xem chiếc kính nào đã cứu mình.
Phương trình \dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}, sau khi khử mẫu được x=1. Kết luận nào đúng?
Sai: x=1 làm mẫu x-1 bằng 0, nên không thể là nghiệm. Kính 1 (Miền) phát hiện lỗi này.
Đúng: ĐKXĐ là x\ne 1, mà giá trị duy nhất tìm được lại là 1. Bị loại nên phương trình vô nghiệm.
Sai: vô số nghiệm chỉ khi hai vế đồng nhất với mọi x thuộc miền xác định; ở đây sau khử mẫu chỉ còn một giá trị.
Sai: khử mẫu cho phương trình bậc nhất x=1, chỉ có một giá trị để xét, không thể có hai nghiệm.
Cho a<b. Khẳng định nào luôn đúng ?
Sai: với a=-3, b=2 thì a<b nhưng a^{2}=9>4=b^{2}. Bình phương không giữ chiều khi có số âm.
Sai: nhân với số âm phải đổi chiều: -3a>-3b. Kính 3 (Dấu) soi ra lỗi này.
Đúng: cộng cùng một số vào hai vế không làm đổi chiều bất đẳng thức.
Sai: với a=-1, b=1 thì \dfrac{1}{a}=-1<1=\dfrac{1}{b}. Nghịch đảo chỉ đổi chiều khi a, b cùng dấu.
Phương trình 0x=0 có nghiệm; phương trình 0x=7 có nghiệm; và bộ ba 1,\ 2,\ 3 tạo thành ba cạnh của một tam giác.
2 Kính 1 · Miền xác định: đi tìm chỗ biểu thức "không có nghĩa"
Một lỗi rất hay gặp ở phương trình chứa ẩn ở mẫu là quên hỏi biểu thức có nghĩa khi nào.
Với một phân thức \dfrac{A}{B}, điều kiện là B\ne 0. Với căn bậc hai \sqrt{A}, điều kiện là A\ge 0. Khi một biểu thức có cả hai, cần cả hai điều kiện cùng thỏa . Điều kiện xác định (ĐKXĐ) là bộ lọc đầu tiên: mọi nghiệm tìm được về sau phải đi qua bộ lọc này.
Ví dụ 1 · Kiểm tra lời giải của phương trình \dfrac{x^{2}-4}{x-2}=0
Một bạn viết: "Phân thức bằng 0 khi tử bằng 0, tức x^{2}-4=0, nên x=2 hoặc x=-2. Vậy phương trình có hai nghiệm."
Vì sao làm bước này: ta cần nghi ngờ trước khi làm lại: tử bằng 0 là điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ.
Soi Kính 1: mẫu là x-2, nên ĐKXĐ là x\ne 2.
Vì sao làm bước này: mọi nghiệm phải nằm trong miền xác định của chính phương trình.
Giải tử: x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0 cho x=2 hoặc x=-2. So với ĐKXĐ: x=2 bị loại, x=-2 được nhận.
Vì sao làm bước này: giao của tập nghiệm của tử với miền xác định mới là tập nghiệm của phương trình.
Thử lại x=-2: \dfrac{(-2)^{2}-4}{-2-2}=\dfrac{0}{-4}=0. Đúng. Với x=2: \dfrac{0}{0} không có nghĩa.
Vì sao làm bước này: phép thử cho ta chắc chắn và chỉ ra vì sao x=2 bị loại.
Kết luận: phương trình có một nghiệm x=-2. Nhận định "có hai nghiệm" là Sai .
Vì sao làm bước này: câu Đúng/Sai chấm sự chính xác của số nghiệm nên phải đếm đúng.
Bẫy thường gặp
Cụm \dfrac{x^{2}-4}{x-2} thường bị "rút gọn" thành x+2. Phép rút gọn này chỉ đúng khi x\ne 2. Nếu viết \dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2 rồi kết luận nghiệm là x=-2, em được đúng nghiệm nhưng vẫn phải ghi điều kiện, vì bài chấm cả lập luận. Ngược lại, nếu bài hỏi "x=2 có là nghiệm không" thì không được dùng dạng rút gọn để trả lời.
Cho phương trình \dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{6}{x-3}.
a) Điều kiện xác định của phương trình là x\ne 3.
Đúng: mẫu chung x-3 khác 0.
b) Sau khi khử mẫu, ta được phương trình 2x=6, tức x=3.
Đúng: đó chỉ là kết quả của phép khử mẫu, chưa phải kết luận nghiệm.
c) x=3 là nghiệm của phương trình đã cho.
Sai: x=3 không thỏa ĐKXĐ, vì thay vào thì cả hai vế đều có mẫu 0.
d) Phương trình đã cho vô nghiệm.
Đúng: giá trị duy nhất tìm được bị loại nên không còn nghiệm nào.
Cho biểu thức A=\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{x-5}. Xét xem A có xác định (có nghĩa) tại các giá trị sau không.
a) A xác định tại x=3.
Đúng: x-3=0 nên \sqrt{0}=0 có nghĩa, và x-5=-2\ne 0.
b) A xác định tại x=5.
Sai: x=5 làm mẫu x-5 bằng 0. Căn có nghĩa nhưng phân thức thì không.
c) A xác định tại x=4.
Đúng: \sqrt{1}=1 và \dfrac{1}{4-5}=-1, cả hai đều có nghĩa.
d) Điều kiện xác định của A là x\ge 3.
Sai: còn phải loại x=5. Điều kiện đầy đủ là x\ge 3 và x\ne 5.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Biểu thức \dfrac{x+1}{(x-2)(x+3)} không xác định tại đúng bao nhiêu giá trị của x?
Gợi ý 1. Một phân thức không xác định khi mẫu bằng 0.
Gợi ý 2. Mẫu là một tích: tích bằng 0 khi ít nhất một thừa số bằng 0.
Chính xác! Mẫu bằng 0 tại x=2 và x=-3: có hai giá trị.
Em mới nhận ra một thừa số. Hãy giải cả x-2=0 và x+3=0.
Tử x+1 bằng 0 tại x=-1, nhưng khi đó phân thức bằng 0 chứ không phải không xác định.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(x-2)(x+3)=0 khi x=2 hoặc x=-3. Biểu thức không xác định tại hai giá trị này. Tử số không ảnh hưởng đến điều kiện xác định.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Giải phương trình \dfrac{x^{2}-4}{x-2}=0 và nhập nghiệm duy nhất.
Gợi ý 1. Phân tích tử: x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Gợi ý 2. Nhớ đối chiếu với điều kiện x\ne 2.
Chính xác! Nghiệm duy nhất là x=-2; x=2 bị loại vì làm mẫu bằng 0.
Giá trị x=2 làm mẫu x-2 bằng 0, không thể là nghiệm. Đây là nghiệm ngoại lai.
Em có thể đã rút gọn thành x+2=0 rồi tính sai dấu; x+2=0 cho x=-2.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
ĐKXĐ: x\ne 2. Với x\ne 2, phương trình tương đương x+2=0, tức x=-2, thỏa điều kiện. Vậy nghiệm duy nhất là -2.
Biểu thức \sqrt{5-2x} có nghĩa khi và chỉ khi
Đúng: cần 5-2x\ge 0, tức -2x\ge -5; chia cho -2 và đổi chiều được x\le\dfrac{5}{2}.
Sai: em quên đổi chiều khi chia cho -2. Thử x=4: 5-8=-3<0 nên căn không có nghĩa.
Sai: căn bậc hai của 0 vẫn có nghĩa (bằng 0), nên x=\dfrac{5}{2} được phép; điều kiện là dấu nhỏ hơn hoặc bằng.
Sai: em đã đổi dấu sai ở \dfrac{5}{2} nên loại quá nhiều giá trị. Thử x=0: 5-0=5>0 nên căn có nghĩa, trong khi 0 không thuộc x\le-\dfrac{5}{2}.
3 Kính 2 · Biến đổi tương đương: đừng làm rơi hay làm thừa nghiệm
Hai phương trình gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Một số phép biến đổi quen thuộc lại làm hỏng điều đó.
Cộng hoặc trừ cùng một số hay một biểu thức vào hai vế luôn giữ nguyên tập nghiệm. Nhân hoặc chia hai vế cho một số khác 0 cũng vậy. Nhưng có ba phép em cần soi kĩ:
Phép biến đổi · Có thể gây ra · Ví dụ ngắn
Chia hai vế cho biểu thức chứa ẩn · Làm mất nghiệm · x^{2}=3x chia cho x được x=3, mất nghiệm x=0
Nhân hai vế với biểu thức chứa ẩn · Thêm nghiệm ngoại lai · \dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{x-1} nhân với x-1 được x=1
Bình phương hai vế · Thêm nghiệm ngoại lai · x=-3 bình phương thành x^{2}=9, có thêm x=3
Lấy căn bậc hai hai vế · Mất dấu, mất nghiệm · \sqrt{(x-3)^{2}}=|x-3|, không phải x-3
Ví dụ 2 · Vì sao x^{2}=3x không thể "chia cho x" một cách tùy tiện
Một bạn giải: chia hai vế cho x, được x=3. Vậy tập nghiệm là \{3\}.
Vì sao làm bước này: ta thử tìm xem có nghiệm nào bị bỏ sót bằng cách thay thử vài số đơn giản vào đề bài ban đầu.
Thử x=0 vào phương trình gốc: vế trái 0^{2}=0, vế phải 3\cdot 0=0. Hai vế bằng nhau nên x=0 là nghiệm.
Vì sao làm bước này: một phản ví dụ cụ thể là bằng chứng mạnh nhất để bác bỏ khẳng định "tập nghiệm là \{3\}".
Chỗ hỏng: khi chia cho x, ta đã giả sử x\ne 0 mà không xét riêng trường hợp x=0.
Vì sao làm bước này: phép chia chỉ hợp lệ khi số chia khác 0; trường hợp còn lại phải được xét riêng.
Cách làm đúng: chuyển vế, x^{2}-3x=0, phân tích x(x-3)=0, suy ra x=0 hoặc x=3.
Vì sao làm bước này: đưa về dạng tích bằng 0 là cách tránh chia cho biểu thức chứa ẩn.
Kết luận: tập nghiệm là \{0;3\}. Khẳng định "tập nghiệm là \{3\}" là Sai .
Vì sao làm bước này: kết luận luôn phải trả lời đúng điều mệnh đề hỏi.
Cho phương trình x^{2}=3x. Xét các mệnh đề sau.
a) x=0 là nghiệm của phương trình.
Đúng: 0^{2}=0=3\cdot 0.
b) Chia hai vế cho x được x=3, nên tập nghiệm chỉ là \{3\}.
Sai: phép chia đã làm mất nghiệm x=0.
c) Tập nghiệm của phương trình là \{0;3\}.
Đúng: x(x-3)=0 cho x=0 hoặc x=3.
d) Phương trình x^{2}=3x tương đương với phương trình x=3.
Sai: hai phương trình tương đương phải có cùng tập nghiệm, mà \{0;3\}\ne\{3\}.
Bẫy: nghiệm thừa khi bình phương
Bình phương hai vế là chiếc bẫy ngược lại. Từ x=-3 bình phương được x^{2}=9, có hai nghiệm x=3 và x=-3; nghiệm x=3 là thừa. Vì vậy, nếu một lời giải bình phương hai vế mà không thử lại nghiệm vào phương trình gốc, kết luận về số nghiệm rất có thể sai.
Một chỗ nữa liên quan đến Kính 2 là căn bậc hai của một bình phương. Với mọi số thực a, \sqrt{a^{2}}=|a|. Chẳng hạn \sqrt{(1-3)^{2}}=\sqrt{4}=2, trong khi 1-3=-2. Vì thế \sqrt{(x-3)^{2}}=x-3 chỉ đúng khi x\ge 3.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Giải phương trình x^{2}=3x. Nhập tất cả các nghiệm, cách nhau bằng dấu chấm phẩy.
Gợi ý 1. Đừng chia cho x. Chuyển hết về một vế.
Gợi ý 2. Phân tích x^{2}-3x thành x(x-3).
Chính xác! x(x-3)=0 cho x=0 hoặc x=3.
Em đã chia cho x và làm mất nghiệm x=0.
Nghiệm x=0 đúng, nhưng còn nhân tử x-3=0 cho thêm một nghiệm nữa.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x^{2}=3x suy ra x^{2}-3x=0, tức x(x-3)=0. Do đó x=0 hoặc x=3. Tập nghiệm là \{0;3\}.
Bài 4 Mức 3 · Thách thức
Giải phương trình \sqrt{(x-3)^{2}}=5. Tính tổng các nghiệm.
Gợi ý 1. Dùng \sqrt{A^{2}}=|A| với A=x-3. Phương trình thành |x-3|=5.
Gợi ý 2. |x-3|=5 khi x-3=5 hoặc x-3=-5.
Chính xác! Hai nghiệm là x=8 và x=-2; tổng bằng 6.
Đây mới là một nghiệm (từ x-3=5). Còn nghiệm x=-2 từ x-3=-5 nên tổng là 8+(-2).
Em lấy 8+2: nghiệm thứ hai là -2, không phải 2.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\sqrt{(x-3)^{2}}=|x-3|, nên phương trình là |x-3|=5. Suy ra x-3=5 hoặc x-3=-5, tức x=8 hoặc x=-2. Cả hai đều thỏa vì \sqrt{25}=5 và \sqrt{25}=5. Tổng hai nghiệm bằng 6.
Trong các phép biến đổi sau, phép nào có thể làm mất nghiệm ?
Sai: cộng cùng một số vào hai vế luôn giữ nguyên tập nghiệm.
Sai: nhân cả hai vế với một số khác 0 giữ nguyên tập nghiệm.
Đúng: khi x=0 phép chia không hợp lệ, nên nghiệm x=0 (nếu có) bị bỏ sót.
Sai: chuyển vế đúng quy tắc là cộng hoặc trừ cùng một biểu thức vào hai vế, không đổi tập nghiệm.
4 Kính 3 · Dấu và chiều: bất đẳng thức không "tha" cho phép nhân số âm
Khi làm việc với bất đẳng thức, mỗi phép nhân hoặc chia đều phải hỏi: số này dương hay âm?
Quy tắc gốc: nếu a<b và c>0 thì ac<bc; nếu c<0 thì ac>bc. Cộng cùng một số vào hai vế thì giữ nguyên chiều. Còn những khẳng định như "a<b thì a^{2}<b^{2}" chỉ đúng khi a, b không âm; nếu có số âm ta phải tìm phản ví dụ .
GV
Cô Lukato
Phản ví dụ là một trường hợp cụ thể làm cho khẳng định chung sai. Để bác bỏ "a<b thì a^{2}<b^{2}", chỉ cần một cặp: a=-3, b=2. Khi đó -3<2 nhưng 9>4. Một ví dụ là đủ để bác bỏ, nhưng một trăm ví dụ đúng thì chưa đủ để chứng minh.
Ví dụ 3 · Bất phương trình (x+3)(x-1)<(x+1)^{2}-4: nhiều em kết luận sai về số nghiệm
Khai triển vế trái: (x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3.
Vì sao làm bước này: khai triển trước khi so sánh để hai vế cùng dạng.
Khai triển vế phải: (x+1)^{2}-4=x^{2}+2x+1-4=x^{2}+2x-3.