Số chính phương và bất đẳng thức có điều kiện: đọc kĩ giả thiết trước khi giải
Toán 9 nâng cao: số chính phương, hiệu hai bình phương và kiểm tra giả thiết của bài cực trị.
Toán 9 · Bồi dưỡng học sinh giỏi · Số học và bất đẳng thức
Số chính phương và bất đẳng thức có điều kiện: đọc kĩ giả thiết trước khi giải
Hai bài toán quen thuộc của bài học sinh giỏi lớp 9: tìm n để một biểu thức là số chính phương, và tìm giá trị lớn nhất của một tổng phân thức khi abc=1. Em sẽ học ba công cụ (đồng dư, kẹp, hiệu hai bình phương), một bổ đề đẹp, và thói quen quan trọng nhất: kiểm tra xem lời giải đã dùng những giả thiết nào.
Khoảng 110 phút Mức: khá – giỏi – chuyên 20 bài tập · 12 câu kiểm tra
Em sẽ học: nhận diện số chính phương bằng số dư, kĩ thuật kẹp, hiệu hai bình phương và tính chẵn lẻ, bổ đề với abc=1, đánh giá mẫu số, và cách tìm phản ví dụ khi đổi giả thiết.
1 Hai bài toán dẫn đường và khởi động
Đọc đề thật chậm: tập số của ẩn và dấu của biến quyết định đáp số.
Một số tự nhiên được gọi là số chính phương nếu nó bằng bình phương của một số nguyên: 0, 1, 4, 9, 16, 25,\ldots Nghe đơn giản, nhưng câu hỏi "khi nào một biểu thức chứa n là số chính phương?" lại là một trong những dạng toán hay nhất của số học THCS, vì nó buộc em phải kết hợp đại số (biến đổi biểu thức) với số học (ước, số dư, chẵn lẻ).
Nửa sau của bài là một bất đẳng thức có điều kiện abc=1. Thoạt nhìn hai chủ đề không liên quan, nhưng chúng có chung một bài học: một lời giải chỉ đúng trong phạm vi các giả thiết mà nó đã dùng . Bài số học cho "n là số tự nhiên" hay "n là số nguyên" sẽ có đáp số khác nhau; bài bất đẳng thức cho "a, b, c dương" hay "a, b, c thực" sẽ có kết luận khác nhau. Hai bài toán dẫn đường dưới đây là trục của cả bài học.
Bài A · Số chính phương
Tìm số tự nhiên n sao cho 4(n^{2}-n+6) là số chính phương. Nếu đề đổi thành "số nguyên n" thì đáp số thay đổi thế nào?
Bài B · Bất đẳng thức
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của \begin{aligned}S&=\frac{1}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}\\&\quad+\frac{1}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}.\end{aligned} Nếu bỏ chữ "dương" thì sao?
Về hai bài toán
Đây là bài luyện LUKATO mô phỏng dạng bài học sinh giỏi Toán 9 (dạng số chính phương và dạng bất đẳng thức với điều kiện abc=1 xuất hiện rất thường xuyên).
GV
Cô Lukato
Trước khi giải bất kì bài nào, cô luôn tự hỏi hai câu: ẩn thuộc tập số nào? và điều kiện nào sẽ được dùng ở bước nào? Nếu một giả thiết không được dùng ở đâu cả, hoặc lời giải cần một điều mà đề không cho, thì chắc chắn có chỗ cần xem lại. Hôm nay ta sẽ luyện đúng thói quen đó.
Ba câu khởi động dưới đây kiểm tra những gì em đã biết. Sai cũng không sao: mỗi phương án đều có lời giải thích.
Số nào sau đây là số chính phương?
Sai. 2026 có chữ số tận cùng là 6 nên chưa loại được ngay, nhưng 45^{2}=2025\lt 2026\lt 2116=46^{2}: nó nằm kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp.
Đúng. 2025=45^{2}. Để ý 45^{2}=(40+5)^{2}=1600+400+25.
Sai. 2024 nằm giữa 45^{2}=2025 và 44^{2}=1936, nên không phải số chính phương dù nó chia hết cho 4.
Sai. Số chính phương không bao giờ có chữ số tận cùng là 7 (bình phương các chữ số 0 đến 9 chỉ tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9).
Xét các phát biểu về số chính phương.
a) Tích của hai số chính phương là một số chính phương.
Đúng: a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}.
b) Tổng của hai số chính phương là một số chính phương.
Sai: 1+1=2 không phải số chính phương. Tổng chỉ đôi khi là số chính phương, ví dụ 9+16=25.
c) Nếu 4k là số chính phương thì k là số chính phương.
Đúng: nếu 4k=m^{2} thì m chẵn, m=2t, suy ra k=t^{2}. Đây chính là lí do Bài A chỉ cần xét n^{2}-n+6.
d) Mọi số chia cho 4 dư 1 đều là số chính phương.
Sai: 5 và 13 chia 4 dư 1 nhưng không phải số chính phương. Số dư chỉ giúp loại , không giúp khẳng định .
Hoàn thành hằng đẳng thức: 12^{2}-11^{2}=(12-11)(12+11)= . Tương tự 45^{2}-44^{2}= .
2 Nhận diện số chính phương bằng số dư
Bộ lọc số dư giúp loại nhanh, nhưng không bao giờ khẳng định được.
Cách nhanh nhất để chứng minh một số không phải số chính phương là nhìn vào số dư của nó khi chia cho một số nhỏ. Lí do rất đơn giản: số dư của k^{2} chỉ phụ thuộc vào số dư của k, nên ta chỉ cần thử vài trường hợp.
Ví dụ 1 · Số dư của số chính phương khi chia cho 4
Mọi số nguyên k hoặc chẵn (k=2t) hoặc lẻ (k=2t+1).
Chia theo số dư khi chia cho 2 là đủ, vì 4=2\cdot 2.
Nếu k=2t thì k^{2}=4t^{2}, chia hết cho 4: số dư là 0.
Khai triển trực tiếp.
Nếu k=2t+1 thì k^{2}=4t^{2}+4t+1=4t(t+1)+1: số dư là 1.
Hơn nữa t(t+1) là tích hai số liên tiếp nên chẵn, do đó k^{2} chia cho 8 cũng dư 1.
Kết luận: số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, không bao giờ dư 2 hay 3.
Đây là "bộ lọc" dùng nhiều nhất trong các bài số chính phương.
Chia cho · k^{2} có thể dư · Không thể dư
3 · 0, 1 · 2
4 · 0, 1 · 2, 3
5 · 0, 1, 4 · 2, 3
8 · 0, 1, 4 · 2, 3, 5, 6, 7
10 · 0, 1, 4, 5, 6, 9 · 2, 3, 7, 8
Dòng cuối (chia cho 10) chính là chữ số tận cùng. Mọi dòng của bảng đều kiểm tra được bằng cách bình phương các số dư: ví dụ khi chia cho 5, các số 0, 1, 2, 3, 4 có bình phương 0, 1, 4, 9, 16, với số dư lần lượt 0, 1, 4, 4, 1.
Ví dụ 2 · Tổng bình phương của ba số liên tiếp
Đề: chứng minh A=n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2} không bao giờ là số chính phương, với mọi số nguyên n.
Khi đề hỏi "không bao giờ", hãy nghĩ ngay tới số dư.
Khai triển: A=3n^{2}+6n+5=3(n^{2}+2n+1)+2.
Ta tách để thấy phần chia hết cho 3.
Vậy A chia cho 3 luôn dư 2.
Thử với n=1: A=1+4+9=14, chia cho 3 dư 2, khớp với kết luận.
Số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 (bảng trên). Do đó A không phải số chính phương. \blacksquare
Chọn đúng số chia là mấu chốt: chia cho 4 ở đây không giúp gì, vì A có thể dư 1.
Bẫy thường gặp
Bộ lọc số dư chỉ chạy một chiều . "Số chính phương thì dư 0 hoặc 1 khi chia cho 4" không có nghĩa là "dư 0 hoặc 1 thì là số chính phương". Ví dụ 2024 chia hết cho 4 và 2021 chia 4 dư 1, nhưng cả hai đều không phải số chính phương. Muốn khẳng định một số là số chính phương, em phải chỉ ra nó bằng m^{2} cụ thể.
Bẫy thường gặp
Nhiều em kết luận "tận cùng bằng 6 nên là số chính phương". Chữ số tận cùng chỉ giúp loại (các số tận cùng 2, 3, 7, 8). Ví dụ 26, 2026 tận cùng bằng 6 nhưng không phải số chính phương.
Mở rộng: vì sao tổng các số lẻ đầu tiên là số chính phương?
Xếp các ô vuông: 1 ô, thêm 3 ô thành hình vuông 2\times 2, thêm 5 ô thành 3\times 3... Mỗi lần thêm một "chữ L" gồm 2k-1 ô thì hình vuông cạnh k-1 trở thành hình vuông cạnh k, vì k^{2}-(k-1)^{2}=2k-1. Do đó 1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^{2}.
Chữ L này sẽ quay lại ở Mục 4 dưới tên gọi hiệu hai bình phương .
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Trong năm số 2023, 2024, 2025, 2026, 2027, chỉ xét số dư khi chia cho 4, có bao nhiêu số chưa bị loại (tức là vẫn có thể là số chính phương)?
Gợi ý 1. Tính số dư của từng số khi chia cho 4. Mẹo: 2024=4\cdot 506.
Gợi ý 2. Số chính phương chỉ dư 0 hoặc 1 khi chia cho 4. Đếm các số có số dư như vậy.
Chính xác! 2024 dư 0 và 2025 dư 1 vượt qua bộ lọc; ba số còn lại dư 3, 2, 3 bị loại.
Em đã trả lời câu hỏi "có bao nhiêu số chính phương" (chỉ 2025). Đề hỏi số chưa bị loại bởi bộ lọc số dư: 2024 dư 0 nên cũng chưa bị loại.
Có lẽ em đã giữ cả 2026. Nhưng 2026 chia 4 dư 2, mà số chính phương không bao giờ dư 2.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Số dư khi chia cho 4 của 2023, 2024, 2025, 2026, 2027 lần lượt là 3, 0, 1, 2, 3. Chỉ 2024 và 2025 chưa bị loại, nên đáp số là 2. Lưu ý: "chưa bị loại" không có nghĩa là số chính phương. Thực tế 2025=45^{2} là số chính phương, còn 2024 thì không.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tính tổng 1+3+5+\cdots+89 (tổng các số lẻ từ 1 đến 89).
Gợi ý 1. Từ 1 đến 89 có bao nhiêu số lẻ? Số lẻ thứ k là 2k-1.
Gợi ý 2. Tổng k số lẻ đầu tiên bằng k^{2}.
Chính xác! Có 45 số lẻ (vì 2\cdot 45-1=89), nên tổng bằng 45^{2}=2025.
Đây là tổng 1+2+3+\cdots+89 (cả số chẵn lẫn số lẻ). Đề chỉ cộng các số lẻ.
Đây là số lượng số lẻ. Tổng của chúng bằng bình phương của số lượng đó.
Đây là 44^{2}: em đếm thiếu một số lẻ. Từ 1 đến 89 có 45 số lẻ.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Số lẻ thứ k là 2k-1; giải 2k-1=89 được k=45. Theo mục mở rộng ở trên, tổng 45 số lẻ đầu tiên là 45^{2}=2025. Cách kiểm tra khác: ghép cặp số đầu với số cuối 1+89=90, có 22 cặp và số giữa 45 đứng riêng, tổng 22\cdot 90+45=2025.
3 Kĩ thuật kẹp giữa hai bình phương liên tiếp
Hai số chính phương liên tiếp tạo ra một khoảng trống: biểu thức rơi vào đó thì bị loại.
Giữa hai số chính phương liên tiếp k^{2} và (k+1)^{2} không có số chính phương nào khác. Vì vậy, nếu chứng minh được k^{2}\lt X\lt (k+1)^{2} thì X chắc chắn không phải số chính phương. Kĩ thuật này gọi là kẹp giữa hai bình phương liên tiếp .
Nguyên lí kẹp
Nếu k là số nguyên và k^{2}\lt X\lt (k+1)^{2} thì X không phải số chính phương. Đổi lại, nếu X là số chính phương và k^{2}\le X\lt (k+1)^{2} với k\ge 0 thì bắt buộc X=k^{2}.
Hình 1. Với n=9, 10, 11, giá trị n^{2}-n+6 (chấm đỏ) luôn rơi vào khoảng trống giữa (n-1)^{2} và n^{2} (vạch xanh), nên không thể là số chính phương.
Nhìn Hình 1: khi n=10, biểu thức n^{2}-n+6=96 nằm giữa 81=9^{2} và 100=10^{2}. Với n càng lớn, phần "-n+6" càng âm nên giá trị luôn rơi vào khoảng trống ngay dưới n^{2}. Đó là cách giải thứ nhất của Bài A.
Ví dụ 3 · Giải Bài A bằng cách kẹp (n là số tự nhiên)
Vì 4 là số chính phương, 4(n^{2}-n+6) là số chính phương khi và chỉ khi X=n^{2}-n+6 là số chính phương.
Nếu 4X=m^{2} thì m chẵn, m=2t, nên X=t^{2}; chiều ngược lại hiển nhiên.
Chặn trên: X\lt n^{2} khi và chỉ khi -n+6\lt 0, tức n\gt 6.
Ta so X với bình phương gần nó nhất là n^{2}.
Chặn dưới: X-(n-1)^{2}=(n^{2}-n+6)-(n^{2}-2n+1)=n+5\gt 0 với mọi số tự nhiên n.
Bình phương liền trước n^{2} là (n-1)^{2}.
Vậy với n\ge 7: (n-1)^{2}\lt X\lt n^{2}, nên X không phải số chính phương.
Nguyên lí kẹp loại được vô hạn giá trị n chỉ bằng một dòng.
Còn lại n=0, 1, \ldots, 6: lần lượt X=6, 6, 8, 12, 18, 26, 36. Chỉ 36=6^{2} là số chính phương, ứng với n=6.
Phần hữu hạn phải kiểm tra từng giá trị, không được bỏ qua.
Đáp số: n=6. Thử lại: 4(36-6+6)=144=12^{2}.
Luôn thử lại đáp số vào đề bài ban đầu.
Bẫy thường gặp
Sai lầm phổ biến là chỉ viết "với n đủ lớn thì X nằm giữa hai bình phương liên tiếp" rồi kết luận ngay, quên kiểm tra các giá trị nhỏ . Ở đây nghiệm duy nhất n=6 lại nằm đúng trong phần giá trị nhỏ! Nếu bỏ bước kiểm tra, em sẽ kết luận sai là "không có n nào".
Bẫy thường gặp
Cách kẹp ở trên dùng n là số tự nhiên (n\ge 0) ở bước chặn dưới. Nếu đề cho n là số nguyên thì với n\le -6, n+5\lt 0 và chặn dưới hỏng. Khi đó thứ tự đảo lại: n^{2}\lt X\lt (n-1)^{2}, vẫn là hai bình phương liên tiếp (của -n và 1-n), nhưng em phải viết lại toàn bộ lập luận và kiểm tra riêng các giá trị n=-5, -4, \ldots, -1 (tại n=-5 có X=36). Mục 4 sẽ cho một cách giải xử lí gọn cả số âm.
Với số tự nhiên n\ge 7, số n^{2}-n+6 nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nào?
Đúng: hiệu với (n-1)^{2} là n+5\gt 0, hiệu với n^{2} là 6-n\lt 0. Ví dụ n=10: 81\lt 96\lt 100.
Sai: n^{2}-n+6\lt n^{2} khi n\ge 7, nên số này nằm dưới n^{2}. Chỉ khi hệ số của n dương (như n^{2}+n+11) mới kẹp giữa n^{2} và (n+1)^{2}.
Sai: n^{2}-n+6-(n-1)^{2}=n+5\gt 0, nên số này lớn hơn (n-1)^{2}.
Sai: hai số này không liên tiếp (giữa chúng còn n^{2}), nên kẹp như vậy không loại được gì.
Sắp xếp các bước giải: tìm số tự nhiên n để n^{2}+n+11 là số chính phương.
Các bước (bấm để chọn)
Chuỗi của em
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tìm số tự nhiên n để n^{2}+3n+11 là số chính phương.
Gợi ý 1. Lần này bình phương gần nhất không phải n^{2}. So sánh biểu thức với (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1 và (n+2)^{2}=n^{2}+4n+4.
Gợi ý 2. (n+2)^{2}-(n^{2}+3n+11)=n-7. Với n\ge 8 biểu thức bị kẹp chặt; hãy thử n=0, 1, \ldots, 7.
Chính xác! 49+21+11=81=9^{2}, và mọi n khác đều bị loại.
Đây là giá trị m với m^{2}=81, không phải n. Đề hỏi n.
Đây là giá trị của biểu thức. Đề hỏi số n làm biểu thức chính phương.
Với n=8 biểu thức bằng 99, nằm giữa 81 và 100. Hãy kiểm tra lại các giá trị nhỏ.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Với n\ge 0: (n^{2}+3n+11)-(n+1)^{2}=n+10\gt 0, nên biểu thức lớn hơn (n+1)^{2}. Ngoài ra (n+2)^{2}-(n^{2}+3n+11)=n-7, dương khi n\ge 8. Vậy với n\ge 8, biểu thức nằm giữa (n+1)^{2} và (n+2)^{2}, không phải số chính phương.
Với n=0, 1, \ldots, 7 các giá trị là 11, 15, 21, 29, 39, 51, 65, 81; chỉ có 81=9^{2}. Đáp số n=7. (Nếu n là số nguyên thì còn thêm n=-10, -2, -1; em có thể tự kiểm tra.)