Số hữu tỉ: giữ dấu, giữ ngoặc và điều kiện của phép tính
Chuyên đề Toán 7 về số hữu tỉ, số đối, thứ tự, phép tính và lũy thừa tự nhiên; giải thích quy tắc dấu và điều kiện mẫu số, số mũ bằng 0, sơ đồ trục số chính…
THCS · TOÁN 7 · SỐ HỮU TỈ
Số hữu tỉ: giữ dấu, giữ ngoặc và điều kiện của phép tính
Mục tiêu: đọc đúng một biểu thức trước khi tính, giải thích được quy tắc và biết khi nào không được áp dụng.
Ví dụ tự biên soạn. Hãy dự đoán dấu và độ lớn, mở gợi ý khi cần, rồi kiểm tra bằng một cách khác.
1. Một số có nhiều cách viết; dấu thuộc cả phân số
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng a/b, với a,b là số nguyên và b\ne0. Điều kiện mẫu khác 0 thuộc định nghĩa, không phải một bước phụ chỉ cần nhớ sau khi tính. Cùng một số có nhiều cách biểu diễn:
-\frac34=\frac{-3}{4}=\frac3{-4}=\frac{-6}{8}=-0{,}75.
Nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 giữ nguyên giá trị. Đổi dấu cả tử và mẫu cũng giữ nguyên; đổi dấu chỉ một trong hai làm đổi sang số đối. Hai dấu âm ở tử và mẫu không tạo ra phân số âm:
\frac{-3}{-4}=\frac34,\qquad -\left(-\frac34\right)=\frac34.
Số đối của x là -x, thỏa x+(-x)=0. Số đối không phải nghịch đảo: với x=-3/4, số đối là 3/4, còn nghịch đảo là -4/3, vì tích bằng 1. Số 0 có số đối là 0 nhưng không có nghịch đảo.
Dự đoán: cứ có dấu “−” trong cách viết là số âm?
Không. Phải đọc toàn bộ biểu thức. (-3)/(-4) dương; -(-3/4) cũng dương. Hãy xác định dấu thuộc tử, mẫu, hay cả biểu thức trong ngoặc.
Cách chuẩn bị: đưa dấu âm ra trước hoặc về tử và giữ mẫu dương khi so sánh phân số. Không đổi dấu một mình mẫu mà giữ nguyên tử.
2. Trục số: thứ tự khác với khoảng cách đến 0
Trên trục số, số ở bên phải lớn hơn số ở bên trái. Vì vậy -1/4 lớn hơn -3/4, dù khoảng cách đến 0 của nó nhỏ hơn. Giá trị tuyệt đối |x| là khoảng cách từ điểm biểu diễn x đến 0, luôn không âm; hai số đối có cùng giá trị tuyệt đối.
Với hai phân số có mẫu dương, nhân cả hai số so sánh với tích mẫu dương giữ chiều. Chẳng hạn:
-\frac34=-\frac9{12},\qquad-\frac23=-\frac8{12},\qquad-\frac34<-\frac23.
Không dùng quy tắc “tử nào lớn hơn thì phân số lớn hơn” khi mẫu khác nhau. Cũng không bỏ dấu âm rồi giữ nguyên chiều so sánh: nếu 0<u<v, thì -v<-u<0.
Cộng 1/2 vào -3/4 là dịch sang phải 1/2 đơn vị, cho -1/4. Dịch sang phải không bắt buộc kết quả dương: còn phụ thuộc vị trí bắt đầu và khoảng dịch.
Các vạch cách đều: 320 đơn vị hình vẽ cho một đơn vị số. Mũi tên mô tả phép cộng, không phải phép đổi dấu hay nhân một số âm.
Tự thử: |-3/4|>|-1/4|, vậy -3/4>-1/4?
Không. Giá trị tuyệt đối so khoảng cách, còn thứ tự số so vị trí trái–phải. Trong hai số âm, số xa 0 hơn ở bên trái và nhỏ hơn.
3. Vì sao âm nhân âm thành dương?
Quy tắc dấu phải nhất quán với tính phân phối và số đối. Với các số hữu tỉ x,y, từ y+(-y)=0:
xy+x(-y)=x\bigl(y+(-y)\bigr)=0,\qquad x(-y)=-(xy).
Đổi dấu một thừa số làm tích đổi dấu. Tương tự (-x)y=-(xy); đổi dấu cả hai thừa số làm tích trở lại:
(-x)(-y)=-\bigl((-x)y\bigr)=-\bigl(-(xy)\bigr)=xy.
Với x,y>0, tích âm nhân âm vì vậy dương. Đây không phải “hai dấu âm nào cũng biến thành cộng”: trong (-x)+(-y), phép toán là cộng hai số âm, không phải nhân.
Khi chia cho y\ne0, nhân với nghịch đảo 1/y. Vì nghịch đảo giữ dấu của số khác 0, phép chia tuân cùng quy tắc dấu như nhân:
\left(-\frac34\right):\left(-\frac12\right)=\left(-\frac34\right)(-2)=\frac32.
Trước khi tính độ lớn, dự đoán dấu từ loại phép toán. Tích có một thừa số bằng 0 là 0; không gọi nó dương hoặc âm. Không chia cho 0, kể cả khi tử cũng bằng 0.
Phạm vi: chia hai số âm cho kết quả dương, nhưng cộng hai số âm cho kết quả âm. Hai kí hiệu “−” không đủ để biết quy tắc đang dùng.
4. Lũy thừa: cơ số trong ngoặc mới được lặp
Với số nguyên n\ge1, a^n là tích của n thừa số đều bằng a. Nếu cơ số là phân số âm, cần giữ ngoặc quanh cả cơ số:
\left(-\frac34\right)^2=\frac9{16},\qquad-\left(\frac34\right)^2=-\frac9{16}.
Ở biểu thức thứ nhất, cả số âm được nhân với chính nó; ở biểu thức thứ hai, dấu âm đứng ngoài lũy thừa. Với cơ số âm khác 0, số mũ chẵn cho kết quả dương, số mũ lẻ cho kết quả âm. Chẳng hạn (-3/4)^3=-27/64.
Với a\ne0, quy ước a^0=1 phù hợp khi chia hai lũy thừa cùng số mũ. Không dùng công thức ấy cho 0^0 trong phạm vi bài học này. Với số mũ nguyên dương, 0^n=0.
Phép biến đổi · Điều kiện đang dùng · Vì sao?
a^m a^n=a^{m+n} · m,n nguyên dương; a hữu tỉ. · Nối hai nhóm thừa số cùng cơ số.
(a^m)^n=a^{mn} · m,n nguyên dương. · Có n nhóm, mỗi nhóm m thừa số a.
\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} · a\ne0; m,n nguyên không âm; m\ge n. · Khử n thừa số khác 0; khi bằng nhau dùng a^0=1.
(ab)^n=a^n b^n · n nguyên dương; a,b hữu tỉ. · Nhóm lại các thừa số trong tích.
(a/b)^n=a^n/b^n · n nguyên dương; b\ne0. · Lặp phân số với mẫu khác 0.
Nếu a\ne0, m,n nguyên không âm và m<n, không cần dùng số mũ âm để hiểu phép chia. Khử nhóm ở tử rồi viết nghịch đảo:
\frac{a^m}{a^n}=\frac1{a^{n-m}}.
Không cộng số mũ trong một tổng lũy thừa. Ví dụ 2^2+2^3=4+8=12, khác 2^{2+3}=32. Quy tắc cộng số mũ thuộc phép nhân, không thuộc dấu cộng.
5. Ngoặc và thứ tự tính: giữ đúng cấu trúc
Với một biểu thức, tính trong ngoặc trước, rồi lũy thừa, nhân và chia, cuối cùng cộng và trừ. Các phép nhân–chia cùng mức thực hiện từ trái sang phải; cộng–trừ cũng vậy, nếu không có ngoặc quy định khác.
-\frac34+\frac12\cdot\frac23=-\frac34+\frac13=-\frac5{12}.
Nếu thêm ngoặc, biểu thức khác:
\left(-\frac34+\frac12\right)\frac23=-\frac14\cdot\frac23=-\frac16.
Không chuyển từ biểu thức thứ nhất sang thứ hai chỉ vì muốn tính nhanh. Phép phân phối có thể đổi cấu trúc nhưng phải giữ giá trị và toàn bộ dấu:
a(b-c)=ab-ac,\qquad a-(b-c)=a-b+c.
Dấu trừ trước ngoặc là lấy số đối của toàn bộ hiệu. Có thể viết a-(b-c)=a+[-(b-c)], rồi dùng -(b-c)=-b+c. Không chỉ đổi dấu số đầu mà giữ số sau.
Phép chia không kết hợp tùy ý. Chẳng hạn (1:2):3=1/6, còn 1:(2:3)=3/2. Vì vậy “cùng là chia” không cho phép bỏ ngoặc. Tránh kí hiệu chuỗi phân số khó đọc; dùng ngoặc hoặc phân số có tử, mẫu rõ.
6. Kiểm tra dấu, độ lớn và điều kiện trước đáp số
Kiểm tra dấu. Nếu nhân hai số âm khác 0 mà ra âm, cần xem lại. Nếu cộng hai số âm mà ra dương, phép biến đổi đã có vấn đề. Kiểm tra dấu phát hiện lỗi, nhưng đúng dấu chưa đủ bảo đảm đúng giá trị.
Kiểm tra độ lớn. Nhân với số dương trong khoảng từ 0 đến 1 làm độ lớn giảm với một số khác 0. Với 0<q<1, |xq|=|x|q<|x| khi x\ne0. Nhân một số âm với q làm nó gần 0 hơn và lớn hơn về thứ tự; không diễn đạt “mọi số đều nhỏ đi”.
Kiểm tra phép ngược. Nếu c=x:y với y\ne0, cần có cy=x. Với ví dụ mục 3, (3/2)(-1/2)=-3/4, phù hợp. Nếu đã chia cho 0, không có kết quả hợp lệ để kiểm tra kiểu này.
Kiểm tra điều kiện khi có chữ. Biểu thức (t+1)/(t+1) bằng 1 chỉ với t\ne-1. Tại t=-1, biểu thức ban đầu không xác định; rút gọn không tạo thêm giá trị được phép. Thay lại vào biểu thức gốc, không chỉ biểu thức đã rút gọn.
Giữ kết quả chính xác khi cần. -5/12 là giá trị chính xác; một số thập phân làm tròn chỉ là gần đúng. Không đổi dấu bằng thành lời khẳng định chính xác cho số đã làm tròn, và không làm tròn giữa các bước nếu việc đó làm mất thông tin cần dùng.
Ba câu trước khi kết thúc: dấu phù hợp? độ lớn có hợp lí? phép toán và các mẫu đều được phép? Mỗi kiểm tra xử lý một loại lỗi, không thay thế hoàn toàn việc tính đúng.
7. Tự kiểm tra: chọn quy tắc bằng cấu trúc
A. Có hai dấu âm trong (-3/4)+(-1/2). Có thể dùng quy tắc âm nhân âm?
Gợi ý A
Tìm phép toán chính giữa hai số.
Kiểm tra A
Không: đây là cộng hai số âm, kết quả âm. Phải giữ loại phép toán, không đếm dấu âm rồi chọn quy tắc nhân.
B. (-3/4)^2 và -(3/4)^2 có bằng nhau?
Kiểm tra B
Không. Một biểu thức có cơ số âm trong ngoặc, một biểu thức có dấu âm ngoài lũy thừa. Giá trị lần lượt 9/16 và -9/16.
C. Chia (-2/5)^6 cho (-2/5)^4 có hợp lệ?
Kiểm tra C
Có: cơ số khác 0, số mũ nguyên không âm và 6 không nhỏ hơn 4. Khử thừa số cho (-2/5)^2=4/25.
D. Nếu tử là (-2/5)^2 còn mẫu là (-2/5)^5, làm thế nào không dùng mũ âm?
Kiểm tra D
Khử hai thừa số, còn 1/(-2/5)^3=-125/8. Giữ ngoặc cơ số âm và điều kiện mẫu khác 0.
E. Mọi a^0 đều bằng 1, kể cả a bằng 0?
Kiểm tra E
Không dùng công thức đó cho 0. Quy tắc ở đây yêu cầu a\ne0; 0^0 không được gán giá trị trong bài học.
F. (t+1)/(t+1) rút gọn thành 1, vậy nhận t bằng −1?
Kiểm tra F
Không. Mẫu ban đầu bằng 0 tại −1. Điều kiện gốc vẫn phải giữ sau rút gọn.
G. Nhân -3/4 với 1/2 làm số nhỏ hơn về thứ tự?
Kiểm tra G
Không: kết quả -3/8 gần 0 hơn và lớn hơn -3/4. Độ lớn giảm khác với số nhỏ hơn về thứ tự.
H. Số đối của −3/4 có phải −4/3?
Kiểm tra H
Không. Số đối là 3/4, cộng lại bằng 0. -4/3 là nghịch đảo, nhân lại bằng 1.
Phiếu rà cuối: phép toán nào? dấu nằm ở đâu? ngoặc bao cơ số nào? số đối hay nghịch đảo? mẫu có bằng 0? số mũ thuộc phạm vi nào? đã dùng đúng thứ tự? kết quả giữ chính xác hay gần đúng?
THCS · Toán 7 · Hiểu cấu trúc, giữ điều kiện, kiểm tra kết quả.