Diện tích trong tam giác: đồng dạng và vị trí đạt lớn nhất
Dùng một phần chiều cao để mô tả cả họ hình chữ nhật, chứng minh cận diện tích và kiểm tra mỗi vị trí tối ưu có thật sự dựng được.
TOÁN 9 · ĐỒNG DẠNG VÀ CỰC TRỊ
Diện tích trong tam giác: đồng dạng và vị trí đạt lớn nhất
Dùng một phần chiều cao để mô tả cả họ hình chữ nhật, chứng minh cận diện tích và kiểm tra mỗi vị trí tối ưu có thật sự dựng được.
1. Chọn một chiều cao để nhìn cả một họ hình chữ nhật
Cho tam giác VBC có đáy BC=b>0, đường cao VD=H>0. Giả sử chân đường cao D nằm trên đoạn BC, kể cả hai đầu mút. Ta dựng hình chữ nhật MNPQ với M,N\in BC, Q\in VB, P\in VC, và QP\parallel BC.
Đặt chiều cao hình chữ nhật là y, đo từ đáy BC lên đường QP, với 0<y<H. Chiều dài cạnh QP sẽ được kí hiệu là x. Khi đường cắt đi lên, hình chữ nhật cao hơn nhưng hẹp hơn. Vì vậy “cao hơn” không tự động có nghĩa “diện tích lớn hơn”.
Dự đoán. Một hình rất thấp có đáy gần bằng BC, nhưng chiều cao gần bằng không. Một hình rất cao có chiều cao gần bằng H, nhưng cạnh trên gần co lại ở V. Diện tích lớn nhất phải xuất hiện ở một vị trí cân bằng giữa hai xu hướng này.
Muốn biến dự đoán thành chứng minh, cần ba bước: xác nhận hình dựng được trong miền đã chọn; dùng đồng dạng để liên hệ x,y; sau đó chứng minh cận và chỉ ra một hình thật sự đạt cận.
2. Đồng dạng biến một kích thước chuyển động thành biểu thức bậc nhất
Vì QP\parallel BC, hai tam giác VQP và VBC đồng dạng. Hai đường cao tương ứng của chúng có độ dài H-y và H, nên tỉ số đồng dạng bằng (H-y)/H. Do đó
\frac{x}{b}=\frac{H-y}{H}\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=b\left(1-\frac yH\right)}.
Nếu dùng t=y/H, với 0<t<1, quan hệ đơn giản thành x=b(1-t). Số t cho biết chiều cao hình chữ nhật chiếm bao nhiêu phần chiều cao tam giác; chiều dài cạnh trên chiếm phần bù 1-t của đáy.
Để giải thích tỉ số hai đường cao, có thể hạ các đường vuông góc từ V xuống hai đáy song song. Chọn một cạnh bên không trùng đường cao, luôn có vì b>0. Hai tam giác vuông tạo bởi cạnh bên ấy và hai đường cao có chung góc tại V, nên đồng dạng. Vì thế đường cao cũng thay đổi theo cùng tỉ số với cạnh bên và đáy.
Đường cắt song song với đáy tạo một tam giác nhỏ đồng dạng. Hình minh họa một vị trí hợp lệ; các công thức chứng minh quan hệ cho mọi mức cắt trong miền.
Vì sao điều kiện chân đường cao nằm trên đáy quan trọng? Đặt B=(0,0),C=(b,0),V=(d,H), với 0\le d\le b. Ở mức y=tH, hai điểm trên cạnh bên có tọa độ
Q=(td,tH),\qquad P=((1-t)b+td,tH).
Các hình chiếu của chúng xuống đáy có hoành độ td và (1-t)b+td, đều nằm trong [0,b]. Hoành độ thứ hai lớn hơn thứ nhất đúng b(1-t)>0. Vì y>0, ta thật sự có một hình chữ nhật không suy biến, với mọi 0<t<1. Hai công thức tọa độ cũng xuất phát từ Thales: điểm cắt chiếm phần t của mỗi cạnh khi đi từ đáy lên đỉnh.
3. Từ tích hai phần bù nhau đến diện tích lớn nhất
Diện tích hình chữ nhật bằng
S=xy=b(1-t)Ht=bH\,t(1-t).
Hoàn thành bình phương:
t(1-t)=\frac14-\left(t-\frac12\right)^2\le\frac14.
Vì bH>0, suy ra
\boxed{S\le\frac{bH}{4}}.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t=1/2. Giá trị này nằm trong miền 0<t<1, và phần 2 đã chứng minh mọi giá trị trong miền đều dựng được. Vậy cận trên thật sự là giá trị lớn nhất, đạt ở
\boxed{y=\frac H2,\qquad x=\frac b2}.
Do tỉ số đồng dạng VQP:VBC bằng 1/2, hai điểm Q,P khi ấy là trung điểm của hai cạnh bên. Với một tam giác cố định và cách đặt đáy hình chữ nhật đã nêu, mức cắt này là duy nhất; vì thế hình chữ nhật đạt cực đại cũng duy nhất.
Diện tích tam giác bằng bH/2. Do đó diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng một nửa diện tích tam giác, trong đúng cấu hình và điều kiện dựng ở phần 1.
4. Một cận trên phải đi kèm điều kiện dựng và điều kiện dấu bằng
Nếu chân đường cao nằm ngoài đoạn đáy, mô hình hình chữ nhật ở phần 1 có thể không dựng được. Ví dụ B=(0,0),C=(10,0),V=(-2,6). Ở bất kì mức t>0, điểm trên cạnh VB có hoành độ -2t<0. Hình chiếu của nó nằm ngoài BC, nên không thể lấy làm một đỉnh đáy của hình chữ nhật theo đúng cấu hình đã yêu cầu.
Công thức độ dài của một đoạn song song vẫn tính được, nhưng nó chưa bảo đảm hình chữ nhật nằm trong tam giác với hai đỉnh đáy trên đoạn BC. Vì vậy không mở rộng kết luận cực đại mà bỏ qua điều kiện dựng.
Ngay cả khi hình luôn dựng được, giới hạn chiều cao mới cũng có thể loại vị trí cân bằng. Chẳng hạn yêu cầu thêm 3/4\le t<1. Khi ấy
t-\frac12\ge\frac14\quad\Rightarrow\quad S\le bH\left(\frac14-\frac1{16}\right)=\frac{3bH}{16}.
Dấu bằng đạt tại t=3/4, nên đây là giá trị lớn nhất trong miền mới, nhỏ hơn bH/4.
Một miền có thể không có hình đạt diện tích lớn nhất
Nếu điều kiện là 0<t<1/3, mọi vị trí đều có thể tăng diện tích bằng cách chọn t' nằm giữa t và 1/3. Thật vậy:
t'(1-t')-t(1-t)=(t'-t)(1-t-t')>0,
vì t'>t và t+t'<2/3<1. Do mỗi hình đều có một hình hợp lệ khác lớn hơn, không tồn tại hình có diện tích lớn nhất trong miền này. Với 0<t<1/3, đẳng thức 2/9-t(1-t)=(1/3-t)(2/3-t)>0 cho cận 2bH/9. Mức t=1/3 đạt cận đã bị loại khỏi miền.
5. Cùng diện tích không có nghĩa cùng hình dạng
Hai vị trí t và 1-t cho cùng tích t(1-t), nên có cùng diện tích. Nhưng chúng có thể có các cạnh và chu vi khác nhau.
Ví dụ độc lập, chọn một tam giác có đáy b=12, chiều cao H=8, và chân đường cao nằm trên đoạn đáy. Khi t=1/4, hình chữ nhật có hai cạnh 9,2, diện tích 18, chu vi 22. Khi t=3/4, hai cạnh là 3,6, diện tích cũng 18, nhưng chu vi 18.
Đẳng thức diện tích chỉ nói tích hai kích thước bằng nhau. Nó không nói từng kích thước hoặc tổng của chúng bằng nhau. Hai vị trí cân đối quanh t=1/2 giải thích vì sao một yêu cầu diện tích có thể cho hai hình khác nhau.
Trục ngang là t=y/H; trục dọc là S/(bH). Hai vị trí t=1/4,3/4 có cùng diện tích chuẩn hóa; đỉnh ở t=1/2. Hai đầu mút biểu diễn hình suy biến.
Ở t=0, hình có chiều cao bằng không; ở t=1, cạnh trên co lại thành một điểm. Cả hai là hình suy biến có diện tích bằng không. Công thức đại số vẫn nhận hai đầu mút này, nhưng hình chữ nhật có hai kích thước dương dùng miền 0<t<1.
6. Một ứng dụng đo đạc đầy đủ
Khu đất là tam giác ABC vuông tại A, với AB=6 m, AC=8 m. Dựng vườn hình chữ nhật có một cạnh trên BC, hai đỉnh còn lại nằm trên AB,AC, như mô hình đã học. Chi phí làm vườn tỉ lệ với diện tích, đơn giá 1{,}4 triệu đồng cho mỗi mét vuông.
Đáy cần dùng là cạnh huyền:
BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \text{m}.
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh vuông góc cũng bằng diện tích tính theo đáy và đường cao:
\frac12\cdot6\cdot8=\frac12\cdot10\cdot H\Rightarrow H=4{,}8\ \text{m}.
Trong tam giác vuông không suy biến, chân đường cao từ góc vuông nằm trong cạnh huyền, nên điều kiện dựng được thỏa mãn. Kết quả tổng quát cho
S_{\max}=\frac{10\cdot4{,}8}{4}=12\ \text{m}^2,x=5\ \text{m},\qquad y=2{,}4\ \text{m}.
Chi phí của vườn đạt diện tích lớn nhất là 12\cdot1{,}4=16{,}8 triệu đồng. Kiểm tra độc lập: diện tích tam giác là 24 mét vuông, nên kết quả 12 đúng bằng một nửa.
Nếu phóng to mọi độ dài của khu đất gấp k>0, đáy và chiều cao đều nhân k, nên diện tích lớn nhất nhân k^2. Chẳng hạn đổi hai cạnh vuông góc thành 9 m và 12 m là phóng to 3/2 lần, nên diện tích lớn nhất là 12\cdot(3/2)^2=27 mét vuông. Đây là hệ quả về tỉ lệ, không cần lập lại toàn bộ phương trình.
7. Đi ngược: biết diện tích thì có bao nhiêu mức cắt?
Giữ tam giác và cấu hình hợp lệ của phần 1. Muốn hình chữ nhật có diện tích s, ta cần
bH\,t(1-t)=s\Longleftrightarrow t^2-t+\frac{s}{bH}=0.
Với 0<s<bH/4, biệt thức 1-4s/(bH) nằm trong (0,1), nên có hai nghiệm
\boxed{t=\frac{1\pm\sqrt{1-4s/(bH)}}{2}}.
Cả hai đều trong (0,1), có tổng bằng 1. Phần 2 bảo đảm mỗi nghiệm tạo được một hình, và mọi hình có diện tích s đều phải cho một nghiệm của phương trình. Do đó đây là đúng hai vị trí, không phải hai ứng viên chưa kiểm tra.
Nếu s=bH/4, chỉ có t=1/2. Nếu s>bH/4, không có vị trí nào. Nếu s=0, chỉ có hai hình suy biến ở t=0,1, không thuộc lớp hình chữ nhật có hai cạnh dương. Diện tích âm cũng không thể xảy ra.
Kiểm tra lại ví dụ có hai hình
Với bH=96, s=18, ta có 1-4s/(bH)=1/4. Công thức cho t=(1\pm1/2)/2, tức 1/4 và 3/4, đúng hai vị trí đã mô tả ở phần 5.
Đồng dạng cho công thức; bình phương không âm cho cận; miền dựng cho phép hoặc loại vị trí dấu bằng; chiều đảo xác nhận có đủ các hình đạt một diện tích cho trước. Bốn phần này kết hợp mới tạo được một kết luận cực trị hoàn chỉnh.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu