Xác suất có điều kiện: đếm đúng kết quả, đọc đúng cách chọn
Đồng khả năng, đơn vị kết quả, cây hai lượt, trả lại và độc lập, thứ tự và biến cố đối, tần suất và giới hạn mô hình. Bộ 8 thẻ tự biên soạn, sơ đồ và tự kiểm…
THCS · TOÁN · MÔ HÌNH XÁC SUẤT
Xác suất có điều kiện: đếm đúng kết quả, đọc đúng cách chọn
Mục tiêu: giải thích được vì sao một tỉ số là xác suất, vì sao lượt chọn sau có thể thay đổi và vì sao tần suất quan sát chưa phải lời bảo đảm.
Toàn bộ thẻ, bảng và tình huống dưới đây được tự biên soạn để học khái niệm. Không cần đề thi hay bảng đáp án bên ngoài.
1. Mô tả phép thử trước khi đếm
Một kết quả sơ cấp là một khả năng cụ thể trong mô hình đang xét; một biến cố là tập các kết quả ta quan tâm. Hãy xác định vật được chọn, cách chọn, số lượt, việc trả lại và thông tin được ghi nhận.
Bộ thẻ dùng xuyên suốt: có 8 thẻ riêng biệt, ghi số từ 1 đến 8. Thẻ 1, 2, 3 màu xanh; thẻ 4, 5, 6, 7, 8 màu vàng. Trong mô hình chọn đều một thẻ, mỗi số có xác suất 1/8. Đây là giả thiết về cơ chế chọn, không phải kết luận chỉ từ màu hoặc số lượng.
Thông tin · Mô hình một lượt · Ý nghĩa
Kết quả sơ cấp · \Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} · 8 thẻ cụ thể được chọn đều.
Biến cố G: thẻ xanh · G=\{1,2,3\} · Gồm 3 kết quả sơ cấp.
Biến cố Y: thẻ vàng · Y=\{4,5,6,7,8\} · Gồm 5 kết quả sơ cấp.
Nếu chỉ ghi màu, dữ liệu quan sát có hai nhãn xanh và vàng. Nhưng hai nhãn không tự trở thành hai kết quả đồng khả năng: dưới cách chọn đều thẻ, P(G)=3/8, P(Y)=5/8.
2. Công thức đếm cần giả thiết đồng khả năng
Với một không gian mẫu hữu hạn gồm N>0 kết quả đồng khả năng và biến cố A chứa k kết quả, ta có P(A)=k/N. Cơ sở là mỗi kết quả có xác suất 1/N, và cộng xác suất của các kết quả riêng biệt trong A.
Trong bộ thẻ, P(G)=3\cdot(1/8)=3/8. Tử số và mẫu số cùng đếm thẻ cụ thể . Không lấy 3 thẻ xanh chia cho 2 màu, cũng không dùng một mẫu số chỉ gồm những thẻ mình thích.
Cùng một bộ thẻ, cách chọn khác cho xác suất khác: nếu tung đồng xu cân bằng để chọn màu, rồi chọn đều một thẻ trong màu đã chọn, thì P(G)=1/2. Khi ấy mỗi thẻ xanh có xác suất (1/2)(1/3)=1/6, mỗi thẻ vàng có xác suất (1/2)(1/5)=1/10. Tám thẻ không còn đồng khả năng.
Câu “chọn ngẫu nhiên” cần một cách hiểu cụ thể. Trộn kĩ, vật không dễ phân biệt và cách rút công bằng có thể hỗ trợ mô hình chọn đều; chỉ nói “cùng kích thước” không tự chứng minh xác suất bằng nhau trong mọi cơ chế. Nếu cơ chế chưa rõ, hãy nêu giả thiết thay vì biến nó thành sự thật đã đo được.
3. Không trả lại: trạng thái sau lượt đầu đổi
Xét hai lượt chọn đều thẻ còn lại, không trả lại thẻ vừa rút. Ta ghi cặp theo thứ tự. Có 8\cdot7=56 cặp thẻ khác nhau; mỗi cặp có xác suất (1/8)(1/7)=1/56.
Nếu lượt đầu xanh, còn 2 xanh và 5 vàng. Trong 7 thẻ còn lại, xác suất lượt sau xanh là 2/7. Nếu lượt đầu vàng, còn 3 xanh và 4 vàng: xác suất lượt sau xanh là 3/7. Mẫu số 7 đi với trạng thái đã biết lượt đầu , không phải mẫu số của lượt đầu.
Đọc từ trái sang phải. Nhãn trên nhánh thứ hai là xác suất trong trạng thái sau lượt đầu. Nhân dọc một đường đi; cộng các đường đi riêng biệt thuộc cùng biến cố.
Ví dụ xác suất cả hai thẻ xanh là (3/8)(2/7)=6/56=3/28. Không cần hai lượt độc lập để nhân theo cây: số 2/7 đã là xác suất của lượt hai khi biết lượt một xanh. Viết (3/8)(3/8) ở đây sẽ bỏ qua việc mất một thẻ xanh.
Bốn loại đường đi có tổng (6+15+15+20)/56=1. Kiểm tra tổng giúp phát hiện nhánh bị thiếu hoặc tính sai; một tổng bằng 1 chưa đủ chứng minh toàn bộ mô hình đúng.
4. “Một xanh, một vàng” khác “xanh trước, vàng sau”
Thứ tự có thể được ghi trong mô hình dù biến cố không yêu cầu thứ tự. Với “một xanh, một vàng”, cả xanh rồi vàng và vàng rồi xanh đều đạt yêu cầu. Hai loại này không thể xảy ra đồng thời trong một lần thử.
Do đó xác suất là 15/56+15/56=30/56=15/28. Riêng “xanh trước, vàng sau” chỉ dùng một đường đi, xác suất 15/56. Cộng hai đường đi cho câu có yêu cầu thứ tự sẽ tính thừa.
Nếu dùng cặp không thứ tự: có 56/2=28 cặp hai thẻ khác nhau. Mỗi cặp gồm hai thứ tự nên, dưới cơ chế chọn đều không trả lại này, chúng đồng khả năng. Cặp khác màu có 3\cdot5=15 khả năng, cũng cho 15/28. Không trộn tử số đếm cặp không thứ tự với mẫu số 56 đếm cặp có thứ tự.
Với biến cố “ít nhất một xanh”, có thể cộng ba đường đi có xanh, hoặc dùng biến cố đối “cả hai vàng”: 1-20/56=36/56=9/14. Không dùng 1-5/8: đó là phần bù của một lượt vàng, không phải của hai lượt đều vàng.
5. Trả lại: cùng tỉ lệ chưa đủ, cần cơ chế lượt sau
Thay cơ chế: rút một thẻ, ghi màu, trả lại đủ bộ 8 thẻ , trộn lại và chọn đều ở lượt sau. Khi biết bất kì thẻ nào của lượt đầu, cơ hội xanh ở lượt sau vẫn là 3/8. Trong mô hình này, hai lượt chọn độc lập.
Đại lượng · Không trả lại · Trả lại và chọn đều lại
Số thẻ cho lượt hai · 7 · 8
Lượt hai xanh, biết lượt đầu xanh · 2/7 · 3/8
Cả hai xanh · 3/28 · (3/8)^2=9/64
Một xanh, một vàng · 15/28 · 2(3/8)(5/8)=15/32
Trả lại là thay đổi trạng thái vật; độc lập còn là một tính chất của cơ chế chọn. Nếu sau khi trả lại, người tổ chức cố ý chọn lượt hai cùng màu lượt đầu, hai lượt phụ thuộc và xác suất cả hai xanh là 3/8, dù bộ thẻ đã được khôi phục.
Trong cơ chế không trả lại, xác suất không kèm thông tin lượt đầu của lượt hai xanh vẫn là (3/8)(2/7)+(5/8)(3/7)=21/56=3/8. Hai lượt có cùng xác suất xanh riêng lẻ nhưng không độc lập, vì biết lượt đầu xanh đổi cơ hội lượt hai từ 3/8 thành 2/7.
6. Tần suất là quan sát; xác suất thuộc mô hình
Trong một bản ghi giả lập 40 lượt chọn một thẻ, mỗi lượt trả lại và chọn đều lại, có 13 lượt xanh. Tần suất xanh của bản ghi là 13/40=0{,}325. Xác suất xanh theo mô hình vẫn là 3/8=0{,}375; không thay mô hình bằng tần suất chỉ vì có dữ liệu.
Mô hình cho số lượt xanh trung bình dự kiến trong 40 lượt là 40(3/8)=15. Đây không phải số bắt buộc: 13 lượt xanh vẫn có thể xảy ra. Khi nhiều lượt độc lập được thực hiện theo cùng một cơ chế, tần suất có xu hướng ổn định gần xác suất; không có bảo đảm nó tiến gần hơn sau từng lượt hay đúng bằng xác suất ở một mốc hữu hạn.
Nhiều lần không rút được xanh không làm lượt kế tiếp “phải bù xanh” trong mô hình trả lại, trộn lại và chọn đều độc lập. Với mô hình không trả lại, xác suất thay đổi do số thẻ còn lại thực sự đổi. Phân biệt thay đổi vật lí với cảm giác đã đến lượt.
Nếu tần suất lệch lớn hoặc kéo dài, cần kiểm tra dữ liệu, số lượt và cơ chế: đã trả lại chưa, có chọn đều thật không, cách ghi có sai không? Một bản ghi đơn lẻ chưa tự chứng minh thiên lệch; giả thiết ban đầu cũng không miễn cho ta việc kiểm tra cơ chế.
7. Tự kiểm tra mô hình trước khi tính
Với mỗi tình huống mới, hãy viết một câu dự đoán trước khi mở gợi ý. Mục tiêu là giải thích điều kiện của phương pháp, không ghi nhớ một đáp số.
1. Chỉ ghi hai màu: mỗi màu có xác suất 1/2?
Gợi ý: hai nhãn chứa bao nhiêu thẻ?
Giải thích: chọn đều một trong 8 thẻ cho xanh 3/8, vàng 5/8. Chỉ cơ chế chọn đều màu mới cho mỗi màu 1/2.
2. Chọn màu bằng đồng xu rồi chọn thẻ: tám thẻ có đồng khả năng?
Gợi ý: đi theo một đường “màu → thẻ”.
Giải thích: mỗi thẻ xanh có 1/6, mỗi thẻ vàng có 1/10; tổng 3(1/6)+5(1/10)=1. Không dùng 3/8 cho xác suất xanh của cơ chế này.
3. Đã rút xanh, không trả lại: dùng mẫu số 8 hay 7?
Gợi ý: ghi lại bộ thẻ còn trong tay người rút.
Giải thích: còn 7 thẻ, trong đó 2 xanh. Cơ hội xanh tiếp theo là 2/7, với giả thiết chọn đều một thẻ còn lại.
4. Hai lượt không trả lại có cùng xác suất xanh riêng lẻ: độc lập?
Gợi ý: so sánh cơ hội khi chưa biết và khi đã biết lượt đầu xanh.
Giải thích: chưa biết lượt đầu, lượt hai xanh có xác suất 3/8; biết lượt đầu xanh thì còn 2/7. Cùng xác suất riêng lẻ không đủ cho độc lập.
5. Một xanh, một vàng: vì sao phải cộng hai đường?
Gợi ý: biến cố có yêu cầu màu nào trước không?
Giải thích: không yêu cầu thứ tự nên nhận cả GY và YG; chúng riêng biệt, tổng 15/28. Nếu yêu cầu xanh trước thì chỉ GY, 15/56.
6. Trả lại nhưng cố ý chọn cùng màu: được nhân 3/8 với 3/8?
Gợi ý: biết lượt đầu xanh thì lượt hai xanh có còn là 3/8?
Giải thích: không; lượt hai chắc chắn xanh khi lượt đầu xanh, nên cả hai xanh có xác suất (3/8)\cdot1=3/8. Bộ thẻ được khôi phục không tự tạo độc lập.
7. Có 13 lượt xanh trong 40 lượt: xác suất thật bằng 13/40?
Gợi ý: tách số đo từ một bản ghi khỏi giả thiết về cơ chế.
Giải thích: 13/40 là tần suất đã ghi. Dưới mô hình chọn đều bộ 8 thẻ, xác suất là 3/8; dữ liệu giúp đánh giá mô hình nhưng một bản ghi không cho giá trị xác suất chính xác.
8. Tổng bốn nhánh bằng 1: đã chắc mô hình đúng?
Gợi ý: một bảng sai có thể vẫn cộng đủ 1 không?
Giải thích: có. Tổng 1 là kiểm tra cần thiết cho phân bố đủ các khả năng, nhưng vẫn phải kiểm tra sự kiện, trạng thái, cách chọn và từng xác suất nhánh.
Quy trình mang sang tình huống khác: mô tả phép thử → chọn đơn vị kết quả → nêu giả thiết đồng khả năng → cập nhật trạng thái → diễn đạt biến cố đúng thứ tự → kiểm tra tổng và giới hạn → phân biệt xác suất với quan sát.
THCS · Tài liệu khái niệm tự biên soạn · Các số liệu ghi nhận ở mục 6 là giả lập, không phải báo cáo thực nghiệm.