Khảo sát theo đường thẳng: khi nào bậc đa thức giảm?
Nhóm hạng tử theo tổng số mũ để chứng minh bậc sau phép thay, tìm đủ các hướng triệt tiêu và phân biệt một đa thức không trên đường với đa thức không ở mọi…
TOÁN 8 · NHIỀU BIẾN, MỘT THAM SỐ VÀ BẬC
Khảo sát theo đường thẳng: khi nào bậc đa thức giảm?
Nhóm hạng tử theo tổng số mũ để chứng minh bậc sau phép thay, tìm đủ các hướng triệt tiêu và phân biệt một đa thức không trên đường với đa thức không ở mọi nơi.
1. Một đa thức hai biến có thể trông khác trên từng đường thẳng
Xét đa thức được chọn từ nguồn:
M(x,y)=x^4y-3x^2y^3+5xy+7.
Sau khi thu gọn, hai hạng đầu có bậc tổng là 5, hạng 5xy có bậc 2, còn 7 là hằng số. Vì các hạng đầu không đồng dạng nên không triệt tiêu nhau trong đa thức hai biến; M có bậc 5.
Tuy nhiên, nếu chỉ quan sát trên đường y=0, ta luôn thấy M(x,0)=7. Nếu khảo sát trên một đường khác, có thể thấy đa thức theo tham số bậc hai hoặc bậc năm. Bậc của đa thức gốc và bậc của kết quả sau một phép thay là hai thông tin khác nhau.
Dự đoán. Hai hạng tử khác loại không được gộp khi còn hai biến độc lập. Khi đặt x=ut,y=vt, điều gì có thể khiến chúng trở thành cùng một lũy thừa của t và triệt tiêu?
Trong bài, các hệ số và tham số đều thực. Bậc chỉ gán cho đa thức khác không; hằng số khác không có bậc 0, còn đa thức không không được gán bậc.
2. Nhóm các hạng tử theo tổng số mũ
Một đơn thức khác không chứa x^iy^j có bậc tổng i+j, với i,j là số nguyên không âm. Ta hiểu thừa số có số mũ bằng không là không xuất hiện trong tích; hạng hằng được viết riêng, nên không cần thực hiện phép tính 0^0 khi thay giá trị bằng không.
Với một đa thức P(x,y) bậc d\ge1, gom các hạng tử cùng bậc tổng thành các nhóm H_0,H_1,\ldots,H_d:
P=H_0+H_1+\cdots+H_d.
Trong H_k, mọi hạng tử khác không có tổng số mũ k. Nếu không có hạng tử ở mức ấy thì H_k=0; chỉ số k là tên nhóm, không phải gán bậc cho đa thức không. Nhóm cao nhất H_d khác không.
Với đa thức nguồn:
H_5=x^4y-3x^2y^3,\qquad H_2=5xy,\qquad H_0=7,
các nhóm còn lại bằng không. Nhóm như H_5 được gọi là phần thuần nhất bậc 5: các hạng tử khác phần biến nhưng cùng tổng số mũ.
Điểm (i,j) biểu diễn phần biến x^iy^j. Hai điểm màu nâu cùng có i+j=5; điểm (1,1) có bậc 2, còn gốc biểu diễn hạng hằng 7. Tọa độ số mũ khác nhau không ngăn tổng bậc bằng nhau.
3. Thay theo một đường thẳng: vì sao bậc không thể tăng?
Chọn một cặp (u,v)\ne(0,0) cố định, đặt
x=ut,\qquad y=vt,\qquad t\in\mathbb R.
Khi t thay đổi, điểm (x,y) chạy trên một đường thẳng qua gốc. Nếu u=0 thì đó là trục tung; nếu v=0 thì là trục hoành. Không chia cho u hay v khi chưa biết chúng khác không.
Một hạng tử tổng bậc k nhận đúng k thừa số t, nên H_k(ut,vt)=t^kH_k(u,v) khi k\ge1. Nhóm hằng không đổi. Vì thế
\boxed{P(ut,vt)=H_0+H_1(u,v)t+\cdots+H_d(u,v)t^d.}
Đây là một đẳng thức từ tính phân phối và quy tắc nhân lũy thừa. Không có hạng nào tạo được số mũ của t lớn hơn d. Nếu kết quả khác không, bậc theo t không vượt d.
Kết quả có bậc đúng bằng d khi và chỉ khi H_d(u,v)\ne0. Nếu hệ số ấy bằng không, tìm nhóm cao nhất còn giá trị khác không. Nếu tất cả các nhóm cùng cho không, kết quả là đa thức không theo t, không được gọi là “bậc không”.
Điều kiện H_d(u,v)=0 không nói rằng cả nhóm H_d(x,y) là đa thức không. Nó chỉ nói nhóm ấy có giá trị bằng không ở hướng đang chọn.
4. Phân loại đầy đủ các hướng của đa thức nguồn
Thay vào M, ta được
M(ut,vt)=u^2v(u^2-3v^2)t^5+5uvt^2+7.
Hệ số bậc năm là u^2v(u^2-3v^2). Xét mọi cặp hướng khác (0,0):
- Nếu uv=0, cả hệ số bậc năm và bậc hai đều bằng không. Kết quả là 7, bậc 0.
- Nếu uv\ne0 và u^2=3v^2, hệ số bậc năm bằng không nhưng 5uv\ne0. Kết quả có bậc 2.
- Nếu uv\ne0 và u^2\ne3v^2, hệ số bậc năm khác không. Kết quả có bậc 5.
Ba trường hợp phủ hết và không trùng nhau. Vì chỉ có các số mũ 5,2,0, không có hướng nào cho bậc 1,3 hoặc 4. Hằng số 7 còn nguyên, nên cũng không có hướng nào làm kết quả thành đa thức không.
Ba phép thay có thể tự kiểm bằng khai triển
M(t,t)=-2t^5+5t^2+7,
M(\sqrt3t,t)=5\sqrt3t^2+7,\qquad M(t,0)=7.
Trong phép thay thứ hai, x^4y và -3x^2y^3 trở thành 9t^5 và -9t^5. Chúng triệt tiêu sau khi hai biến bị ràng buộc, dù không phải hạng tử đồng dạng trong đa thức gốc.
Trong mặt phẳng (u,v), hai đường màu nâu thỏa u^2=3v^2. Hai trục cho bậc 0; các hướng khác các đường đặc biệt cho bậc 5, với u=v là một ví dụ màu xanh lá. Dấu tròn rỗng loại cặp (0,0) khỏi khái niệm hướng đường thẳng.
5. Cùng một đường, đổi cách chọn tham số
Các cặp (u,v) và (cu,cv), với c\ne0, mô tả cùng một đường thẳng qua gốc. Mỗi nhóm thuần nhất thỏa
H_k(cu,cv)=c^kH_k(u,v)\qquad(k\ge1).
Vì c^k\ne0, một hệ số bằng không ở cách chọn này khi và chỉ khi nó bằng không ở cách chọn kia. Bậc của kết quả không đổi. Đổi tốc độ hoặc chiều chạy của tham số không làm đổi việc nhóm cao nhất có bị triệt tiêu trên cả đường hay không.
Ví dụ (u,v)=(\sqrt3,1) và (2\sqrt3,2) cho cùng một hướng bậc hai của M. Các hệ số theo t khác nhau, nhưng hạng cao nhất còn lại vẫn có số mũ 2.
Nếu chọn cặp bằng không?
Với (u,v)=(0,0), điểm (ut,vt) luôn là gốc, không chạy trên một đường thẳng. Kết quả chỉ là hằng số P(0,0), có thể khác không hoặc bằng không. Đó là một phép thay đại số hợp lệ, nhưng không thuộc các hướng khác không đang được phân loại.
6. Một đa thức không trên đường chưa phải đa thức không ở mọi nơi
Xét ví dụ độc lập P(x,y)=x^2-y^2, có bậc 2. Trên đường x=y=t, ta có P(t,t)=0 với mọi t. Trên đường x=t,y=-t, kết quả cũng bằng không. Nhưng tại (1,0), P=1, nên đa thức hai biến không phải đa thức không.
Thử vô số điểm nhưng chỉ trên một vài đường đặc biệt vẫn có thể bỏ sót hành vi ngoài các đường đó. Trong ví dụ, nhân tử (x-y)(x+y) giải thích chính xác hai đường bị triệt tiêu.
Dời đường song song: nhóm cao nhất giữ điều gì?
Xét phép thay tổng quát hơn
x=a+ut,\qquad y=b+vt,\qquad (u,v)\ne(0,0).
Một hạng tử tổng bậc d tạo hệ số của t^d bằng cách chọn ut hoặc vt từ mọi thừa số. Chọn một hằng số a hay b sẽ hạ số mũ của t; các hạng tử ban đầu có bậc thấp hơn cũng không tạo được t^d. Vì thế hệ số cao nhất vẫn là
\boxed{H_d(u,v).}
Điều kiện giữ nguyên bậc d chỉ phụ thuộc hướng, không phụ thuộc điểm đặt (a,b). Tuy nhiên, khi nhóm cao nhất đã triệt tiêu, các nhóm còn lại có thể thay đổi.
Với P=x^2-y^2, đường (x,y)=(t,t) cho đa thức không. Đường song song (x,y)=(t,t+1) lại cho
P(t,t+1)=t^2-(t+1)^2=-2t-1,
bậc 1. Cùng hướng (1,1) đều làm bậc hai biến mất; giá trị sau đó phụ thuộc vị trí đường.
7. Giới hạn của phép thay thẳng và hai phản ví dụ
Thay phi tuyến có thể làm bậc tăng
Với chính M, đặt x=t,y=t^2 thì
M(t,t^2)=t^6-3t^8+5t^3+7,
có bậc 8 theo t. Điều này không trái với phần 3: phép thay không còn có dạng x=ut,y=vt, mà đi theo một đường cong. Đa thức gốc theo x,y vẫn có bậc 5.
Không phải đa thức nào cũng có hướng làm giảm bậc
Xét Q=x^2+xy+y^2. Sau phép thay thẳng,
Q(ut,vt)=(u^2+uv+v^2)t^2.
Với mọi (u,v)\ne(0,0),
u^2+uv+v^2=\frac{(u+v)^2+u^2+v^2}{2}>0.
Vậy mọi hướng khác không đều giữ bậc 2. Những hướng đặc biệt của đa thức M đến từ việc nhóm cao nhất của nó có thể bằng không, không phải từ một quy luật buộc mọi đa thức phải có hướng giảm bậc.
8. Chuyển giao: kết quả có thể bằng không hoàn toàn
Cho đa thức độc lập
Q(x,y)=x^3y-xy^3+x^2-y^2=(x^2-y^2)(xy+1).
Với hướng (u,v)\ne(0,0), ta có
Q(ut,vt)=(u^2-v^2)t^2(uvt^2+1).
Thử phân loại. Hướng nào cho bậc bốn, hướng nào cho bậc hai, và hướng nào cho đa thức không? Hãy kiểm tra nhóm cao nhất rồi tiếp tục xét nhóm còn lại.
Phân loại đầy đủ và hai chiều
Nếu u^2=v^2, thừa số đầu bằng không, nên kết quả là đa thức không. Ngược lại, nếu u^2\ne v^2, hệ số của t^2 là u^2-v^2\ne0, nên không thể là đa thức không.
Trong trường hợp u^2\ne v^2, nếu uv=0, kết quả có bậc 2. Nếu uv\ne0, hệ số t^4 là uv(u^2-v^2)\ne0, nên bậc 4. Mỗi điều kiện đều đủ, và ba nhánh đã phủ hết hướng khác không. Kết quả không có bậc 0,1,3.
Chỉ nhìn đường y bằng không có nhận ra bậc gốc của Q?
Không. Trên x=t,y=0, ta thấy Q=t^2, nhưng đa thức gốc có hai hạng bậc 4. Đường được chọn làm nhóm x^3y-xy^3 bằng không. Một lát khảo sát có thể làm mất đúng nhóm cần dùng để xác định bậc toàn bộ.
Đa thức gốc là hằng số hoặc đa thức không
Nếu P=c\ne0, mọi phép thay đều cho hằng số c, bậc 0. Nếu P=0, mọi phép thay cho đa thức không và không gán bậc. Các trường hợp ấy không cần tìm nhóm bậc dương hay một hướng đặc biệt.
Muốn hiểu một phép thay, hãy giữ rõ hai đối tượng: đa thức theo các biến độc lập và đa thức theo tham số sau khi các biến bị ràng buộc. Nhóm các hạng tử theo tổng bậc cho biết chính xác lúc nào bậc được giữ, lúc nào giảm và khi nào kết quả biến mất hoàn toàn.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu