Đếm đúng đơn vị: từ bảng đăng kí đến tỉ lệ và xác suất
Chuyên đề Toán THCS về học sinh và lượt đăng kí, mẫu số của tỉ lệ, dữ liệu chồng lặp, mô hình chọn đều và giới hạn kết luận; bảng tự biên soạn đầy đủ, sơ đồ…
THCS · TOÁN · THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Đếm đúng đơn vị: từ bảng đăng kí đến tỉ lệ và xác suất
Trước khi chia, hãy hỏi: tử số đếm gì, mẫu số đếm gì và một đối tượng có được tính nhiều lần không?
Mọi dữ liệu trong chuyên đề được tự biên soạn để học khái niệm; không đại diện cho một khảo sát thật hay đáp án đề thi.
1. Bảng có thể đếm lượt, không đếm người khác nhau
Một lớp giả định có đúng 20 học sinh. Mỗi em được đăng kí tối đa một lần cho mỗi câu lạc bộ, có thể chọn nhiều câu lạc bộ hoặc không chọn câu lạc bộ nào. Chỉ có ba câu lạc bộ trong hoạt động này: A — Cờ vua, B — Vẽ, C — Khoa học.
Câu lạc bộ · Số học sinh đăng kí vào câu lạc bộ đó · Số lượt đăng kí
A — Cờ vua · 8 · 8
B — Vẽ · 9 · 9
C — Khoa học · 7 · 7
Trong từng câu lạc bộ, một em chỉ được tính một lần. Khi cộng ba câu lạc bộ, một em đăng kí hai nơi được tính hai lượt; một em không đăng kí được tính không lượt.
L=8+9+7=24.
Đơn vị của tổng là lượt đăng kí . Nó không nói có 24 em khác nhau tham gia. Lớp vẫn có 20 học sinh theo dữ kiện ban đầu.
Dự đoán: tổng 24 lớn hơn 20 có làm bảng sai không?
Không. Cho phép đăng kí chồng lặp nên tổng lượt có thể lớn hơn số học sinh. Nếu quy định mỗi em chỉ chọn tối đa một câu lạc bộ thì tổng không thể vượt 20; khi ấy cùng các số 8, 9, 7 sẽ mâu thuẫn với quy định.
Khái niệm: đơn vị quan sát là đối tượng hoặc bản ghi mà ta đếm. Cùng con số trong một hàng có thể là số người của nhóm, nhưng tổng các hàng chồng lặp mang nghĩa số lượt.
2. Thông tin gộp chưa cho biết số người tham gia
Gọi U là số học sinh đăng kí ít nhất một câu lạc bộ. Chỉ từ bảng tổng hợp, có ít nhất 9 em vì riêng B có 9 em khác nhau; không thể có hơn 20 em của lớp. Bảng ấy chưa xác định duy nhất U.
9\le U\le20.
Cận dưới có thể xảy ra nếu 8 em của A và 7 em của C đều nằm trong 9 em của B. Cận trên có thể xảy ra nếu mọi em đăng kí ít nhất một nơi và một số em có hai lượt. Không được chọn tùy ý một giá trị trong khoảng rồi gọi nó là kết quả khảo sát.
Dưới đây là bảng nhóm đăng kí đầy đủ của chính lớp giả định đang học . Mỗi em thuộc đúng một hàng; không tính lặp giữa các hàng.
Nhóm theo toàn bộ đăng kí của một em · Số học sinh · Lượt mỗi em · Tổng lượt nhóm
Chỉ A · 4 · 1 · 4
Chỉ B · 4 · 1 · 4
Chỉ C · 4 · 1 · 4
A và B, không C · 3 · 2 · 6
A và C, không B · 1 · 2 · 2
B và C, không A · 2 · 2 · 4
Cả A, B và C · 0 · 3 · 0
Không đăng kí · 2 · 0 · 0
Tổng · 20 · Không cộng cột này · 24
Kiểm tra: A có 4+3+1=8, B có 4+3+2=9, C có 4+1+2=7. Có 2 em không đăng kí nên trong lớp này U=20-2=18. Giá trị 18 dùng thông tin bảng nhóm, không được suy ra chỉ từ 8, 9, 7.
Với A và B, cộng 8+9 đếm 3 em thuộc cả hai hai lần. Muốn đếm người thuộc ít nhất một trong A, B, trừ phần lặp một lần:
8+9-3=14.
Bảng hiện tại không có em thuộc cả ba câu lạc bộ. Với một bảng khác có nhóm cả ba, phải kiểm tra số lần mỗi em đã bị tính hoặc trừ; không tự áp dụng phép trừ phần giao mà bỏ trường hợp ấy.
3. Mẫu số phải đi cùng câu hỏi về tỉ lệ
“B có 9” chưa đủ để viết một tỉ lệ. Cần chỉ rõ tổng làm nền so sánh:
Câu hỏi · Tỉ lệ · Ý nghĩa
B chiếm bao nhiêu trong tổng lượt? · \dfrac9{24}=37{,}5\% · 9 lượt B trong 24 lượt.
B có bao nhiêu phần trăm học sinh cả lớp? · \dfrac9{20}=45\% · 9 em B trong 20 em của lớp.
Trong các em có đăng kí, bao nhiêu phần trăm thuộc B? · \dfrac9{18}=50\% · 9 em B trong 18 em đăng kí ít nhất một nơi.
Ba tỉ lệ không mâu thuẫn: mẫu số và câu hỏi khác nhau. Không ghi “37,5% học sinh” khi 24 là lượt; không bỏ cụm “trong các em có đăng kí” khi dùng mẫu số 18.
Tính từng câu lạc bộ trên cả lớp cho A: 40\%, B: 45\%, C: 35\%, tổng 120\%. Một em có thể thuộc nhiều câu lạc bộ. Với các nhóm không chồng lặp và bao phủ toàn bộ tổng đang xét, tổng tỉ lệ được bảo đảm bằng 100%. Chiều ngược lại không đúng: tổng bằng 100% tự nó không chứng minh nhóm không lặp và không thiếu. Chẳng hạn trong 20 em, hai nhóm mỗi nhóm 10 em, có 2 em chung và 2 em không thuộc nhóm nào, vẫn có tổng tỉ lệ 100%.
Trước phép chia: tử và mẫu phải cùng loại đơn vị khi biểu diễn tỉ lệ một phần trong một tổng. Mẫu số bằng 0 thì tỉ lệ không xác định; không tự ghi 0% cho một tổng rỗng.
Tự thử: B đông nhất có nghĩa B là đa số lớp?
Không. Đa số là hơn một nửa tổng đang xét. 9/20=45\% dưới một nửa. Trong 18 em có đăng kí, B chiếm đúng một nửa, vẫn chưa hơn một nửa. Lớn nhất trong các nhóm và đa số là hai so sánh khác nhau.
4. Từ tỉ lệ đến xác suất: nêu cách chọn ngẫu nhiên
Xác suất nói về phép thử ngẫu nhiên và biến cố. Tỉ lệ trong bảng chỉ trở thành xác suất cho biến cố thích hợp khi mô hình chọn tương ứng được nêu.
Mô hình H: lập 20 thẻ, mỗi thẻ ghi một học sinh khác nhau; giả sử chọn đều một thẻ, mỗi thẻ có xác suất 1/20. Biến cố “học sinh được chọn thuộc B” có 9 kết quả thuận lợi.
P_H(B)=\frac9{20}=45\%.
Mô hình L: lập 24 thẻ, mỗi thẻ ghi một lượt đăng kí, gồm học sinh và câu lạc bộ. Em có hai đăng kí có hai thẻ; em không đăng kí không có thẻ. Giả sử chọn đều một trong 24 thẻ. Biến cố “thẻ được chọn là lượt B” có 9 kết quả thuận lợi.
P_L(B)=\frac9{24}=37{,}5\%.
Mỗi thanh dài 100% của tổng riêng. Đây là so sánh tỉ lệ, không phải số lượng tuyệt đối: 20 học sinh và 24 lượt không được coi là hai tổng bằng nhau về số lượng.
Trong mô hình L, em có hai thẻ có xác suất được ghi trên thẻ chọn là 2/24; em có một thẻ là 1/24. Chọn đều lượt không tạo ra cách chọn đều học sinh. Không đổi mẫu số rồi giữ nguyên lời mô tả phép thử.
Dự đoán: chỉ nói “chọn một em bất kì” đã đủ dùng 9/20?
Chưa. Cách đếm kết quả thuận lợi chia tổng kết quả ở đây cần giả thiết các học sinh được chọn đồng khả năng. Chỉ gọi người giơ tay hoặc ưu tiên vị trí đầu lớp có thể cho xác suất khác.
5. Biến cố bù và nhóm chồng lặp: đừng cộng hai lần
Giữ mô hình H chọn đều một học sinh trong 20 em. Bảng nhóm cho 2 em không đăng kí và 18 em có ít nhất một đăng kí.
P_H(\text{không đăng kí})=\frac2{20}=\frac1{10},\qquad P_H(\text{ít nhất một})=1-\frac2{20}=\frac9{10}.
Hai biến cố loại trừ nhau và phủ hết 20 em nên tổng xác suất bằng 1. “Không thuộc B” khác với “không đăng kí”: có 11 em không thuộc B, gồm cả người thuộc A hoặc C và người không đăng kí.
P_H(\text{không thuộc B})=1-\frac9{20}=\frac{11}{20}.
Biến cố “thuộc A hoặc B” ở đây gồm cả người thuộc cả hai. Ba em ấy bị tính hai lần khi cộng 8 và 9:
P_H(A\text{ hoặc }B)=\frac{8+9-3}{20}=\frac{14}{20}=\frac7{10}.
Không cộng 8/20+9/20 mà quên phần lặp. Nếu hai nhóm thực sự không có người chung thì không có phần cần trừ. Bảng này có 6 em đăng kí đúng hai câu lạc bộ, không có em đăng kí ba nơi, nên xác suất chọn em có ít nhất hai đăng kí là 6/20=30\%.
Giữ phép thử: mục này dùng 20 học sinh. Trong mô hình L không có thẻ của 2 em không đăng kí, nên không lấy 2/24 làm xác suất chọn được em ấy.
6. Số lớn nhất không tự chứng minh sở thích hay đại diện toàn trường
B có 9 em, lớn hơn A và C. Câu có căn cứ là “Trong hoạt động đăng kí của lớp giả định này, B có số người đăng kí cao nhất.” Muốn kết luận về sở thích cần dữ liệu sở thích hoặc tiêu chí đã nêu; đăng kí còn có thể phụ thuộc lịch, chỗ trống, bạn bè hoặc điều kiện tham gia.
Không suy ra “đa số học sinh trường thích Vẽ”. 9 trên 20 chưa là đa số lớp; bảng không đo trực tiếp thích; lớp này cũng chưa được nêu là mẫu đại diện trường. Mỗi bước mở rộng đều cần căn cứ riêng.
Mẫu tự nguyện trả lời có thể nghiêng về người quan tâm hoạt động. Tăng số lượt của cùng một số người không tự làm mẫu đại diện hơn. Hãy báo cáo đối tượng, cách thu thập, đơn vị, thời điểm và giới hạn, thay vì viết kết luận vượt bảng.
Tỉ lệ quan sát cũng không bảo đảm số lần xuất hiện trong các lượt thử sắp tới. Nếu lặp mô hình H với hoàn lại và mỗi lần vẫn chọn đều, xác suất một lần thuộc B là 9/20, nhưng 20 lần không bắt buộc có đúng 9 lần B. Nếu chọn không hoàn lại, thành phần còn lại thay đổi; không tự giữ cùng xác suất cho mọi lần sau khi đã biết kết quả trước.
Phân biệt: dữ liệu mô tả điều đã ghi; xác suất thuộc mô hình phép thử; dự đoán có bất định; kết luận về sở thích hoặc toàn trường cần dữ liệu và cách thu thập thích hợp.
7. Tự kiểm tra bằng đơn vị, điều kiện và căn cứ
A. Một bạn viết “Có 24 em đăng kí.” Cần sửa gì?
Gợi ý A
Một em có thể xuất hiện trong bao nhiêu câu lạc bộ?
Kiểm tra A
24 là lượt. Với bảng nhóm đầy đủ, có 18 em khác nhau đăng kí. Chỉ bảng tổng hợp ban đầu chưa xác định duy nhất số em này.
B. “B chiếm 50% lớp” có đúng?
Kiểm tra B
Không. Lớp có 20 em nên 9/20=45\%. 50% dùng tổng 18 em đăng kí ít nhất một nơi, phải ghi đúng tổng ấy.
C. Tổng 40%, 45%, 35% bằng 120% có phải lỗi?
Kiểm tra C
Không khi nhóm chồng lặp. Một phân chia không lặp và phủ toàn bộ tổng bảo đảm tổng tỉ lệ bằng 100%. Nhưng nếu tổng bằng 100%, chưa đủ kết luận đó là một phân chia: phần lặp và phần thiếu có thể bù nhau.
D. Muốn mỗi em có cơ hội như nhau, chọn đều từ 20 thẻ học sinh hay 24 thẻ lượt?
Kiểm tra D
20 thẻ, mỗi em một thẻ. Với 24 thẻ, em nhiều đăng kí có nhiều cơ hội; 2 em không đăng kí không có cơ hội.
E. Cộng xác suất thuộc A và B được 17/20. Vì sao chưa là xác suất thuộc ít nhất một trong hai?
Kiểm tra E
Ba em thuộc cả A và B bị tính hai lần. Mô hình H cho (8+9-3)/20=14/20. Nếu câu hỏi dùng “chỉ A hoặc chỉ B”, cần làm rõ “chỉ” theo A, B hay toàn bộ ba câu lạc bộ; không tự đổi biến cố.
F. Dùng 9/24 cho một người được chọn đều trong cả lớp?
Kiểm tra F
Không. 9/24 thuộc cách chọn đều lượt; chọn đều học sinh dùng 9/20. Hai tử cùng 9 nhưng đếm loại kết quả khác nhau.
G. B cao nhất nên Vẽ là sở thích của đa số toàn trường?
Kiểm tra G
Không đủ căn cứ: đăng kí không tự đo sở thích, cao nhất không tự là đa số, lớp chưa đại diện toàn trường.
H. Lớp khác không có lượt đăng kí nào. Tỉ lệ lượt B trên tổng lượt bằng 0%?
Kiểm tra H
Không xác định vì mẫu số 0. Có thể báo cáo “không có lượt đăng kí”; không dùng 0/0 làm tỉ lệ.
Phiếu rà: người hay lượt? nhóm có lặp? mẫu số thuộc tổng nào? dữ liệu xác định phần giao? chọn đồng khả năng? biến cố có đổi? kết luận có vượt đối tượng hoặc loại dữ liệu?
THCS · Chuyên đề khái niệm và phương pháp · Dữ liệu giả định tự biên soạn.