Ba kĩ thuật nâng cao Toán 6: nhóm lũy thừa chia hết, đưa tích về nhân tử và đối xứng lục giác đều
Ba kĩ thuật Toán 6 nâng cao: nhóm các lũy thừa liên tiếp của cùng một cơ số để chứng minh chia hết, thêm–bớt hằng số để đưa về tích hai nhân tử tìm nghiệm tự…
Ba kĩ thuật nâng cao Toán 6: nhóm lũy thừa chia hết, đưa tích về nhân tử và đối xứng lục giác đều
Chứng minh chia hết bằng cách nhóm các lũy thừa liên tiếp của cùng một cơ số, tìm số tự nhiên bằng kĩ thuật thêm–bớt để đưa về tích hai nhân tử, và dùng tính đối xứng của lục giác đều để chia đều một hình.
Mục tiêu bài học
- Thành thạo kĩ thuật nhóm các số hạng liên tiếp trong một tổng lũy thừa để chứng minh tổng đó chia hết cho một số cho trước, áp dụng được cho cả nhóm hai số hạng lẫn nhóm ba số hạng.
- Thành thạo kĩ thuật thêm–bớt một hằng số thích hợp để đưa một biểu thức hai ẩn về dạng tích hai nhân tử, từ đó liệt kê đầy đủ nghiệm tự nhiên bằng cách xét các cặp ước.
- Hiểu và vận dụng được tính chất đối xứng tâm của lục giác đều để chia hình lục giác đều thành nhiều phần có diện tích bằng nhau, kể cả những cách chia không đi qua các đỉnh.
1. Nhóm các số hạng liên tiếp để chứng minh chia hết
Với một tổng các lũy thừa liên tiếp của cùng một cơ số, thay vì cộng dồn từng số hạng, ta có thể nhóm các số hạng liền kề thành từng cụm bằng nhau. Nếu tổng của một cụm (thường là cụm đầu tiên) đã chia hết cho số cần chứng minh, và số cụm là một số nguyên, thì đặt nhân tử chung của mỗi cụm sẽ cho thấy toàn bộ tổng chia hết cho số đó.
Ví dụ 1 — nhóm thành từng cặp hai số hạng
Cho S=4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{40}. Chứng minh S chia hết cho 20.
Bước 1 — Tính tổng của cụm đầu tiên: 4+4^{2}=4+16=20, chia hết cho 20.
Bước 2 — Nhóm 40 số hạng thành 20 cụm, mỗi cụm 2 số hạng liên tiếp: S=(4+4^{2})+(4^{3}+4^{4})+\ldots+(4^{39}+4^{40}).
Bước 3 — Đặt nhân tử chung của từng cụm: cụm thứ k là 4^{2k-1}+4^{2k}=4^{2k-2}(4+4^{2})=4^{2k-2}\cdot20, luôn chia hết cho 20.
Bước 4 — Kết luận: S=20\cdot(4^{0}+4^{2}+4^{4}+\ldots+4^{38}), một số tự nhiên nhân với 20, nên S chia hết cho 20 (và do đó cũng chia hết cho 4 và cho 5).
Đáp số S chia hết cho 20
Ví dụ 2 — nhóm thành từng cụm ba số hạng
Cho T=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{30}. Chứng minh T chia hết cho 7.
Bước 1 — Tính tổng của cụm đầu tiên gồm ba số hạng: 2+2^{2}+2^{3}=2+4+8=14=7\cdot2, chia hết cho 7.
Bước 2 — Nhóm 30 số hạng thành 10 cụm, mỗi cụm 3 số hạng liên tiếp: T=(2+2^{2}+2^{3})+(2^{4}+2^{5}+2^{6})+\ldots+(2^{28}+2^{29}+2^{30}).
Bước 3 — Đặt nhân tử chung: cụm thứ k là 2^{3k-2}+2^{3k-1}+2^{3k}=2^{3k-3}(2+2^{2}+2^{3})=2^{3k-3}\cdot14, chia hết cho 14, do đó chia hết cho 7.
Bước 4 — Kết luận: T=14\cdot(2^{0}+2^{3}+2^{6}+\ldots+2^{27}) chia hết cho 14, nên chắc chắn chia hết cho 7.
Đáp số T chia hết cho 7
Nguyên tắc chung
Để chứng minh một tổng các lũy thừa liên tiếp của cùng cơ số chia hết cho một số d: (1) tính tổng của cụm đầu tiên gồm m số hạng liên tiếp và kiểm tra nó chia hết cho d; (2) kiểm tra tổng số số hạng chia hết cho m (nếu không, phải tách riêng phần dư và xét thêm); (3) nhóm toàn bộ tổng thành các cụm m số hạng, đặt nhân tử chung mỗi cụm để suy ra toàn bộ tổng chia hết cho d.
Bẫy thường gặp
Nhóm sai số lượng số hạng mỗi cụm khiến cụm đầu tiên không còn chia hết cho d, hoặc quên kiểm tra tổng số số hạng có chia hết cho số số hạng mỗi cụm hay không — nếu không chia hết, phải tách phần dư ra xét riêng trước khi kết luận.
2. Kỹ thuật thêm–bớt để đưa về tích hai nhân tử
Với phương trình có dạng xy+ax+by=c (hoặc có dấu trừ), ta nhóm x(y+a), rồi cộng hoặc trừ thêm một lượng thích hợp ở cả hai vế để xuất hiện nhân tử chung (y+a), đưa phương trình về dạng tích hai nhân tử bằng một hằng số. Từ đó liệt kê đầy đủ các cặp ước của hằng số đó để tìm hết nghiệm, thay vì dừng lại ở nghiệm đầu tiên tìm được.
Ví dụ 1 — phương trình chính
Tìm tất cả các số tự nhiên x,y biết xy+2x-3y=41.
Bước 1 — Nhóm theo x: x(y+2)-3y=41.
Bước 2 — Thêm–bớt để xuất hiện nhân tử chung (y+2): x(y+2)-3(y+2)=41-6, tức là (x-3)(y+2)=35.
Bước 3 — Xét điều kiện tự nhiên: vì y\in\mathbb{N} nên y+2\ge2; tích hai nhân tử bằng 35>0 và y+2>0 nên bắt buộc x-3>0, tức x\ge4.
Bước 4 — Liệt kê các cặp ước dương của 35 thỏa y+2\ge2: 35=1\times35=5\times7=7\times5=35\times1. Cặp (x-3,y+2)=(35,1) bị loại vì y+2=1 Bước 5 — Tính nghiệm từ các cặp còn lại: với (x-3,y+2)=(1,35) được (x,y)=(4,33); với (5,7) được (x,y)=(8,5); với (7,5) được (x,y)=(10,3).
Bước 6 — Kiểm tra lại bằng phép thế trực tiếp: 4\times33+2\times4-3\times33=132+8-99=41 đúng; 8\times5+16-15=40+16-15=41 đúng; 10\times3+20-9=30+20-9=41 đúng.
Đáp số (x;y) ∈ {(4;33); (8;5); (10;3)}
Ví dụ 2 — củng cố với dấu khác
Tìm tất cả các số tự nhiên x,y biết xy-4x+3y=37.
Bước 1 — Nhóm theo x: x(y-4)+3y=37.
Bước 2 — Thêm–bớt: x(y-4)+3(y-4)=37-12, tức là (x+3)(y-4)=25.
Bước 3 — Xét điều kiện: x\in\mathbb{N} nên x+3\ge3; vì tích bằng 25>0 và x+3>0 nên y-4>0, tức y\ge5.
Bước 4 — Liệt kê cặp ước dương của 25 thỏa x+3\ge3: 25=1\times25=5\times5=25\times1; cặp (1,25) bị loại vì x+3=1 Bước 5 — Kết luận: với (x+3,y-4)=(5,5) được (x,y)=(2,9); với (25,1) được (x,y)=(22,5).
Đáp số (x;y) ∈ {(2;9); (22;5)}
Nguyên tắc chung
Với xy+ax+by=c: nhóm x(y+a)+by=c, cộng thêm ab vào cả hai vế để được x(y+a)+b(y+a)=c+ab, tức (x+b)(y+a)=c+ab. Sau đó liệt kê mọi cặp ước của c+ab (kể cả kiểm tra dấu), đối chiếu điều kiện x,y tự nhiên để loại các cặp không hợp lệ, không dừng lại ở cặp ước đầu tiên tìm được.
Bẫy thường gặp
Tính sai lượng cần thêm–bớt (dấu của ab), hoặc liệt kê thiếu cặp ước — đặc biệt bỏ sót cặp có một thừa số bằng 1 rồi quên kiểm tra điều kiện tự nhiên của cặp đó, dẫn đến chấp nhận nhầm hoặc loại nhầm nghiệm.
3. Tâm đối xứng, trục đối xứng của lục giác đều và bài toán chia đều
Lục giác đều ABCDEF có tâm O và có tính đối xứng tâm: khi quay hình quanh O đúng 180^{\circ}, hình chồng khít lên chính nó. Nhờ tính chất này, ta có một quy tắc rất mạnh để chia đều diện tích mà không cần đo đạc phức tạp.
Chìa khóa — tính chất đối xứng tâm
Với một hình có tâm đối xứng O (như lục giác đều), bất kì đường thẳng nào đi qua O cũng chia hình đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. Lí do: phép quay 180^{\circ} quanh O biến hình thành chính nó và biến phần này thành phần kia, mà phép quay không làm thay đổi diện tích, nên hai phần phải bằng nhau.
Áp dụng — chia lục giác đều thành các phần bằng nhau
Nối tâm O với sáu đỉnh A,B,C,D,E,F ta được sáu tam giác đều bằng nhau OAB,OBC,OCD,ODE,OEF,OFA, mỗi tam giác có diện tích bằng \dfrac{1}{6} diện tích lục giác.
Chia 2 phần: dùng một đường chéo chính bất kì đi qua tâm (ví dụ AD), mỗi phần gồm 3 tam giác liên tiếp.
Chia 3 phần: dùng ba đoạn nối tâm với ba đỉnh cách đều nhau (ví dụ OA,OC,OE), mỗi phần gồm 2 tam giác liên tiếp, có dạng hình thoi.
Chia 6 phần: dùng cả sáu đoạn OA,OB,OC,OD,OE,OF, mỗi phần đúng một tam giác đều.
Chia 12 phần: với mỗi tam giác đều ở trên, kẻ thêm đoạn nối O với trung điểm cạnh ngoài của tam giác đó — đoạn này chia tam giác đều thành hai tam giác nhỏ bằng nhau, cho tổng cộng 12 phần bằng nhau.
Chia 4 phần — trường hợp đặc biệt: vì 6 không chia hết cho 4 nên không thể ghép các tam giác đều nguyên vẹn. Thay vào đó, kẻ đường chéo chính AD và đường thẳng đi qua O vuông góc với AD (đường này đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện BC và EF). Cả hai đường thẳng này đều là trục đối xứng của lục giác đều: gấp hình theo AD thì nửa trên chồng khít lên nửa dưới; gấp theo đường vuông góc thì nửa trái chồng khít lên nửa phải. Vì vậy bốn phần tạo thành chồng khít được lên nhau, tức là bằng nhau, mỗi phần có diện tích bằng \dfrac{1}{4} diện tích lục giác (bằng 1,5 tam giác đều).
Lưu ý: hai đường thẳng bất kì đi qua O chỉ chắc chắn tạo ra các cặp phần đối diện bằng nhau (nhờ tâm đối xứng); bốn phần chỉ bằng nhau khi hai đường thẳng được chọn khéo như trên.
Số phần cần chia · Cách kẻ · Mỗi phần gồm
2 · Một đường chéo chính qua tâm · 3 tam giác đều liên tiếp
3 · Ba đoạn nối tâm với 3 đỉnh cách đều · 2 tam giác đều liên tiếp (hình thoi)
4 · Một đường chéo chính và một đường vuông góc với nó qua tâm · Một tứ giác có diện tích bằng 1,5 tam giác đều (bốn phần chồng khít lên nhau)
6 · Cả sáu đoạn nối tâm với 6 đỉnh · 1 tam giác đều
12 · Sáu đoạn nối tâm với đỉnh, cộng thêm sáu đoạn nối tâm với trung điểm cạnh · Nửa một tam giác đều
Bẫy thường gặp
Có hai nhầm lẫn trái ngược nhau. Thứ nhất, nghĩ rằng chỉ đường đi qua đỉnh mới chia đôi được diện tích: thực ra mọi đường thẳng qua tâm O — kể cả đường không đi qua đỉnh nào — đều chia lục giác đều thành hai phần diện tích bằng nhau. Thứ hai, nghĩ rằng hai đường thẳng bất kì qua O luôn chia lục giác thành bốn phần bằng nhau: thực ra chúng chỉ chắc chắn tạo ra các cặp phần đối diện bằng nhau; muốn bốn phần bằng nhau phải chọn khéo, chẳng hạn hai trục đối xứng vuông góc như ở trên.
4. Bảng tổng hợp — nhận diện tín hiệu và công cụ tương ứng
Tín hiệu trong đề bài · Công cụ sử dụng · Điều bắt buộc phải kiểm tra
Tổng nhiều lũy thừa liên tiếp cùng cơ số, cần chứng minh chia hết cho một số · Nhóm các số hạng liên tiếp thành từng cụm bằng nhau, đặt nhân tử chung mỗi cụm · Tổng của cụm đầu tiên chia hết cho số cần chứng minh; tổng số số hạng chia hết cho số số hạng mỗi cụm
Biểu thức hai ẩn dạng xy+ax+by=c, cần tìm nghiệm tự nhiên · Thêm–bớt hằng số để đưa về dạng tích hai nhân tử · Liệt kê đầy đủ mọi cặp ước của hằng số vế phải; đối chiếu điều kiện tự nhiên để loại nghiệm không hợp lệ
Bài toán chia đều một hình có tâm đối xứng (như lục giác đều) thành nhiều phần · Dùng tính chất mọi đường thẳng qua tâm chia đôi diện tích · Xét số phần cần chia: là ước của 6 (2, 3, 6) thì ghép các tam giác đều liên tiếp; bằng 12 thì chia đôi mỗi tam giác đều; bằng 4 thì dùng hai trục đối xứng vuông góc qua tâm
Checklist trước khi nộp bài
- Với bài chứng minh chia hết bằng cách nhóm số hạng: đã kiểm tra tổng số số hạng chia hết cho số số hạng mỗi cụm, và tổng cụm đầu tiên đúng là bội của số cần chứng minh chưa?
- Với bài đưa về tích hai nhân tử: đã liệt kê hết mọi cặp ước của hằng số vế phải (kể cả cặp có thừa số bằng 1), và đã đối chiếu với điều kiện tự nhiên của cả hai ẩn chưa?
- Với bài chia đều hình lục giác: đã xét số phần cần chia là ước của 6 (ghép tam giác đều), bằng 12 (chia đôi mỗi tam giác đều) hay bằng 4 (hai trục đối xứng vuông góc qua tâm) để chọn cách kẻ phù hợp chưa?
- Đã thử lại kết quả bằng phép thế số trực tiếp vào đề bài gốc trước khi kết luận chưa?
5. Luyện tập có lời giải
Bài 1 — Mức 1
Cho A=3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{60}. Chứng minh A chia hết cho 13.
Xem lời giải
Cụm ba số hạng đầu: 3+3^{2}+3^{3}=3+9+27=39=13\cdot 3. Tổng có 60 số hạng, 60 chia hết cho 3, nên nhóm được thành 20 cụm, mỗi cụm 3 số hạng liên tiếp:
A=(3+3^{2}+3^{3})+3^{3}(3+3^{2}+3^{3})+\ldots+3^{57}(3+3^{2}+3^{3})=39\cdot(1+3^{3}+\ldots+3^{57}).
Vì 39 chia hết cho 13 nên A chia hết cho 13.
Bài 2 — Mức 2 (tổng số số hạng không chia hết cho số số hạng mỗi cụm)
Cho C=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{31}. Hỏi C có chia hết cho 7 không? Nếu không, tìm số dư khi chia C cho 7.
Xem lời giải
C có 31 số hạng, mà 31 không chia hết cho 3, nên tách riêng số hạng đầu: C=2+(2^{2}+2^{3}+2^{4})+(2^{5}+2^{6}+2^{7})+\ldots+(2^{29}+2^{30}+2^{31}), gồm số 2 và 10 cụm ba số hạng.
Mỗi cụm có dạng 2^{k}(1+2+2^{2})=2^{k}\cdot 7, chia hết cho 7. Do đó C=2+7\cdot(2^{2}+2^{5}+\ldots+2^{29}).
Vậy C không chia hết cho 7; C chia cho 7 dư 2.
Bài 3 — Mức 2
Tìm tất cả các số tự nhiên x,y biết xy+3x-2y=20.
Xem lời giải
Nhóm: x(y+3)-2y=20. Thêm–bớt: x(y+3)-2(y+3)=20-6, tức (x-2)(y+3)=14.
Vì y là số tự nhiên nên y+3\geq 3; tích bằng 14>0 nên x-2>0. Các ước của 14 lớn hơn hoặc bằng 3 là 7 và 14:
• y+3=7,\ x-2=2: (x;y)=(4;4). Thử lại: 16+12-8=20, đúng.
• y+3=14,\ x-2=1: (x;y)=(3;11). Thử lại: 33+9-22=20, đúng.
Vậy (x;y)\in\{(4;4);\ (3;11)\}.
Bài 4 — Mức 3
Lục giác đều ABCDEF tâm O có diện tích 120\ \text{cm}^{2}. Gọi M là trung điểm của cạnh AB.
a) Đường thẳng OM chia lục giác thành hai phần. Tính diện tích mỗi phần.
b) Tính diện tích tam giác OAB và tam giác OAM.
Xem lời giải
a) Đường thẳng OM đi qua tâm đối xứng O nên chia lục giác thành hai phần có diện tích bằng nhau: mỗi phần 120:2=60\ (\text{cm}^{2}).
b) Nối O với sáu đỉnh được sáu tam giác đều bằng nhau, nên S_{OAB}=120:6=20\ (\text{cm}^{2}). Đoạn OM nối O với trung điểm cạnh AB chia tam giác đều OAB thành hai tam giác bằng nhau OAM và OBM, nên S_{OAM}=20:2=10\ (\text{cm}^{2}).
LUKATO THCS AI · Chuyên đề Toán 6 · Vận dụng cao
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.