Ước chung lớn nhất: hiểu điều kiện chia đều và chứng minh nguyên tố cùng nhau
Chuyên đề Toán 6 bằng tiếng Việt: từ ước chung đến số nhóm tối đa, hai cách tìm ƯCLN, phép kiểm sau khi chia và chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau bằng…
LUKATO · TOÁN 6 · CHUYÊN ĐỀ NỀN TẢNG
Ước chung lớn nhất: hiểu điều kiện chia đều và chứng minh nguyên tố cùng nhau
Khi nhiều loại vật được chia thành các nhóm giống hệt nhau, mỗi số lượng ban đầu phải chia hết cho số nhóm. Từ điều kiện ấy, ta tìm số nhóm lớn nhất và hiểu vì sao một số cặp chỉ có ước chung là 1.
Ước chung Phân tích thừa số nguyên tố Mô hình chia đều Nguyên tố cùng nhau
01 · Hiểu câu hỏi trước khi tính
Giả sử có a vật loại A và b vật loại B, với a, b là số tự nhiên dương. Ta muốn chia thành k nhóm giống nhau , dùng hết vật và không để dư.
a ÷ k và b ÷ k đều là số nguyên ⟺ k là ước chung của a và b.
Mỗi nhóm nhận a ÷ k vật loại A và b ÷ k vật loại B. Nếu muốn số nhóm nhiều nhất , ta chọn ước chung lớn nhất, kí hiệu ƯCLN(a, b) . Nếu đề nói số phần đã biết , hãy kiểm xem từng số lượng có chia hết cho k hay không, không tự động đi tìm ƯCLN.
Đọc đúng ba điều kiện: các nhóm giống nhau; dùng hết từng loại; số nhóm lớn nhất. Thiếu một điều kiện thì mô hình toán có thể đổi.
02 · Ước, ước chung và ƯCLN
Một số dương d là ước của n nếu n chia cho d không dư. Ước chung của a, b là số mà cả a và b đều chia hết cho số ấy. Tập các ước chung luôn chứa 1; ƯCLN là phần tử lớn nhất của tập ấy.
Cách liệt kê khi số nhỏ
Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}; Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Phần chung là {1, 2, 3, 6}; vì vậy ƯCLN(18, 24) = 6.
Cách phân tích khi số lớn hơn
18 = 2 × 3²; 24 = 2³ × 3. Lấy những thừa số nguyên tố có mặt ở cả hai , mỗi thừa số với số mũ nhỏ hơn : 2¹ × 3¹ = 6.
Hai cách đưa đến cùng kết quả. Liệt kê giúp nhìn thấy định nghĩa; phân tích thừa số giúp tính có hệ thống.
03 · Vì sao lấy số mũ nhỏ hơn?
Với 30 = 2 × 3 × 5 và 42 = 2 × 3 × 7, thừa số 2 và 3 nằm trong cả hai số; 5 chỉ nằm trong 30, còn 7 chỉ nằm trong 42. Một ước chung không thể chứa thừa số mà một số ban đầu không có.
Sơ đồ so sánh hai dãy thừa số; màu xanh biểu thị phần có ở cả hai số.
Nếu thừa số nguyên tố p xuất hiện r lần trong số thứ nhất và s lần trong số thứ hai, một ước chung chỉ lấy được tối đa p min(r,s) . Đó là lí do của quy tắc chọn số mũ nhỏ hơn , không phải mẹo ghi nhớ tùy ý.
Đừng lấy tất cả thừa số của hai số với số mũ lớn hơn. Cách ấy liên quan đến bội chung nhỏ nhất , dành cho tình huống các chu kì cùng lặp lại, không dành cho số nhóm chia đều tối đa.
04 · Đưa kết quả trở lại tình huống chia đều
Ta dùng 30 và 42 chỉ để minh họa cách suy luận: số nhóm k phải đồng thời chia 30 và 42. Vì ƯCLN(30, 42) = 6, số nhóm có thể đạt tới 6. Mỗi nhóm nhận 30 ÷ 6 = 5 vật loại thứ nhất và 42 ÷ 6 = 7 vật loại thứ hai.
Kiểm tra không dư
6 × 5 = 30 và 6 × 7 = 42. Hai phép nhân khôi phục đúng số lượng từng loại.
Kiểm tra tính lớn nhất
Mọi số nhóm hợp lệ đều là ước chung của 30 và 42, nên không thể vượt ƯCLN = 6.
Nếu có thêm loại thứ ba với c vật, số nhóm phải là ước chung của cả a, b, c ; tính ƯCLN(a, b, c). Không bỏ sót loại vật hoặc lấy ƯCLN của tổng a + b khi mỗi nhóm phải nhận từng loại với số lượng bằng nhau.
05 · “Nguyên tố cùng nhau” nghĩa là gì?
Hai số tự nhiên dương a và b gọi là nguyên tố cùng nhau khi ƯCLN(a, b) = 1. Hai số ấy không bắt buộc là số nguyên tố.
Đúng
8 = 2³ và 15 = 3 × 5; không có thừa số nguyên tố chung. Vậy ƯCLN(8, 15) = 1, dù 8 và 15 đều là hợp số.
Phản ví dụ
8 và 14 đều là hợp số, nhưng cùng có thừa số 2; ƯCLN(8, 14) = 2. Việc “đều là hợp số” không quyết định hai số có nguyên tố cùng nhau hay không.
Chứng minh bằng hiệu
Giả sử d là ước chung của hai số tự nhiên liên tiếp n và n + 1. Khi ấy hiệu (n + 1) − n = 1 cũng chia hết cho d. Ước dương duy nhất của 1 là 1; vì thế ƯCLN(n, n + 1) = 1 .
Ý tưởng có thể chuyển giao: nếu mọi ước chung của hai số đều phải chia một hiệu bằng 1, thì hai số nguyên tố cùng nhau. Phải chỉ rõ hiệu ấy được tạo từ hai số đang xét.
06 · Bảng phân biệt các cách hiểu dễ nhầm
Dấu hiệu trong tình huống · Điều kiện toán học · Việc cần làm
Chia hết từng loại thành nhiều nhóm giống nhau, hỏi nhiều nhất bao nhiêu nhóm · từng số lượng chia hết cho k · Tìm ƯCLN của mọi số lượng; sau đó tính số vật mỗi nhóm.
Đã cho số nhóm k, hỏi có chia đều được không · Mỗi số lượng chia hết cho k · Kiểm từng phép chia; không thay câu hỏi bằng phép tìm ƯCLN.
Hai hoạt động bắt đầu cùng lúc và lặp đều theo hai chu kì khác nhau; hỏi khi nào cùng lặp lại lần tiếp theo · Thời gian đã trôi qua từ mốc khởi đầu chung là bội chung của hai chu kì · Xem xét BCNN; đây là mô hình khác.
Hỏi hai số có nguyên tố cùng nhau không · ƯCLN bằng 1 · So sánh thừa số nguyên tố hoặc chứng minh mọi ước chung đều chia 1.
Từ “chia” trong lời văn chưa đủ để chọn phép tính: hãy viết điều kiện chia hết trước.
07 · Quy trình tự kiểm và chuyển giao
- Gạch chân điều kiện giống nhau, không dư, nhiều nhất trong tình huống; nếu không có, viết lại điều kiện thật sự.
- Đặt k là số nhóm; viết rõ k là ước của từng số lượng .
- Tính ƯCLN bằng liệt kê hoặc phân tích thừa số nguyên tố; chỉ giữ thừa số chung với số mũ nhỏ hơn.
- Tính số vật mỗi nhóm bằng phép chia cho k; dùng phép nhân ngược để kiểm tra.
- Nếu cần chứng minh nguyên tố cùng nhau, giải thích tại sao mọi ước chung buộc phải bằng 1.
Chuyển giao quy tắc khi dữ kiện đổi
Thêm một loại vật
Điều kiện “chia đều từng loại” phải áp dụng cho cả ba số lượng; vì vậy tìm ƯCLN của cả ba và kiểm lại từng loại sau khi chia.
Thay hiệu 1 bằng hiệu 2
Hiệu 2 phải chia hết cho mọi ước chung của hai số, nên ƯCLN của chúng chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Từ hiệu 2 không thể kết luận ngay chúng nguyên tố cùng nhau.
Thẻ nhớ phương pháp: mô hình hóa điều kiện → tìm ước chung → chọn lớn nhất khi cần → hoàn nguyên và kiểm chứng → giải thích tại sao không thể lớn hơn.
LUKATO · Bài học khái niệm Toán 6 · Các ví dụ và sơ đồ được biên soạn cho chuyên đề này.