Hiểu cấu trúc phép tính: biến đổi có lí do và nhận mẫu lũy thừa
Học cách đọc thứ tự, dùng phân phối, hoàn tác phép tính và dịch một tổng lũy thừa; chọn phương pháp từ cấu trúc, kiểm tra miền của ẩn và thử lại.
TOÁN 6 · CẤU TRÚC, TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN NGƯỢC
Hiểu cấu trúc phép tính: biến đổi có lí do và nhận mẫu lũy thừa
Học cách đọc thứ tự, dùng phân phối, hoàn tác phép tính và dịch một tổng lũy thừa; chọn phương pháp từ cấu trúc, kiểm tra miền của ẩn và thử lại.
1. Biến đổi một biểu thức là giữ nguyên giá trị
Tính nhanh không phải bỏ bước tùy ý. Ta đổi cách viết để cấu trúc dễ thấy hơn, nhưng mỗi lần đổi phải có một tính chất bảo đảm giá trị không thay đổi. Khi tìm số chưa biết, ta còn phải giữ đúng những giá trị được phép của ẩn.
Ba câu hỏi dẫn đường:
- Phép tính nào tác động lên toàn bộ phần còn lại?
- Tính chất nào cho phép gom, tách hoặc đổi thứ tự?
- Nếu đi ngược phép biến đổi, có trở lại đúng biểu thức hoặc phương trình ban đầu không?
Chẳng hạn 7(2+3)=7\cdot2+7\cdot3 đúng do tính chất phân phối. Nhưng 7(2+3)=7\cdot2+3 không đúng: số 3 cũng phải được nhân với 7. Kiểm tra số cho 35\ne17, giúp thấy rõ phần bị bỏ sót.
Bài học dùng một vài biểu thức để làm rõ các công cụ này, rồi chuyển sang lũy thừa và tổng có quy luật. Mục tiêu là tự chọn được bước biến đổi, không phải nhớ một danh sách đáp số.
2. Nhìn cấu trúc: phép tính bên trong phải hoàn thành trước
Dấu ngoặc gom nhiều số thành một đối tượng. Lũy thừa tác động lên đúng cơ số được viết: (12-6)^2 bình phương cả hiệu, còn 12-6^2 chỉ bình phương 6.
Với biểu thức chỉ có ngoặc, lũy thừa và bốn phép tính, thứ tự là: làm trong ngoặc; tính lũy thừa; nhân/chia; cộng/trừ. Các phép nhân/chia cùng mức, hoặc cộng/trừ cùng mức, được thực hiện từ trái sang phải, trừ khi dùng một tính chất hợp lệ để nhóm lại.
Một biểu thức để đọc từng lớp
3^3\cdot7-[136-(12-6)^2].
Phép tính ngoài cùng là phép trừ giữa 3^3\cdot7 và toàn bộ ngoặc vuông. Không được trừ 136 rồi tự bỏ ngoặc phần còn lại.
- Nhánh thứ nhất: 3^3\cdot7=27\cdot7=189.
- Nhánh trong ngoặc: 12-6=6, rồi 6^2=36, rồi 136-36=100.
- Ghép hai nhánh: 189-100=89.
Mỗi dòng hoàn thành một lớp rồi mới thay kết quả vào lớp tiếp theo. Hình thể hiện thứ tự tính, không cho phép tùy ý đổi dấu ngoặc.
Dự đoán: (12-6)^2 có bằng 12^2-6^2 không? Hãy tính hai vế để kiểm tra một quy tắc có vẻ hợp lý nhưng chưa được chứng minh.
Phản ví dụ
Vế trái 6^2=36, vế phải 144-36=108. Chúng khác nhau. Không được phân phối phép bình phương vào một hiệu như phân phối phép nhân vào một tổng.
Đáp số nguyên hoặc “đẹp” không chứng minh thứ tự tính đúng. Cách kiểm tra đáng tin hơn là chỉ ra biểu thức ban đầu được tách thành những phần nào và bước nào đã xử lý mỗi phần.
3. Tính chất phân phối: nhận phần chung, giữ phần còn lại
Tính chất a(b+c)=ab+ac có hai cách dùng. Khai triển làm rõ từng nhóm; gom lại giúp đỡ phải tính hai tích. Phép gom chỉ đúng khi thừa số chung nhân với toàn bộ hai phần còn lại.
Nhận phần chung dù đứng khác vị trí
Xét 17\cdot85+15\cdot17. Trước hết dùng giao hoán để viết 15\cdot17=17\cdot15. Sau đó:
17\cdot85+15\cdot17=17(85+15)
=17\cdot100=1700.
Ta đang cộng 85 nhóm 17 với 15 nhóm 17, thành 100 nhóm 17. Không cộng hai thừa số chung thành 34.
Tách một số để tạo tổng hoặc hiệu dễ tính
Cùng công cụ ấy có thể đi theo chiều ngược lại:
27\cdot102=27(100+2)=2700+54=2754,
27\cdot98=27(100-2)=2700-54=2646.
Tại sao cách thứ hai vẫn đúng? Vì a(b-c)=ab-ac khi hiệu có nghĩa trong miền số đang xét. Dấu trừ phải đi cùng toàn bộ tích bị bớt đi.
Tự chọn cách viết: muốn tính 19\cdot37+63\cdot19, em sẽ khai triển thêm hay gom lại? Vì sao?
Lời giải
Gom thừa số chung 19: 19(37+63)=19\cdot100=1900. Khai triển ngược trả lại hai tích ban đầu, nên cách đổi giữ nguyên giá trị.
Nhìn đúng phép nối. Không dùng phép phân phối để biến ab\cdot ac thành a(b+c); phép nối ban đầu là nhân, không phải cộng. Chẳng hạn (2\cdot3)(2\cdot5)=60, còn 2(3+5)=16.
4. Tìm số chưa biết: hoàn tác từ phép tính cuối
Một đẳng thức được giữ đúng khi cộng hoặc trừ cùng một số ở hai vế, hoặc nhân/chia hai vế cho cùng một số khác 0. Để tìm ẩn, ta dùng các phép toán ngược theo thứ tự ngược với lúc tạo ra biểu thức.
Giữ lũy thừa như một khối
Tìm số tự nhiên x thỏa 4\cdot2^x-3=125. Từ khối 2^x, ta nhân 4 rồi trừ 3. Vì vậy phải hoàn tác phép trừ trước:
4\cdot2^x-3=125\Longleftrightarrow4\cdot2^x=128
\Longleftrightarrow2^x=32=2^5.
Với số mũ tự nhiên, các giá trị 2^0,2^1,2^2,\ldots tăng nghiêm ngặt vì mỗi bước nhân với 2>1. Do đó x=5 là nghiệm duy nhất. Thử lại: 4\cdot2^5-3=128-3=125.
Ở đây x là số mũ , khác với vai trò thừa số trong 2x. 2^5=32, còn 2\cdot5=10. Ta không thể lấy 32:2 để tìm số mũ.
Miền của ẩn quyết định có nhận kết quả không
Nếu vế phải đổi thành 117, cùng các bước hợp lệ cho 2^x=30. Nhưng 2^4=16<30<32=2^5. Không có số tự nhiên nào nằm giữa 4 và 5, nên phương trình mới không có nghiệm tự nhiên.
Dự đoán một điểm biên: nếu vế phải là 1, phương trình 4\cdot2^x-3=1 có nghiệm tự nhiên không? Nhớ rằng 0 cũng là số tự nhiên.
Lời giải
Cô lập lũy thừa được 2^x=1=2^0, nên x=0. Thử lại 4\cdot1-3=1. Không được vô tình loại 0 khi đề chỉ nói số tự nhiên.
Hai phép kiểm tra khác nhau: biến đổi tương đương giúp tìm đủ ứng viên; thay lại vào phương trình ban đầu giúp xác nhận ứng viên đúng. Cả hai đều phải giữ miền của ẩn.
5. Dịch một tổng để phần lặp tự triệt tiêu
Khi thấy một tổng có cùng cơ số và các số mũ liên tiếp, đừng vội tính từng lũy thừa. Hãy nhân tổng với cơ số để mọi số mũ dịch tăng một đơn vị, rồi so sánh hai tổng.
Với a>1 là số tự nhiên, n\ge1 là số nguyên, đặt S=a+a^2+\cdots+a^n. Khi nhân với a:
aS=a^2+a^3+\cdots+a^{n+1}.
Lấy aS-S. Các số hạng từ a^2 đến a^n có một lần dấu cộng, một lần dấu trừ, nên triệt tiêu. Hai đầu còn lại là a^{n+1} và -a:
(a-1)S=a^{n+1}-a.
Với n=1, không có phần chung để khử; đẳng thức vẫn đúng vì (a-1)a=a^2-a.
Hệ số a-1 xuất hiện từ phép phân phối aS-S=(a-1)S, liên kết đúng công cụ của phần trước với mẫu tổng mới.
Ví dụ ngắn cho thấy chính xác những số hạng trùng nhau bị khử. Đây là lý do của công thức, không chỉ là một đáp số được đoán theo số mũ cuối.
Kiểm tra ở tổng nhỏ, rồi dùng cấu trúc cho tổng lớn
Với S=6+6^2+6^3=258, công thức cho 5S+6=6^4=1296. Nếu thay số mũ cuối bằng 2019, cùng lập luận cho:
S=6+6^2+\cdots+6^{2019}\quad\Rightarrow\quad5S+6=6^{2020}.
Không cần tính một số có rất nhiều chữ số. Điều làm công thức đúng là các số mũ liên tiếp và cùng cơ số; số hạng đầu cũng phải được giữ đúng.
Đổi số hạng đầu: nếu T=1+3+3^2+\cdots+3^5, khi lấy 3T-T, số bị trừ còn lại là 1 hay 3?
Lời giải
Số hạng đầu của T là 1, nên 3T-T=3^6-1. Vậy 2T=728, T=364. Nếu dùng máy móc 3^6-3, em đã áp công thức cho một tổng khác bắt đầu ở 3.
6. Chọn công cụ bằng dấu hiệu cấu trúc
Hãy đọc mỗi tình huống, nêu bước đầu tiên cùng lý do trước khi tính.
Hai tích cùng thừa số
Với 23\cdot48+52\cdot23, dấu hiệu nào gợi ý cách làm?
Đối chiếu
Cùng thừa số 23, hai thừa số còn lại có tổng 100: 23(48+52)=2300. Dùng giao hoán rồi phân phối, không phải “đổi tùy ý cho tiện”.
Lũy thừa đứng trong một chuỗi phép tính
Tìm số tự nhiên x trong 3\cdot2^x+5=53. Bước đầu nên là gì?
Đối chiếu
Trừ 5 ở hai vế trước: 3\cdot2^x=48, rồi 2^x=16=2^4, nên x=4. Thử lại 3\cdot16+5=53.
Tổng có cùng cơ số và số mũ liên tiếp
Cho Q=3+3^2+\cdots+3^{10}. Không tính từng số hạng, hãy xác định 2Q+3.
Đối chiếu
Lấy 3Q-Q được 2Q=3^{11}-3, nên 2Q+3=3^{11}. Điều quyết định bước nhân là cơ số 3, không phải số lượng số hạng.
Tự kiểm sau mỗi phép biến đổi
- Tôi có giữ nguyên các phần nằm trong ngoặc không?
- Tôi nêu được tính chất cho phép gom hoặc tách chưa?
- Nếu chia hai vế, số chia có chắc khác 0 không?
- Ứng viên có thuộc miền yêu cầu và thỏa biểu thức ban đầu không?
- Trong một tổng có quy luật, tôi đã kiểm tra cả số hạng đầu lẫn số mũ cuối chưa?
Điều cần nhớ là cách nhìn: cấu trúc cho biết bước biến đổi nào có ích; tính chất toán học cho biết bước ấy có hợp lệ hay không.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải