Chọn đúng mốc và miền: phần trăm, xác suất và mô hình
Xác định mốc so sánh, không gian chọn và miền hợp lệ; học phần trăm gộp, biến cố, khử nhân tử, lọc giá trị nguyên và kiểm tra tính khả thi của hệ.
TOÁN 9 · MỐC SO SÁNH, ĐIỀU KIỆN VÀ KIỂM TRA MÔ HÌNH
Chọn đúng mốc và miền: phần trăm, xác suất và mô hình
Xác định mốc so sánh, không gian chọn và miền hợp lệ; học phần trăm gộp, biến cố, khử nhân tử, lọc giá trị nguyên và kiểm tra tính khả thi của hệ.
1. Trước khi tính, xác định “toàn bộ” đang nói đến là gì
Nhiều lỗi ở phần trăm, xác suất và đại số bắt đầu trước phép tính đầu tiên: chọn nhầm mốc so sánh, đếm trong nhầm tập kết quả, hoặc quên một điều kiện của biểu thức. Cùng một con số có thể trả lời đúng một câu hỏi nhưng sai câu hỏi đang cần giải.
Bốn bước kiểm soát mô hình:
- Đặt tên đại lượng và đơn vị.
- Xác định mốc, không gian kết quả hoặc miền được phép.
- Dùng một quan hệ có lý do để tính.
- Kiểm tra ý nghĩa, điều kiện và khả năng xảy ra của kết quả.
Các phần sau dùng những ví dụ nhỏ để phân biệt các lựa chọn gần giống nhau. Đích học tập là biết vì sao một phép tính trả lời đúng câu hỏi , không phải dùng một công thức cho mọi tình huống.
2. Phần trăm: mẫu số chính là mốc so sánh
Với hai đại lượng dương H,T, “H bằng bao nhiêu phần trăm của T” nghĩa là H/T\cdot100\%. Trong câu này T là mốc 100\%. Nếu đảo mẫu và tử, ta đổi câu hỏi.
Phân biệt tỉ số giá trị với phần trăm tăng
Một lượng tăng từ 80 lên 100. Giá trị mới bằng 100/80\cdot100\%=125\% của giá trị cũ; phần tăng thêm chỉ bằng (100-80)/80\cdot100\%=25\%. Nếu từ 100 giảm về 80, mức giảm là 20/100\cdot100\%=20\%, không phải 25\%, vì mốc đã đổi.
Dự đoán: tăng 20\% rồi giảm 20\% có đưa một lượng dương về đúng ban đầu không? Hai lần phần trăm dùng cùng một mốc hay hai mốc khác nhau?
Giải thích bằng một giá trị dễ kiểm tra
Bắt đầu từ 100, tăng 20\% được 120. Giảm 20\% của 120 là giảm 24, còn 96. Hai phần trăm bằng nhau nhưng tính trên hai mốc khác nhau.
Tỉ số hai tổng không phải trung bình cộng các tỉ số
Xét riêng hai ngày luyện piano của Trang và Huy: Thứ Hai, Trang 80 phút và Huy 70 phút; Thứ Tư, Trang 50 phút và Huy 70 phút. Trong hai ngày này, tổng của Huy bằng bao nhiêu phần trăm tổng của Trang?
Phải cộng theo từng người: T=130, H=140, nên H/T\cdot100\%\approx107{,}69\%. Nếu lấy trung bình hai phần trăm ngày 87{,}5\% và 140\%, ta được 113{,}75\%, trả lời một phép lấy trung bình khác.
Vì sao hai kết quả khác nhau? Ngày có tổng của Trang lớn hơn phải có trọng số lớn hơn trong tỉ số gộp. Với t_1,t_2>0, đặt w_1=t_1/(t_1+t_2), w_2=t_2/(t_1+t_2). Khi đó:
\frac{h_1+h_2}{t_1+t_2}=w_1\frac{h_1}{t_1}+w_2\frac{h_2}{t_2}.
Hai trọng số là t_1/(t_1+t_2), t_2/(t_1+t_2); tổng bằng 1. Ở ví dụ, chúng là 80/130 và 50/130, không phải cùng bằng 1/2.
Có thể lấy trung bình cộng không trọng số để ra đúng tỉ số gộp khi các mẫu số bằng nhau; trong trường hợp tổng quát, không được mặc nhiên làm vậy. Trước khi tính phần trăm, viết rõ mốc và khoảng thời gian đang gộp.
3. Xác suất: điều kiện “và”, “hoặc” và phép chọn là ba việc riêng
Khi các kết quả của một phép thử có khả năng như nhau, xác suất một biến cố bằng số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả của đúng phép thử ấy . Điều kiện của biến cố quyết định tử số; cách chọn quyết định mẫu số.
Một mô hình để so sánh ba câu hỏi
Hộp có 30 bóng cùng kích cỡ và khối lượng, đánh số 1 đến 30. Các bóng 1–10 màu cam, còn 11–30 màu xanh. Ta lấy ngẫu nhiên một bóng, mỗi quả có khả năng được chọn như nhau.
Gọi X là nhóm bóng xanh, D là nhóm số chia hết cho 3. Có 20 bóng xanh, 10 bội của 3, và phần chung là \{12;15;18;21;24;27;30\}, gồm 7 quả.
Bảng chia đúng bốn nhóm không trùng nhau. Biến cố “và” chọn một ô; biến cố “hoặc” chọn các ô thỏa ít nhất một điều kiện; thay phép chọn làm đổi tổng ở mẫu.
- Xanh và chia hết cho 3: phải thỏa đồng thời hai điều kiện, nên có 7 kết quả thuận lợi; xác suất 7/30.
- Xanh hoặc chia hết cho 3: hiểu là thỏa ít nhất một điều kiện. Có 20+10-7=23 kết quả; xác suất 23/30. Trừ phần chung vì đã đếm nó hai lần.
- Chỉ chọn ngẫu nhiên đều trong các bóng xanh, rồi hỏi số chia hết cho 3: phép thử đã đổi, tổng số kết quả còn 20; xác suất 7/20.
Đếm giao khác với đổi không gian chọn. Hai câu cuối không chỉ khác một phép cộng hoặc một mẫu số: chúng mô tả hai câu hỏi khác nhau.
Không tự nhân xác suất “xanh” với xác suất “chia hết cho 3” nếu chưa biết hai điều kiện độc lập. Ngay mô hình này, (20/30)(10/30)=2/9\ne7/30.
Tự đổi một điều kiện
Trong phép chọn từ cả 30 bóng, xác suất bóng màu cam và chia hết cho 3 bằng bao nhiêu?
Đáp án
Chỉ có 3,6,9, nên xác suất 3/30=1/10. Mẫu vẫn là 30, vì chưa đổi phép chọn sang riêng nhóm cam.
4. Đại số: công thức rút gọn và miền xác định phải đi cùng nhau
Rút gọn giữ giá trị trên miền mà các phép biến đổi hợp lệ; nó không làm một biểu thức gốc tự có nghĩa tại điểm mẫu bằng 0.
Một nhân tử biến mất, một điều kiện còn lại
Xét R=(x^2-4)/(x-2), với x\ne2. Phân tích x^2-4=(x-2)(x+2), rồi chia tử và mẫu cho x-2\ne0:
R=x+2,\qquad x\ne2.
Tại x=2, công thức x+2 cho 4, nhưng đó không phải giá trị của R gốc. Khi mô tả hàm hoặc tìm nghiệm từ biểu thức ban đầu, điểm bị loại vẫn phải được giữ.
Cũng chỉ được khử nhân tử , không xóa số hạng trong tổng. Chẳng hạn (x+2)/(x+3) không rút gọn thành 2/3; thế x=1 được 3/4\ne2/3.
Lọc số nguyên và số tự nhiên theo hai bước khác nhau
Cho T=3+6/(x-1), với x nguyên và x\ne1. Muốn T là số tự nhiên, trước hết cần T nguyên. Điều này tương đương x-1 là ước nguyên khác 0 của 6.
x-1\in\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\}.
Các ứng viên và giá trị tương ứng là:
- x=-5,-2,-1,0 cho T=2,1,0,-3.
- x=2,3,4,7 cho T=9,6,5,4.
Với quy ước số tự nhiên có 0, nhận x=-1 nhưng loại x=0. Kết quả là x\in\{-5;-2;-1;2;3;4;7\}. Mọi nghiệm phải nằm trong danh sách ước; ngược lại, các giá trị được nhận đều thuộc miền và cho T\ge0, nên danh sách đầy đủ.
Điều kiện của ẩn và điều kiện của giá trị biểu thức khác nhau. Mỗi bước loại một kiểu ứng viên không hợp lệ; điều kiện cũ không biến mất sau bước mới.
Đọc điều kiện gắn với đúng đối tượng. Đề yêu cầu x nguyên, còn T tự nhiên. Không loại x âm chỉ vì thấy chữ “tự nhiên”, cũng không nhận T âm chỉ vì nó nguyên.
5. Lập hệ: mỗi phương trình giữ một thông tin khác nhau
Mô hình hai loại dịch vụ thường có một tổng số lượng và một tổng chi phí. Gọi x,y\ge0 là hai lượng sử dụng, tổng n>0; đơn giá lần lượt p,q, với 0\le p<q; tổng tiền K. Khi đó:
x+y=n,\qquad px+qy=K.
Phương trình đầu đếm số lượng; phương trình sau cộng tiền. Thế x=n-y vào phương trình tiền:
pn+(q-p)y=K
y=\frac{K-pn}{q-p},\qquad x=n-y.
Công thức nói rằng mỗi đơn vị chuyển từ loại rẻ sang loại đắt làm tiền tăng q-p. Phần tăng thêm so với “toàn bộ loại rẻ” là K-pn.
Kiểm tra khả thi trước khi tính chi tiết
Vì 0\le y\le n, chi phí phải thỏa pn\le K\le qn. Ngược lại, nếu bất đẳng thức này đúng, công thức trên cho x,y\ge0. Vậy với mô hình lượng sử dụng liên tục, đây là điều kiện cần và đủ để phân chia hợp lệ.
Một ứng dụng cước điện thoại
Cước nội mạng 1190 đồng/phút, ngoại mạng 1390 đồng/phút; tổng 500 phút, tiền 635000 đồng. Các giả thiết tính cước chỉ gồm hai đơn giá này. Mốc “toàn nội mạng” là 595000 đồng, mỗi phút đổi loại tăng 200 đồng, nên số phút ngoại mạng là (635000-595000)/200=200; nội mạng 300 phút.
Kiểm tra cả hai thông tin: 300+200=500, và 1190\cdot300+1390\cdot200=635000. Chỉ thỏa tổng phút chưa đủ để kết luận đúng tổng tiền.
Điều kiện thay đổi làm mô hình đổi
- Nếu tổng tiền là 580000 đồng với cùng 500 phút, nó thấp hơn mức rẻ nhất 595000. Mô hình không có cách phân chia không âm.
- Nếu hai đơn giá bằng nhau, p=q, không được chia cho q-p. Khi K=pn, tổng tiền không cho thêm thông tin để xác định cách chia; khi K\ne pn, dữ kiện mâu thuẫn.
- Nếu đại lượng phải là số nguyên, còn cần kiểm tra tính nguyên của kết quả; nằm trong khoảng khả thi chưa bảo đảm điều kiện nguyên.
Lập hệ không chỉ là tìm một cặp số. Cần biết hệ có mô tả đúng đơn vị, có nghiệm trong miền hợp lệ và có đủ thông tin để xác định duy nhất hay không.
6. Tự kiểm bằng câu hỏi mới
Chọn lại mốc
Một lượng giảm từ 200 xuống 150. Tỉ lệ giảm là bao nhiêu? Từ 150, phải tăng bao nhiêu phần trăm để trở lại 200?
Lời giải
Giảm 50/200=25\%. Tăng lại 50/150=1/3, tức 33\frac13\%. Cùng chênh lệch 50 nhưng mốc khác nhau.
Kiểm tra miền sau rút gọn
Với U=(x^2-9)/(x-3), x\ne3, có thể nhận x=3 khi giải U=6 không?
Lời giải
Trên miền gốc, U=x+3. Phương trình rút gọn cho ứng viên x=3, nhưng giá trị ấy bị loại, nên phương trình gốc vô nghiệm. Không thay giá trị của công thức mới vào chỗ biểu thức cũ không xác định.
Kiểm tra hai tổng có đủ xác định không
Hai loại vé cùng giá 50000 đồng. Bán 10 vé, thu 500000 đồng. Có xác định được số vé từng loại chỉ từ hai tổng này không?
Lời giải
Không. Phương trình tiền là 50000(x+y)=500000, chỉ lặp lại x+y=10. Các cách chia như (4;6) hoặc (7;3) đều phù hợp. Cần một thông tin độc lập khác.
Bảng câu hỏi mang sang bài mới
- Phần trăm đang lấy đại lượng nào làm 100\%?
- Tử số và mẫu số của xác suất có thuộc cùng một phép chọn không?
- Những giá trị nào bị loại trước khi rút gọn?
- Tính nguyên và không âm được yêu cầu cho ẩn hay cho giá trị biểu thức?
- Mỗi phương trình có cung cấp một thông tin mới không?
Một lời giải đáng tin phải giữ đúng phạm vi của câu hỏi. Mốc, không gian chọn và miền xác định là một phần của mô hình, không phải ghi chú phụ.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải