Biến đổi đại số: đẳng thức, phương trình và điều kiện tương đương
Chuyên đề Toán THCS về chứng minh đẳng thức, rút gọn phân thức và biến đổi phương trình; miền xác định, mất nghiệm hoặc thêm ứng viên, đồ thị điểm bị loại…
THCS · TOÁN · ĐẠI SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN
Biến đổi đại số: đẳng thức, phương trình và điều kiện tương đương
Mục tiêu: biết mình đang chứng minh một quan hệ luôn đúng, rút gọn trên một miền hay tìm những giá trị làm phương trình đúng.
Ví dụ tự biên soạn, không gắn với một đề thi. Hãy hỏi trước mỗi mũi tên: có giữ đủ điều kiện và có đi được theo cả hai chiều không?
1. Ba nhiệm vụ không dùng cùng một kiểu kết luận
Nhiệm vụ · Điều phải làm rõ · Kiểu kết luận
Chứng minh một đẳng thức trên miền đã cho. · Hai vế có xác định và bằng nhau với mọi giá trị trong miền. · Quan hệ đúng trên toàn miền đang xét.
Rút gọn biểu thức. · Viết dạng gọn có cùng giá trị khi biểu thức ban đầu xác định. · Dạng gọn kèm miền ban đầu.
Giải phương trình. · Tìm đủ và chỉ những giá trị thỏa phương trình gốc. · Tập nghiệm trong miền được phép.
Chẳng hạn x^2-9=(x-3)(x+3) là hằng đẳng thức đúng với mọi số thực x. Còn x^2-9=0 là một phương trình: không đúng với mọi x, mà cần tìm giá trị làm nó đúng. Dấu bằng xuất hiện ở cả hai, nhưng yêu cầu khác nhau.
Trong ví dụ xuyên suốt bài này, đặt:
F(x)=\frac{x^2-9}{x-3},\qquad D=\{x\in\mathbb R:x\ne3\}.
Trước hết, xác định miền D từ mẫu. Không thể chứng minh hoặc tính giá trị của F tại 3 bằng cách bỏ qua phép chia cho 0.
Dự đoán: thử hai giá trị đúng đã chứng minh đẳng thức với mọi x?
Chưa. Hai phép thử xác nhận hai trường hợp. Chứng minh trên toàn miền cần lập luận áp dụng cho mọi giá trị được phép. Một giá trị phản ví dụ có thể bác bỏ một mệnh đề “mọi”, nhưng vài giá trị khớp không tự chứng minh nó.
2. Phân tích nhân tử trước khi khử; không khử số hạng trong tổng
Với x\ne3, phân tích tử bằng hiệu hai bình phương:
F(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.
Khử được nhân tử x-3 vì nó khác 0 trên D. Điều kiện này vẫn đi cùng dạng gọn. Nếu viết G(x)=x+3 trên toàn bộ số thực, G có giá trị 6 tại 3; F không có giá trị tại đó. Hai biểu thức có cùng giá trị trên D, nhưng khi được xem là hai hàm với miền tương ứng khác nhau, chúng không có cùng miền.
Quy tắc (AC)/(BC)=A/B cần B\ne0 và C\ne0 tại giá trị xét. Không “gạch x” trong (x+3)/x vì x ở tử là một số hạng, không phải nhân tử của toàn tử. Với x\ne0, có thể tách:
\frac{x+3}{x}=1+\frac3x,
không phải 3 hoặc 4. Quy đồng, khai triển hay phân tích nhân tử là công cụ tùy cấu trúc; không có một thứ tự cứng cho mọi bài. Điều phải giữ ở mọi cách là giá trị và điều kiện.
Trước khi khử: khoanh toàn tử, toàn mẫu; xác định nhân tử chung của cả hai; ghi nó khác 0. Nếu chưa nhìn thấy tích, hãy biến đổi thành tích đúng, không bỏ một phần của tổng.
3. Điểm bị loại không tự trở lại trên đồ thị
x · F(x) theo biểu thức ban đầu · G(x) = x + 3
−3 · 0 · 0
0 · 3 · 3
2 · 5 · 5
3 · Không xác định · 6
4 · 7 · 7
Đồ thị của F nằm trên đường thẳng y=x+3 nhưng bỏ điểm (3;6). Vòng tròn rỗng báo điểm ấy không thuộc đồ thị, không phải F(3)=0. Dạng gọn giúp biết mọi điểm được phép; miền giúp biết điểm nào bị bỏ.
Đổi từ tọa độ toán học sang hình: X=280+55x, Y=350-35y. Vòng rỗng ở (445;140) đúng với (x;y)=(3;6). Hai trục có tỉ lệ khác nhau; không dùng độ nghiêng nhìn thấy để suy hệ số.
Đây là cách kiểm tra miền bằng hình, không thay một chứng minh đại số bằng quan sát. Đường thẳng còn các điểm ngoài cửa sổ vẽ; việc dừng nét ở mép vùng minh họa không tạo thêm điều kiện cho x.
4. Dấu tương đương cần đi được hai chiều
P\Longleftrightarrow Q nghĩa là P kéo theo Q và Q cũng kéo theo P trong miền đang xét. Nếu chỉ biết P kéo theo Q, dùng \Longrightarrow; nghiệm của P thuộc các giá trị thỏa Q, nhưng Q có thể chứa ứng viên thêm.
Thao tác trên phương trình · Điều kiện hoặc giới hạn
Cộng hoặc trừ cùng biểu thức ở hai vế. · Biểu thức thêm vào phải xác định trên miền; phép ngược trừ hoặc cộng lại.
Nhân hai vế với cùng một số khác 0. · Giữ tương đương vì chia ngược được.
Nhân hai vế với biểu thức có thể bằng 0. · Chiều thuận đúng tại nơi xác định, nhưng cần xét khả năng 0 tạo ứng viên thêm khi đi ngược.
Chia hai vế cho biểu thức. · Cần biểu thức khác 0; nếu nó có thể bằng 0, phải xét nhánh 0 trước.
Bình phương hai vế. · Chiều thuận đúng với số thực; chiều ngược có thể sai vì hai số đối có cùng bình phương.
Ví dụ ngắn: từ x=-2 suy ra x^2=4, nhưng x^2=4 còn nhận x=2. Bình phương đã tạo tập ứng viên rộng hơn. Nếu biết hai vế đều không âm, việc bình phương bảo toàn tương đương giữa chúng; phải có điều kiện đó, không mặc định.
Ngược lại, phương trình (x-3)(x+1)=0 nhận cả 3 và −1. Chia ngay cho x-3 làm mất nhánh x=3. Cách giữ đủ là xét x=3, rồi với x\ne3 mới chia để xét nhánh còn lại.
Giải nghĩa mũi tên: mỗi bước phải nói rõ đang giữ nguyên tập nghiệm hay chỉ tạo một danh sách ứng viên cần lọc. Đúng phép tính trong một nhánh chưa chứng minh đã xét hết các nhánh.
5. Khử mẫu đúng khi vẫn giữ miền ban đầu
Xét minh họa tự biên soạn F(x)=6, với F và D ở mục 1. Trên D, x-3\ne0, nên nhân hai vế với x-3 là phép tương đương:
\frac{x^2-9}{x-3}=6\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-9=6(x-3),\qquad x\in D.
Biến đổi phương trình bên phải thành (x-3)^2=0 cho ứng viên 3, nhưng 3 không thuộc D. Vì vậy phương trình ban đầu không có nghiệm. Nếu chỉ nhìn phương trình sau khử mẫu trên toàn bộ số thực, ta đã quên miền.
Cách kiểm tra bằng dạng gọn: trên D, F(x)=x+3. Muốn bằng 6 cần x=3, nhưng điểm đó bị bỏ. Cách nhìn đồ thị là đường ngang y=6 gặp đường thẳng tại chính vòng rỗng, nên không có điểm của đồ thị F ở giao ấy.
Khử mẫu không tự “sai”; điều kiện miền quyết định việc dùng đúng. Không cần quy đồng theo một thứ tự cố định trước mọi phép tính, nhưng bắt buộc xác định mẫu nào có thể bằng 0 và giữ các giá trị bị loại.
Dự đoán: không có nghiệm vì dạng gọn x + 3 sai?
Không. Dạng gọn đúng trên D. Kết quả vô nghiệm đến từ yêu cầu bằng 6 chỉ xảy ra ở một giá trị ngoài miền gốc.
6. Chứng minh đầy đủ: không chỉ thử ứng viên đẹp
Để chứng minh một đẳng thức, chuỗi biến đổi phải áp dụng cho mọi giá trị trong miền đã nêu. Có thể biến đổi một vế thành vế kia, hoặc đưa hai vế về cùng dạng, hoặc chứng minh hiệu bằng 0. Chọn đường ngắn mà điều kiện rõ; không cần bắt buộc “thay số trước, quy đồng sau” trong mọi trường hợp.
Để xác nhận tập nghiệm, cần hai hướng: mọi nghiệm gốc đã được đưa vào các nhánh hoặc ứng viên đang xét; và mọi giá trị được nhận thật sự thỏa phương trình gốc. Thay lại xác nhận một ứng viên, nhưng nếu trước đó đã chia mất một nhánh, phép thử ứng viên còn lại không sửa được sự thiếu sót.
Chẳng hạn, thử −1 vào (x-3)(x+1)=0 là đúng, nhưng chưa chứng minh chỉ có −1. Muốn đủ, dùng tích bằng 0: x-3=0 hoặc x+1=0, để giữ cả hai nhánh. Với tích nhiều nhân tử, cần xét đủ các nhân tử có thể bằng 0, rồi gộp nghiệm trùng.
Khi biểu thức có yêu cầu giá trị nguyên, hãy phân biệt biến được cho thuộc số thực hay số nguyên. Một lập luận dựa vào ước số nguyên cần xác nhận các số đang xét thực sự nguyên. Nếu biến còn là số thực, không áp một danh sách ước nguyên để khẳng định đã tìm hết.
Kiểm tra cuối: điều kiện gốc; nhánh bằng 0; thao tác chỉ một chiều; các ứng viên ngoài miền; đã chứng minh đủ chứ không chỉ đã thử một giá trị đúng?
7. Tự kiểm tra bằng một phản ví dụ hoặc điều kiện
A. Rút gọn F thành x + 3, rồi tính F(3) bằng 6?
Gợi ý A
Xem mẫu ban đầu và vòng rỗng trên đồ thị.
Kiểm tra A
Không. F không xác định tại 3. G có giá trị 6, nhưng đó là hàm với miền rộng hơn nếu G được đặt trên toàn bộ số thực.
B. Gạch x trong (x+3)/x để được 3?
Kiểm tra B
Không có nhân tử x của toàn tử để khử. Với x khác 0, dạng tách đúng là 1+3/x. Thử x bằng 3 cho 2, đã bác bỏ kết quả 3.
C. Bình phương hai vế luôn giữ đúng toàn bộ nghiệm?
Kiểm tra C
Không. x=-2 kéo theo x^2=4, nhưng phương trình sau thêm ứng viên 2. Cần điều kiện hoặc thử lại phương trình gốc.
D. Chia (x-3)(x+1)=0 cho x − 3 rồi chỉ nhận −1?
Kiểm tra D
Đã mất nhánh 3. Phải xét khi x − 3 bằng 0 trước khi chia, hoặc dùng tính chất tích bằng 0.
E. F(x) = 6 cho ứng viên 3 sau khử mẫu. Nhận vì thay vào phương trình đa thức đúng?
Kiểm tra E
Không. Cần thuộc miền gốc và thỏa phương trình gốc. 3 bị loại nên không có nghiệm, dù nó thỏa phương trình đa thức sau khi bỏ miền.
F. Kiểm tra đẳng thức ở 0, 2, 4 đều đúng. Đã chứng minh mọi x?
Kiểm tra F
Chưa. Chứng minh cần lập luận áp dụng cho toàn miền. Các phép thử hữu ích để phát hiện sai, không tự thay được lượng “mọi”.
G. Một ứng viên thử lại đúng. Đã tìm đủ nghiệm?
Kiểm tra G
Chưa chắc. Thử lại xác nhận giá trị đó, không cho biết có bỏ nhánh trong bước trước hay không. Rà chuỗi biến đổi và trường hợp bằng 0.
H. Hai biểu thức bằng nhau trên miền gốc có bắt buộc miền tự nhiên của dạng gọn giống hệt?
Kiểm tra H
Không. Dạng gọn có thể xác định ở nhiều điểm hơn. Khi dùng nó thay biểu thức ban đầu, phải giữ miền gốc; mở rộng miền là tạo một đối tượng mới cần nói rõ.
Phiếu rà: nhiệm vụ là đẳng thức hay phương trình? miền nào? khử nhân tử hay số hạng? biểu thức chia có bằng 0? mũi tên hai chiều? bình phương thêm ứng viên? đã thử gốc và giữ đủ nhánh? hình có điểm rỗng?
THCS · Đại số · Giữ điều kiện, phân biệt nhiệm vụ, kiểm chứng kết luận.