Cắt giấy có sai số: chọn kích thước để bảo đảm thể tích
Chứng minh thể tích tăng rồi giảm, xác định miền sai số hợp lệ và tìm duy nhất mức đặt tối ưu cho trường hợp bất lợi nhất.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Cắt giấy có sai số: chọn kích thước để bảo đảm thể tích
Chứng minh thể tích tăng rồi giảm, xác định miền sai số hợp lệ và tìm duy nhất mức đặt tối ưu cho trường hợp bất lợi nhất.
01. Thể tích lớn nhất và thể tích bảo đảm là hai mục tiêu
Chọn kích thước tối ưu khi biết chính xác đường cắt là một bài toán. Chọn kích thước để thể tích vẫn đủ lớn khi có sai số là một bài toán khác. Để giải bài thứ hai, cần biết không chỉ đỉnh của đồ thị mà cả cách thể tích thay đổi ở hai phía đỉnh.
Dữ kiện được chọn từ bài nguồn: tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm; cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh x cm rồi gấp thành hộp không nắp. Bỏ qua bề dày và phần ghép mép. Đáy hộp có cạnh 18-2x, chiều cao x, nên
V(x)=x(18-2x)^2,\qquad0<x<9.
Hai đầu bị loại: x=0 không tạo chiều cao, x=9 làm đáy bằng 0. Trong phần sai số, cả bốn góc vẫn được cắt với cùng một cạnh thực tế x ; chỉ giá trị chung ấy lệch khỏi mức đặt trước. Nếu bốn góc có các sai số khác nhau, công thức hình hộp vuông này không còn mô tả đủ hình.
02. Chứng minh đỉnh và sự tăng, giảm không dùng đạo hàm
Khai triển và phân tích hiệu cho
432-V(x)=4(x-3)^2(12-x).
Trên 0<x<9, thừa số 12-x>0, nên V(x)\le432. Dấu bằng đúng khi x=3, thuộc miền. Vậy với đường cắt chính xác, thể tích lớn nhất là 432\ \mathrm{cm}^3, đạt duy nhất ở x=3 cm.
Bên trái đỉnh, thể tích tăng
Viết x=3-u, 0\le u<3. Khi ấy 432-V=4u^2(9+u). Hai thừa số u^2, 9+u không âm và tăng theo u; tích tăng nghiêm ngặt khi u tăng. Vì x tăng thì u giảm, V tăng nghiêm ngặt trên (0,3].
Bên phải đỉnh, thể tích giảm
Viết x=3+u, 0\le u<6. Khi ấy 432-V=4u^2(9-u). Với 0\le u<v<6,
v^2(9-v)-u^2(9-u)
=(v-u)\bigl[9(u+v)-(u^2+uv+v^2)\bigr].
Ta có u^2\le6u, v^2<6v, và uv\le3(u+v), vì u(6-v)+v(6-u)\ge0. Do đó biểu thức trong ngoặc vuông dương, nên hiệu dương. Suy ra độ hụt thể tích tăng khi u tăng, tức V giảm nghiêm ngặt trên [3,9).
Đây là thông tin cần để kiểm tra mọi đường cắt trong một khoảng, không chỉ vài giá trị đã thử.
03. Mô hình sai số chung và miền đặt trước
Xét mô hình mới: đặt cạnh cắt danh định là c cm, nhưng cạnh thực tế có thể là bất kì số nào trong
c-e\le x\le c+e,
với e\ge0 là mức sai số biết trước. Không gán xác suất cho các giá trị trong khoảng; yêu cầu bảo đảm phải đúng với mọi giá trị được phép. Vì bốn góc có cùng sai lệch chung, hộp vẫn có đáy vuông như mô hình nguồn.
Muốn mọi hộp đều không suy biến, cần và đủ cả khoảng đóng nằm trong (0,9):
\boxed{e<c<9-e}.
Có mức đặt hợp lệ khi và chỉ khi 0\le e<9/2. Nếu e=9/2, khoảng sai số đã dài 9, không thể nằm trọn trong khoảng mở độ dài 9; lấy c=9/2 vẫn cho hai trường hợp suy biến x=0,9. Sai số lớn hơn càng không thể bảo đảm hình hợp lệ.
Với một c hợp lệ, gọi W_e(c) là thể tích nhỏ nhất có thể gặp. Từ sự tăng rồi giảm đã chứng minh,
\boxed{W_e(c)=\min\{V(c-e),V(c+e)\}}.
Nếu khoảng nằm bên trái 3, giá trị nhỏ nhất ở đầu trái; nếu nằm bên phải, ở đầu phải. Nếu khoảng chứa 3, các giá trị từ đầu trái đến 3 không nhỏ hơn đầu trái, còn từ 3 đến đầu phải không nhỏ hơn đầu phải. Vì hai đầu thuộc khoảng, cận nhỏ hơn thật sự đạt được.
04. Vì sao đặt đúng ba chưa chắc bảo đảm tốt nhất?
Với 0<e<3, đặt c=3 là hợp lệ. Hai thể tích ở đầu khoảng là
V(3-e)=432-4e^2(9+e),
V(3+e)=432-4e^2(9-e).
Hiệu thể tích đầu phải trừ đầu trái bằng 8e^3>0. Với cùng độ lệch khỏi 3, cắt nhỏ hơn làm mất thể tích nhiều hơn cắt lớn hơn. Đồ thị không đối xứng qua đường x=3, dù nó có cực đại tại đó.
Ví dụ minh họa lấy e=2: đặt c=3 cho x\in[1,5], hai đầu có thể tích 256 và 320, nên chỉ bảo đảm 256\ \mathrm{cm}^3. Tăng nhẹ mức đặt giúp đầu trái tiến về vị trí tốt hơn, nhưng cũng làm đầu phải đi xa hơn. Điểm tối ưu cần cân bằng hai đầu theo thể tích , không theo khoảng cách đến 3.
05. Tìm mức đặt cân bằng, rồi chứng minh tối ưu
Xét 0<e<9/2. Ta tìm mức đặt có hai thể tích đầu khoảng bằng nhau. Tính hiệu:
V(c+e)-V(c-e)
=8e(3c^2-36c+e^2+81).
Vì e>0, phương trình cân bằng tương đương
3(c-6)^2=27-e^2.
Hai ứng viên là c=6\pm\sqrt{9-e^2/3}. Ta sẽ dùng nhánh
\boxed{c_*=6-\sqrt{9-\frac{e^2}{3}}}.
Nhánh này hợp lệ và khoảng sai số của nó nằm hai phía 3:
0<c_*-e<3<c_*+e<9.
Kiểm tra đầy đủ miền của công thức
Đặt q=\sqrt{9-e^2/3}. Với 0<e<9/2, ta có 3/2<q<3, nên 3<c_*<9/2. Vì e<9/2, suy ra c_*+e<9.
Mặt khác, 6-e>0 và (6-e)^2-q^2=(2e-9)^2/3>0, nên 6-e>q, tức c_*-e>0. Muốn kiểm tra c_*-e<3: nếu e\ge3, kết luận theo ngay từ c_*<9/2; nếu 0<e<3, ta có q^2-(3-e)^2=(2e/3)(9-2e)>0, nên q>3-e, cũng cho kết luận. Cuối cùng c_*+e>3 vì c_*>3.
Nhánh cộng c_+=6+q không hợp lệ. Nếu e\ge3, rõ ràng c_++e>9. Nếu e<3, bất đẳng thức q>3-e vừa chứng minh cũng cho c_++e>9. Không được giữ cả hai nghiệm của phương trình cân bằng.
Tại c_*, hai đầu có cùng thể tích W_*=V(c_*-e)=V(c_*+e). Để chứng minh đây là mức bảo đảm lớn nhất, lấy bất kì mức đặt hợp lệ c\ne c_*:
- Nếu c<c_*, thì 0<c-e<c_*-e<3. Do V tăng nghiêm ngặt ở bên trái, W_e(c)\le V(c-e)<V(c_*-e)=W_*.
- Nếu c>c_*, thì 3<c_*+e<c+e<9. Do V giảm nghiêm ngặt ở bên phải, W_e(c)\le V(c+e)<V(c_*+e)=W_*.
Vậy c_* là mức đặt tối ưu duy nhất. Phương trình hai đầu bằng nhau chỉ tạo ứng viên; hai so sánh nghiêm ngặt trên mới chứng minh nó thắng mọi mức đặt khác.
06. Kiểm tra một thiết kế có sai số cụ thể
Với e=2, mức đặt tối ưu là
c_*=6-\frac{\sqrt{69}}3\approx3{,}2311\ \text{cm}.
Cạnh cắt thực tế nằm trong khoảng xấp xỉ [1{,}2311;5{,}2311] cm. Hai đầu được hiểu chính xác là c_*-2,c_*+2, không phải hai số đã làm tròn.
W_*=216+\frac{88\sqrt{69}}9
\approx297{,}22\ \mathrm{cm}^3.
Mức này lớn hơn 256 của cách đặt c=3. Trong khi đó, thể tích tại đúng x=c_* nhỏ hơn 432, vì c_*>3. Sự khác biệt phù hợp với mục tiêu mới: nâng trường hợp xấu nhất trong cả khoảng sai số.
Hình cho e=2, với hai điểm A,B ứng với x=c_*-2,c_*+2. Đồ thị là đường cong chính xác của đa thức, dùng 22 điểm ảnh cho một cm và 0{,}3 điểm ảnh cho một \mathrm{cm}^3. Đỉnh vẫn ở x=3; hai đầu khoảng tối ưu có cùng tung độ.
Nếu thiết bị chỉ cho đặt một số mức rời rạc, công thức c_* chưa tự cho một mức cài đặt có sẵn. Khi ấy cần kiểm tra các mức được phép bằng \min\{V(c-e),V(c+e)\}; không được thay một giá trị làm tròn vào rồi giữ nguyên con số bảo đảm chính xác.
07. Tự kiểm tra và giới hạn áp dụng
Thử 1. Nếu không có sai số, e=0, lời giải trở thành gì?
Xem lời giải
Khi ấy W_0(c)=V(c), nên tối ưu duy nhất tại c=3, giá trị 432. Công thức nhánh trừ cũng cho 6-\sqrt9=3, nhưng phương trình cân bằng hai đầu tự đúng với mọi c, nên không thể chia hiệu cho e=0 để suy ra ứng viên. Phải dùng bài toán chính xác đã chứng minh.
Thử 2. Với e=1, đặt c=3 bảo đảm bao nhiêu? Mức đặt tối ưu có lớn hơn 3 không?
Xem lời giải
Hai đầu là 2,4, thể tích 392,400, nên bảo đảm 392\ \mathrm{cm}^3. Mức tối ưu c_*=6-\sqrt{78}/3\approx3{,}0561, lớn hơn 3. Thể tích bảo đảm là 216+184\sqrt{78}/9\approx396{,}56\ \mathrm{cm}^3, lớn hơn 392, đúng kết luận tối ưu nghiêm ngặt.
Thử 3. Vì sao không thể nhận e=5 rồi chọn một c thật cẩn thận để mọi hộp vẫn hợp lệ?
Xem lời giải
Cần đồng thời c>5 và c<9-5=4, mâu thuẫn. Khi khoảng sai số rộng hơn toàn miền hình học, không có mức đặt nào bảo đảm tất cả kết quả hợp lệ. Đây là lỗi khả thi của mô hình, không phải thiếu một kĩ thuật tối ưu.
Thử 4. Một người chỉ kiểm tra thể tích ở mức đặt c, rồi dùng nó làm mức bảo đảm. Thiếu bước gì?
Xem lời giải
Phải kiểm tra toàn khoảng thực tế, đặc biệt hai đầu vì đã chứng minh chúng quyết định giá trị nhỏ nhất. Ví dụ c=3,e=2 có V(c)=432, nhưng x=1 vẫn được phép và chỉ cho 256. Thể tích tại tâm khoảng không phải cận dưới cho mọi sai lệch.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện