Ba kĩ thuật nâng cao Toán 9: chóp tứ giác đều, bất đẳng thức Cô-si ba số và bài toán lợi nhuận nguyên
Ôn lại hình chóp tứ giác đều (lớp 8) qua bài toán chi phí lợp mái với hai cách tìm trung đoạn, tìm giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức Cô-si ba số với kĩ…
Ba kĩ thuật nâng cao Toán 9: chóp tứ giác đều, bất đẳng thức Cô-si ba số và bài toán lợi nhuận nguyên
Ôn lại hình chóp tứ giác đều (kiến thức lớp 8) qua bài toán chi phí lợp mái, tìm giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức Cô-si ba số, và chứng minh trọn vẹn phương án nhập hàng lãi cao nhất khi các ẩn là số nguyên.
Mục tiêu bài học
- Ôn lại kiến thức lớp 8 về hình chóp tứ giác đều: tìm trung đoạn theo hai cách (trực tiếp trong mặt bên, hoặc qua chiều cao của hình chóp), từ đó tính diện tích xung quanh và chi phí thi công thực tế.
- Thành thạo bất đẳng thức Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức AM-GM) cho ba số dương, đặc biệt kĩ thuật "cân bằng bậc" khi tách một biểu thức chứa phân thức thành nhiều hạng tử bằng nhau.
- Giải quyết bài toán tối ưu có nhiều ẩn số nguyên và nhiều ràng buộc đồng thời bằng cách xếp hạng hiệu suất để tìm phương án ứng viên, rồi xét đủ các trường hợp để chứng minh phương án đó tốt nhất.
- Rèn thói quen đối chiếu lại toàn bộ điều kiện của đề bài trước khi kết luận, kể cả những điều kiện tưởng như không quyết định kết quả cuối cùng.
1. Ôn lại hình chóp tứ giác đều (lớp 8) — diện tích xung quanh và bài toán chi phí lợp mái
Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và chân đường cao trùng với tâm O của đáy. Diện tích xung quanh được tính theo công thức S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot p \cdot d, trong đó p là chu vi đáy và d là trung đoạn (đường cao của một mặt bên xuất phát từ đỉnh chóp, hạ xuống trung điểm cạnh đáy). Điểm mấu chốt là trung đoạn không phải là cạnh bên — cạnh bên nối đỉnh chóp với một đỉnh của đáy, còn trung đoạn nối đỉnh chóp với trung điểm một cạnh đáy. Khi biết cạnh bên và cạnh đáy, có hai cách tìm trung đoạn: tính trực tiếp trong tam giác vuông nằm ở mặt bên, hoặc đi qua chiều cao của hình chóp bằng hai tam giác vuông liên tiếp (hình dưới).
Cách tìm trung đoạn qua chiều cao. Bước 1: tam giác SOA vuông tại O, dùng cạnh bên SA và nửa đường chéo OA để tìm chiều cao h. Bước 2: tam giác SOM vuông tại O, dùng chiều cao h và nửa cạnh đáy OM để tìm trung đoạn d.
Hai cách tìm trung đoạn — chọn cách nào?
Cách 1 (trực tiếp trong mặt bên): gọi M là trung điểm cạnh đáy AB. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S (SA=SB) nên đường trung tuyến SM đồng thời là đường cao: SM\perp AB. Tam giác SMA vuông tại M có MA=\dfrac{AB}{2}, nên d^{2}=SA^{2}-MA^{2}: chỉ cần một lần định lí Pythagore.
Cách 2 (qua chiều cao, như hình trên): tam giác SOA vuông tại O cho chiều cao h=SO, rồi tam giác SOM vuông tại O cho trung đoạn d=SM. Cách này dài hơn nhưng cần thiết khi đề hỏi thêm chiều cao hoặc thể tích của hình chóp.
Hai cách luôn cho cùng một kết quả, nên có thể dùng cách này để kiểm tra cách kia.
Ví dụ
Một nhà kho có mái dạng hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh 6 m, cạnh bên (từ đỉnh mái đến một góc đáy) dài 5 m. Người ta lợp kín toàn bộ mặt xung quanh của mái bằng ngói, với mật độ 8 viên ngói cho mỗi mét vuông, giá mỗi viên ngói là 15.000 đồng. Tính số viên ngói cần dùng và tổng chi phí mua ngói.
Bước 1 — Tính nửa đường chéo đáy: đáy là hình vuông cạnh 6 m nên đường chéo dài 6\sqrt{2} m, do đó nửa đường chéo OA=3\sqrt{2} m, suy ra OA^{2}=18.
Bước 2 — Tính chiều cao h từ tam giác vuông SOA: h^{2}=SA^{2}-OA^{2}=5^{2}-18=25-18=7, suy ra h=\sqrt{7} m.
Bước 3 — Tính trung đoạn d từ tam giác vuông SOM: nửa cạnh đáy OM=\dfrac{6}{2}=3 m, nên d^{2}=h^{2}+OM^{2}=7+9=16, suy ra d=4 m.
Kiểm tra bằng cách 1: MA=\dfrac{6}{2}=3 m nên d^{2}=SA^{2}-MA^{2}=25-9=16, d=4 m, trùng với kết quả trên.
Bước 4 — Tính diện tích xung quanh: chu vi đáy p=4\cdot 6=24 m, vậy S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 4=48 m^{2}.
Bước 5 — Tính số ngói và chi phí: số viên ngói =48\cdot 8=384 viên; chi phí =384\cdot 15{.}000=5{.}760{.}000 đồng.
Đáp số Trung đoạn 4 m · Diện tích xung quanh 48 m^{2} · 384 viên ngói · chi phí 5.760.000 đồng
Nhầm cạnh bên là trung đoạn
Sai lầm phổ biến nhất là lấy luôn SA=5 m làm trung đoạn rồi tính S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60 m^{2} — sai vì SA là cạnh bên (nối đỉnh với góc đáy), không phải đoạn nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy. Luôn vẽ hình và xác định rõ SA, SM là hai đoạn khác nhau trước khi tính.
Quên điều kiện "đều" khi tính nửa đường chéo
Công thức OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} (với a là cạnh đáy) chỉ áp dụng vì đáy là hình vuông và chân đường cao trùng tâm O của hình vuông — đây chính là điều kiện "chóp đều". Nếu đề không cho đáy là hình vuông (ví dụ hình chữ nhật) thì tâm và cách tính nửa đường chéo sẽ khác, phải đọc kĩ giả thiết trước khi áp dụng công thức.
2. Bất đẳng thức Cô-si với ba số dương
Với hai số dương, bất đẳng thức Cô-si quen thuộc là a+b\geq 2\sqrt{ab}, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b. Với ba số dương a,b,c, bất đẳng thức Cô-si tổng quát là a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Kĩ thuật khó nhất khi áp dụng dạng ba số hạng cho một biểu thức có phân thức là "cân bằng bậc" : phải tách biểu thức thành đúng ba hạng tử dương sao cho tích của ba hạng tử là một hằng số không còn chứa biến . Nếu tách sai (ví dụ chỉ tách thành hai hạng tử theo phản xạ) thì tích vẫn còn chứa biến, bất đẳng thức không cho ra một cận số cụ thể và trở nên vô dụng.
Ví dụ
Một xưởng sản xuất muốn làm một chiếc thùng carton không nắp, đáy là hình vuông cạnh x (dm), chiều cao y (dm), sao cho thể tích thùng đúng bằng 4 dm^{3}. Tìm x,y để tổng diện tích vật liệu cần dùng (đáy cộng bốn mặt bên) là nhỏ nhất.
Bước 1 — Lập biểu thức theo một biến: thể tích V=x^{2}y=4 nên y=\dfrac{4}{x^{2}} (x>0). Diện tích vật liệu S= đáy + 4 mặt bên =x^{2}+4xy=x^{2}+4x\cdot\dfrac{4}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{16}{x}.
Bước 2 — Thử tách hai hạng tử (cách làm sai, chỉ để đối chiếu): nếu tách S(x)=x^{2}+\dfrac{16}{x} thành hai hạng tử x^{2} và \dfrac{16}{x} rồi áp Cô-si hai số, ta được S(x)\geq 2\sqrt{x^{2}\cdot\dfrac{16}{x}}=2\sqrt{16x}=8\sqrt{x} — vế phải vẫn còn chứa biến x , không phải một hằng số, nên cách tách này không giúp tìm được giá trị nhỏ nhất.
Bước 3 — Tách lại thành ba hạng tử cân bằng bậc: tách \dfrac{16}{x} thành hai phần bằng nhau \dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{x}, khi đó S(x)=x^{2}+\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{x} là tổng của ba hạng tử dương.
Bước 4 — Kiểm tra tích ba hạng tử: x^{2}\cdot\dfrac{8}{x}\cdot\dfrac{8}{x}=64 — đây là một hằng số , không còn phụ thuộc x, nên phép tách này đúng chuẩn để áp Cô-si ba số.
Bước 5 — Áp dụng Cô-si ba số hạng: S(x)=x^{2}+\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{x}\geq 3\sqrt[3]{64}=3\cdot 4=12. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x^{2}=\dfrac{8}{x}, tức x^{3}=8, suy ra x=2 (nhận vì x>0).
Bước 6 — Tính y và kết luận: y=\dfrac{4}{x^{2}}=\dfrac{4}{4}=1 dm. Vậy x=2 dm, y=1 dm, diện tích vật liệu nhỏ nhất là 12 dm^{2}.
Đồ thị hàm S(x) = x 2 + 16/x với x > 0, điểm thấp nhất tại x = 2 khớp đúng với kết quả tách ba hạng tử bằng Cô-si.
Đáp số x = 2 dm, y = 1 dm, diện tích vật liệu nhỏ nhất 12 dm^{2}
Tách hạng tử theo phản xạ mà không kiểm tra tích có triệt tiêu biến hay không
Rất nhiều học sinh áp Cô-si hai số ngay khi thấy biểu thức có dạng "tổng của một đa thức và một phân thức" mà không kiểm tra xem tích của các hạng tử đã tách có còn chứa biến hay không (như bước 2 ở trên). Quy tắc bắt buộc: sau khi tách, luôn nhân thử các hạng tử lại — nếu kết quả còn biến x, phải tách lại theo cách khác (thường là tăng số hạng tử hoặc chia đều hệ số) cho đến khi tích là hằng số.
Quên kiểm tra dấu "=" có đạt được trong miền cho phép của bài toán
Sau khi có S(x)\geq 12, phải chỉ rõ giá trị x=2 làm dấu "=" xảy ra và kiểm tra x=2>0 thỏa điều kiện xác định. Nếu giá trị làm dấu "=" xảy ra nằm ngoài miền cho phép (ví dụ ra số âm hoặc bằng 0), thì 12 chỉ là một cận dưới lí thuyết, chưa chắc là giá trị nhỏ nhất thực sự đạt được, và phải xét lại bằng cách khác.
3. Bài toán chọn phương án lãi cao nhất với các ẩn số nguyên
Khi bài toán có từ ba ẩn số nguyên trở lên cùng nhiều ràng buộc (ngân sách, số lượng tối thiểu, tổng hai loại tối thiểu...), ở cấp THCS thường không có công thức đóng cho giá trị lớn nhất. Cách làm chặt chẽ gồm ba bước: ① xếp hạng các lựa chọn theo hiệu suất lãi trên mỗi đồng vốn để dự đoán nên ưu tiên loại nào; ② dựng một phương án ứng viên dùng gần hết ngân sách; ③ xét đủ các trường hợp theo ẩn có ít giá trị nhất để chứng minh không phương án nào tốt hơn ứng viên. Bước ① và ② chỉ giúp đoán nhanh; kết luận phải dựa vào bước ③.
Ví dụ
Một cửa hàng trái cây nhập ba loại trái cây để bán: xoài giá nhập 150 nghìn đồng/thùng (lãi 220 nghìn đồng/thùng), bưởi giá nhập 250 nghìn đồng/thùng (lãi 300 nghìn đồng/thùng), chanh giá nhập 100 nghìn đồng/thùng (lãi 130 nghìn đồng/thùng). Gọi x,y,z lần lượt là số thùng xoài, bưởi, chanh nhập về. Cửa hàng có tối đa 1.200 nghìn đồng để nhập hàng, phải nhập ít nhất mỗi loại 1 thùng (x,y,z là các số nguyên dương), và do đặc điểm vận chuyển, tổng số thùng xoài và bưởi phải từ 4 thùng trở lên (x+y\geq 4). Tìm x,y,z để tổng lãi lớn nhất.
Bước 1 — Xếp hạng hiệu suất lãi trên mỗi đồng vốn: xoài =\dfrac{220}{150}\approx 1{,}47; chanh =\dfrac{130}{100}=1{,}3; bưởi =\dfrac{300}{250}=1{,}2. Xoài có hiệu suất cao nhất, bưởi thấp nhất, nên dự đoán: nhập nhiều xoài, giữ bưởi ở mức tối thiểu y=1.
Bước 2 — Dựng phương án ứng viên: lấy y=1 và tạm lấy z=1; ngân sách còn 1{.}200-250-100=850 nghìn đồng. Vì 850=5\cdot 150+100 nên mua được tối đa 5 thùng xoài, còn dư 100 nghìn đồng, vừa đủ mua thêm 1 thùng chanh (loại có hiệu suất đứng thứ hai), được z=2. Phương án ứng viên (5;1;2): chi phí 5\cdot150+1\cdot250+2\cdot100=1{.}200 (dùng hết ngân sách), x+y=6\geq 4; lãi 5\cdot220+1\cdot300+2\cdot130=1{.}660 nghìn đồng.
Bước 3 — Chứng minh bằng cách xét đủ các trường hợp: chia hai vế điều kiện ngân sách 150x+250y+100z\leq 1{.}200 cho 50, ta được 3x+5y+2z\leq 24. Tổng lãi (nghìn đồng) là L=220x+300y+130z. Khi x,y cố định, L càng lớn khi z càng lớn, nên với mỗi cặp (x;y) chỉ cần xét z lớn nhất có thể. Vì x\geq 1, z\geq 1 nên 5y\leq 24-3-2=19, suy ra y\leq 3. Xét ba trường hợp trong bảng dưới.
Trường hợp · Điều kiện còn lại · Các khả năng của x (kèm z lớn nhất) · Lãi lớn nhất (nghìn đồng)
y=1 · 3x+2z\leq 19, x\geq 3 (do x+y\geq 4), z\geq 1 · x=3,\ z=5: L=1{.}610; x=4,\ z=3: L=1{.}570; x=5,\ z=2: L=1{.}660; x\geq 6 thì 2z\leq 1, không có z nguyên dương · 1.660 tại (5;1;2)
y=2 · 3x+2z\leq 14, x\geq 2, z\geq 1 · x=2,\ z=4: L=1{.}560; x=3,\ z=2: L=1{.}520; x=4,\ z=1: L=1{.}610; x\geq 5 thì 2z\leq -1, loại · 1.610 tại (4;2;1)
y=3 · 3x+2z\leq 9, x\geq 1, z\geq 1 · x=1,\ z=3: L=1{.}510; x=2,\ z=1: L=1{.}470; x\geq 3 thì 2z\leq 0, loại · 1.510 tại (1;3;3)
Bước 4 — So sánh ba trường hợp: 1{.}660>1{.}610>1{.}510. Vậy tổng lãi lớn nhất là 1.660 nghìn đồng, đạt được duy nhất tại (x;y;z)=(5;1;2), đúng là phương án ứng viên ở Bước 2.
Bước 5 — Nhận xét về "biên ngân sách": phương án tối ưu dùng hết 1.200 nghìn đồng, nhưng không phải phương án nào dùng hết ngân sách cũng lãi hơn phương án còn dư: (1;3;3) dùng đúng 1.200 nghìn đồng mà chỉ lãi 1.510 nghìn đồng, thấp hơn (5;1;1) còn dư 100 nghìn đồng (lãi 1.530 nghìn đồng). "Sát biên ngân sách" chỉ là gợi ý để tìm ứng viên, không thay được bước xét đủ trường hợp.
Bước 6 — Kiểm tra lại điều kiện x+y\geq 4: tại (5;1;2), x+y=6\geq 4, điều kiện được thỏa. Ở bài này, điều kiện đó không làm thay đổi đáp án (nếu bỏ điều kiện, phương án tốt nhất vẫn là (5;1;2)), nhưng nó đã được dùng khi lập bảng (loại x\leq 2 khi y=1) và vẫn phải được ghi rõ trong bài làm vì đề bài yêu cầu.
Bước 7 — Kết luận: cửa hàng nên nhập 5 thùng xoài, 1 thùng bưởi và 2 thùng chanh; khi đó dùng hết 1.200 nghìn đồng và tổng lãi lớn nhất là 1.660 nghìn đồng.
Phương án (x;y;z) · Chi phí (nghìn đồng) · Tổng lãi (nghìn đồng) · Ghi chú
(5;1;2) · 1.200 · 1.660 · Tối ưu — tốt nhất trong mọi trường hợp
(4;2;1) · 1.200 · 1.610 · Tốt nhất khi y = 2: thêm bưởi (hiệu suất thấp) thay vì xoài
(3;1;5) · 1.200 · 1.610 · Dùng hết ngân sách nhưng nghiêng về chanh, ít xoài hơn
(4;1;3) · 1.150 · 1.570 · Còn dư 50 nghìn đồng
(5;1;1) · 1.100 · 1.530 · Còn dư 100 nghìn đồng
(1;3;3) · 1.200 · 1.510 · Tốt nhất khi y = 3; dùng hết ngân sách nhưng lãi thấp hơn cả (5;1;1)
Phương án (5;1;2) cho lãi cao nhất. Phương án (1;3;3) tiêu hết ngân sách nhưng lãi còn thấp hơn (5;1;1): chỉ tiêu hết ngân sách chưa đủ, phải xét đủ các trường hợp mới kết luận được.
Đáp số (x;y;z) = (5;1;2) — tổng lãi lớn nhất 1.660.000 đồng