Hình thang: tỉ số xác định giao điểm và đường nối trung điểm
Chứng minh quan hệ giữa hai đường chéo và trung điểm hai đáy, tìm điều kiện chia đoạn theo hai chiều và tách trường hợp hai cạnh bên song song.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hình thang: tỉ số xác định giao điểm và đường nối trung điểm
Chứng minh quan hệ giữa hai đường chéo và trung điểm hai đáy, tìm điều kiện chia đoạn theo hai chiều và tách trường hợp hai cạnh bên song song.
1. Tỉ số có thể xác định một điểm duy nhất
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, có lúc ta không cần tính góc. Ta dựng một giao điểm chắc chắn nằm trên đường cần xét, rồi chứng minh nó trùng với điểm đã cho nhờ cùng một tỉ số chia đoạn.
Giả sử U,V phân biệt và X nằm trong đoạn UV. Nếu UX/XV=r>0, thì UX=rXV và UX+XV=UV, nên
UX=\frac r{1+r}UV,\qquad XV=\frac1{1+r}UV.
Vì thế chỉ có đúng một điểm trong đoạn chia theo tỉ số ấy. Điều kiện “trong đoạn” không thể bỏ: trên đường thẳng, một điểm ngoài đoạn có thể có cùng tỉ số hai khoảng cách. Với U=0,V=3 trên trục số, các điểm X=2 và Y=6 đều cho khoảng cách tới U bằng hai lần khoảng cách tới V, nhưng chỉ X nằm trong đoạn.
Ta sẽ dùng ý tưởng này trong hình thang: giao hai đường chéo, trung điểm hai đáy và giao hai cạnh bên kéo dài có quan hệ gì? Sau đó thay trung điểm bằng các điểm chia khác để tìm điều kiện chính xác, thay vì đoán bằng hình.
2. Đường chéo hình thang chia nhau theo độ dài hai đáy
Cho hình thang lồi PQRS, các đỉnh theo thứ tự quanh hình, với PQ\parallel SR. Đặt PQ=b>0,SR=a>0; khoảng cách hai đường đáy là h>0. Hai đường chéo PR,QS cắt nhau tại K, nằm trong cả hai đoạn.
Hai tam giác KPQ và KRS đồng dạng: góc tại K đối đỉnh; góc KPQ bằng góc KRS do hai đáy song song. Thứ tự tương ứng là K\leftrightarrow K,P\leftrightarrow R,Q\leftrightarrow S, nên
\frac{KP}{KR}=\frac{KQ}{KS}=\frac ba.
Chú ý phía của tỉ số: đoạn gần đáy dài hơn cũng dài hơn trên mỗi đường chéo. Nếu b>a, K gần đáy SR hơn theo các đường chéo; không thể tự kết luận K là trung điểm của chúng.
Vì P,K,R theo thứ tự, tỉ phần từ P tới K là
\frac{PK}{PR}=\frac b{a+b}.
Hai số a,b dương bảo đảm tỉ phần này nằm giữa không và một. Nếu một đáy co về độ dài không hoặc hai đường đáy trùng nhau, hình không còn là hình thang lồi đang xét.
3. Vì sao đường nối hai trung điểm đi qua K?
Gọi E,F lần lượt là trung điểm PQ,SR. Chọn một hệ tọa độ đơn giản để kiểm tra cả hình lệch:
P=(0,0),\quad Q=(b,0),\quad S=(u,h),\quad R=(u+a,h).
Số u có thể âm, dương hoặc bằng không. Ta không giả sử hình thang cân hay có cạnh vuông góc với đáy. Khi một điểm đi một tỉ phần t dọc đoạn, mỗi độ dời theo hai trục cũng bằng tỉ phần t của độ dời cả đoạn; đây là hệ quả của các tam giác đồng dạng, áp dụng cả đoạn nằm ngang hoặc thẳng đứng.
Từ tỉ phần đã chứng minh trên PR, ta được
K=\left(\frac{b(u+a)}{a+b},\frac{bh}{a+b}\right).
Mặt khác, E=(b/2,0), F=(u+a/2,h). Điểm trên EF tại tỉ phần t=b/(a+b) tính từ E có tung độ bh/(a+b) và hoành độ
\frac b2+\frac b{a+b}\left(u+\frac a2-\frac b2\right)=\frac{b(u+a)}{a+b}.
Cả hai tọa độ đều bằng tọa độ K. Vậy
\boxed{E,K,F\text{ thẳng hàng}},\qquad \boxed{\frac{KE}{KF}=\frac ba}.
Hơn nữa, K nằm trong đoạn EF vì 0<t<1. Nếu a=b, nó là trung điểm EF. Nếu a\ne b, nó không phải trung điểm. Công thức không cần hình thang cân; điểm u chỉ làm cả cấu hình lệch sang bên.
Hình minh họa dùng a=3,b=6,h=3,u=1. Hình không cân; đường nối trung điểm vẫn chứa cả hai giao điểm. Tọa độ các điểm được tính từ các công thức trong bài.
4. Giao hai cạnh bên kéo dài ở phía nào?
Giả sử a\ne b, gọi T là giao hai đường thẳng PS,QR. Điểm trên PS có dạng (tu,th), còn điểm ở cùng độ cao trên QR có dạng (b+t(u+a-b),th). Hoành độ bằng nhau khi
tu=b+t(u+a-b)\iff t(b-a)=b.
Do a\ne b, có duy nhất t=b/(b-a), nên T tồn tại. Với cùng tỉ phần đó, điểm trên đường thẳng EF có hoành độ
\frac b2+\frac b{b-a}\left(u+\frac{a-b}{2}\right)=\frac{bu}{b-a},
và tung độ bh/(b-a), đúng là tọa độ T. Do đó T,E,K,F thẳng hàng.
Nếu b>a, thì t>1: T ở phía ngoài đáy nhỏ SR. Nếu b<a, thì t<0: T ở phía ngoài đáy nhỏ PQ. Không có trường hợp T nằm giữa hai đáy.
Nếu a=b, phương trình giao điểm trở thành 0=b, vô nghiệm vì b>0. Hai cạnh bên song song, hình là hình bình hành. Quan hệ E,K,F vẫn đúng, nhưng không có giao điểm hữu hạn T. Đây là trường hợp cần tách trước khi chia cho b-a.
5. Thay trung điểm: hai tỉ phần nào phải bổ sung nhau?
Lấy E_\lambda trên PQ, F_\mu trên SR, với
\frac{PE_\lambda}{PQ}=\lambda,\qquad \frac{SF_\mu}{SR}=\mu,\qquad0\le\lambda,\mu\le1.
Hai tỉ phần đều đo từ đầu trái theo thứ tự P tới Q, S tới R. Khi ấy E_\lambda=(\lambda b,0), F_\mu=(u+\mu a,h). Do h>0, đoạn nối chúng gặp đường ngang qua K tại đúng tỉ phần t=b/(a+b). Hoành độ của điểm gặp là
(1-t)\lambda b+t(u+\mu a)=\frac{bu+ab(\lambda+\mu)}{a+b}.
So với hoành độ K=b(u+a)/(a+b), hai điểm trùng nhau khi và chỉ khi ab(\lambda+\mu)=ab. Vì a,b>0, suy ra
\boxed{K\in E_\lambda F_\mu\iff\lambda+\mu=1}.
Đây là kết luận theo cả hai chiều: không những một đường qua K phải cho hai tỉ phần bổ sung nhau, mà bất kì cặp tỉ phần như vậy cũng tạo một đoạn đi qua K.
Nếu chọn cùng tỉ phần \lambda=\mu, bắt buộc \lambda=\mu=1/2. Vì vậy hai trung điểm là cặp duy nhất trong các cặp chia cùng tỉ phần. Nhưng nếu cho hai tỉ phần khác nhau, còn vô số lựa chọn, chẳng hạn 1/4 và 3/4.
Hai đầu mút vẫn được nhận: (\lambda,\mu)=(0,1) cho đoạn PR; (1,0) cho QS, chính là hai đường chéo. Ngược lại, lấy \lambda=\mu=1/3 thì tổng bằng 2/3, nên đường nối không qua K, dù cả hai điểm đều chia đáy “theo cùng một cách”.
6. Một cấu hình nguồn: nhận ra hình thang bên trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC. Đường cao AH có H\in BC. Từ H kẻ HD\perp AC, với D\in AC. Gọi E là trung điểm AB; đường CE cắt HD tại I, cắt AH tại K. Ta muốn hiểu vì sao B,K,D thẳng hàng.
Vì AB\perp AC và HD\perp AC, hai đoạn AB,HD song song. Chân đường cao của tam giác vuông nằm trong cạnh huyền; hình chiếu của H xuống AC nằm trong AC, nên ABHD là hình thang lồi có hai đáy AB,HD. Hai cạnh bên AD,BH kéo dài gặp nhau tại C.
Chứng minh I là trung điểm đáy nhỏ trước. Đường HD song song AB cắt tam giác CAB thành tam giác CDH đồng dạng với nó. Tia CE từ đỉnh đi qua điểm trong cạnh AB nên cắt đoạn DH tại một điểm trong đoạn. Theo Thales trong hai tam giác CBE,CAE:
\frac{HI}{BE}=\frac{CI}{CE}=\frac{DI}{AE}.
Vì BE=AE, ta được HI=DI. Vậy E,I là trung điểm hai đáy hình thang.
Gọi K_0=AH\cap BD. Định lí vừa chứng minh cho E,K_0,I thẳng hàng. Mà E,I,C đã thẳng hàng, nên K_0\in CE. Đường AH và CE khác nhau: chúng gặp AB tại hai điểm phân biệt A,E, trong khi H\notin AB. Do đó giao của chúng là duy nhất. Vì K=AH\cap CE, suy ra K=K_0, và B,K,D thẳng hàng.
Hai đáy AB,HD được vẽ thẳng đứng; đổi hướng hình không đổi định lí. Các giao điểm và chân vuông góc được dựng từ tọa độ chính xác, không đo bằng mắt.
Ta còn đọc được KA/KH=AB/HD và KE/KI=AB/HD. Các đoạn đều dương, nên KE\cdot KH=KI\cdot KA. Đây là hệ quả của cùng cấu trúc chia đoạn; không cần coi mỗi đẳng thức là một bài tách rời.
7. Kiểm bằng một hình số và một thay đổi thật sự
Để dựng hình minh họa chính xác, chọn thêm AB=6,AC=9, lấy A=(0,0),B=(0,6),C=(9,0). Đường BC có phương trình y=6-2x/3; đường qua A vuông góc với nó có phương trình y=3x/2. Giải giao điểm cho
H=\left(\frac{36}{13},\frac{54}{13}\right),\quad D=\left(\frac{36}{13},0\right),\quad I=\left(\frac{36}{13},\frac{27}{13}\right).
Đường CE có phương trình y=3-x/3. Giao với AH cho
K=\left(\frac{18}{11},\frac{27}{11}\right).
Đường BD có phương trình y=6-13x/6; thay tọa độ K cho đúng 27/11. Hai tỉ số chia đoạn đều bằng 13/9, khớp AB/HD=6/(54/13). Các số này phục vụ kiểm tra và vẽ, không phải dữ kiện cần có cho chứng minh tổng quát.
Nếu thay E bằng điểm E' trên AB với AE'/AB=1/3, tia CE' vẫn đưa cùng tỉ phần sang đáy DH: DI'/DH=1/3. Trong hình thang, đây là hai tỉ phần cùng chiều 1/3,1/3, không bổ sung thành một. Vì thế CE' không đi qua giao hai đường chéo. Đường qua điểm chia một phần ba ở đáy này muốn đi qua giao đường chéo phải gặp điểm chia hai phần ba ở đáy kia.
8. Tự kiểm tra điều kiện và chiều đảo
Hai đáy dài sáu và ba: K có phải trung điểm đoạn nối trung điểm hai đáy không?
Không. Nếu E thuộc đáy dài sáu, F thuộc đáy dài ba, thì KE/KF=6/3=2. Do K trong EF, KE=2EF/3, KF=EF/3. Chỉ khi hai đáy bằng nhau thì K là trung điểm.
Một điểm chia đáy thứ nhất tại hai phần năm. Điểm ở đáy kia cần chia thế nào?
Đo từ các đầu tương ứng P,S, cần \mu=1-2/5=3/5. Chiều đảo bảo đảm đoạn nối đi qua K, không cần hình thang cân.
Nếu hai đáy bằng nhau, kết luận nào cần bỏ?
Giữ E,K,F thẳng hàng, K là trung điểm EF, và tiêu chuẩn \lambda+\mu=1. Bỏ kết luận về giao điểm hữu hạn của hai cạnh bên kéo dài, vì chúng song song. Không được dùng biểu thức có mẫu b-a=0.
Khi nhận ra hình thang, hãy đánh dấu đúng hai đáy và thứ tự điểm. Tỉ số đường chéo cho một vị trí duy nhất; hai tỉ phần bổ sung cho tiêu chuẩn thẳng hàng theo cả hai chiều. Những quan hệ này vẫn đúng khi hình bị nghiêng hoặc lệch, còn các trường hợp đáy bằng nhau phải được đọc riêng.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện