[TOÁN 8 · CHUYÊN ĐỀ] Nhìn thấy đại số: hằng đẳng thức, phân tích nhân tử và hình bình hành bằng hình vẽ
Học hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử và hình bình hành bằng hình vẽ đúng tỉ lệ: hai phòng thí nghiệm kéo thanh trượt, khối lập phương 1-3-3-1…
TOÁN 8 · HỌC KÌ I · CHUYÊN ĐỀ ĐẶC BIỆT
Nhìn thấy đại số: hằng đẳng thức, phân tích nhân tử và hình bình hành bằng hình vẽ
Mỗi công thức trong chương này là một hình. Học cách vẽ hình, em không cần học thuộc lòng nữa: kéo thanh trượt để thấy công thức đúng với mọi số, ghép mảnh để tìm nhân tử, và dùng một mạch suy luận hình học để giải các bài chứng minh.
1 Nhân đa thức chính là tính diện tích
Em đã tính 13 × 12 bằng cách tách 13 = 10 + 3 và 12 = 10 + 2. Cách đó thực ra là chia một hình chữ nhật thành bốn ô rồi cộng diện tích. Đại số làm y hệt, chỉ khác là 10 được thay bằng x, một độ dài chưa biết.
Cùng một hình chữ nhật, cùng bốn ô. Bên trái các cạnh là số, bên phải là x. Đặt tên số hay đặt tên chữ đều không làm hình thay đổi.
Điều cần nhớ Mỗi tích (A + B)(C + D) là một hình chữ nhật có bốn ô: AC, AD, BC, BD. Khi bị nhầm hạng tử, hãy vẽ bốn ô rồi đếm.
Sau này, mọi hằng đẳng thức đều là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật này, khi hai cạnh bằng nhau (hình vuông) hoặc khi hai cạnh có dạng a + b và a − b.
2 Ba hằng đẳng thức bậc hai: kéo để thấy
Chọn một hằng đẳng thức, kéo thanh trượt a và b. Hình luôn vẽ đúng tỉ lệ và phép cộng các phần luôn khớp với diện tích cả hình. Đó chính là lý do hằng đẳng thức đúng với mọi giá trị.
a 5 b 3
Cách nhớ từng hằng đẳng thức
(a + b)² = a² + 2ab + b². Hình vuông lớn gồm hình vuông a², hình vuông b² và hai hình chữ nhật ab. Có đúng hai hình chữ nhật, nên có hệ số 2.
(a − b)² = a² − 2ab + b². Từ hình vuông cạnh a, cắt hai dải ab. Góc b² bị cắt hai lần nên phải cộng lại một lần.
a² − b² = (a − b)(a + b). Lấy hình vuông a² bỏ góc b² được hình chữ L; cắt phần thấp rồi xoay ghép lại thành hình chữ nhật (a + b) × (a − b).
Bẫy hay gặp: quên hai hình chữ nhật ở giữa
Với a = 3, b = 2: hình vuông cạnh 5 có diện tích 25, còn a² + b² chỉ là 13. Phần thiếu 12 chính là hai hình chữ nhật ab. Đây là lý do (a + b)² khác a² + b².
3 Lập phương của một tổng: 1 – 3 – 3 – 1
Khối lập phương cạnh a + b được chia thành 8 phần theo việc mỗi chiều mang độ dài a hay b. Đếm các phần cùng loại sẽ ra dãy hệ số 1, 3, 3, 1.
Với a = 2, b = 1: 8 + 3·4 + 3·2 + 1 = 27 = 3³. Màu cho biết có bao nhiêu chiều mang độ dài b. Ba chiều đều là a có 1 khối, đúng một chiều là b có 3 tấm, hai chiều là b có 3 thanh, cả ba chiều là b có 1 khối.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Với hiệu, các dấu đan xen nhau: cộng, trừ, cộng, trừ. Hai hằng đẳng thức còn lại của chương trình đều rút ra từ đây: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) và a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
Kiểm tra nhanh Với a = 2, b = 1: (a + b)³ = 27 còn a³ + b³ = 9. Khác nhau, như với bình phương.
4 Phân tích thành nhân tử: ghép các mảnh thành hình chữ nhật
Phân tích thành nhân tử là bài toán ngược: cho tổng các mảnh, hãy ghép chúng thành một hình chữ nhật rồi đọc hai cạnh. Với x² + bx + c, các mảnh gồm một hình vuông x², một số dải x và một số ô đơn vị.
p 2 q 3
Quy tắc rút ra từ hình Muốn ghép được hình chữ nhật, các ô đơn vị phải xếp thành lưới p × q ở góc. Vì vậy số hạng tự do c = p × q và số dải x là p + q. Hai số cần tìm có tổng bằng hệ số của x và tích bằng số hạng tự do .
Ví dụ x² + 7x + 12: tìm hai số có tổng 7, tích 12. Đó là 3 và 4, nên x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
Đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử
Bên trái, ba hàng đều có cạnh chung x + 2 nên gộp lại thành hình chữ nhật 3x × (x + 2). Bên phải, hai hàng 2(x + y) và z(x + y) cùng chứa nhân tử x + y, nên ghép thành (x + y)(2 + z).
5 Biến đổi về dạng bình phương và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Hình vuông cạnh x + 3 có đủ x², hai dải 3x và ô 3² = 9. Nếu chỉ có x² + 6x thì còn khuyết một góc 3² = 9. Thêm 9 vào (thêm bớt để tạo hằng đẳng thức) là biến đổi được về dạng bình phương: x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Thêm rồi bớt cùng một số để tạo bình phương đầy đủ. Vì bình phương luôn không âm nên phần còn lại cho biết giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất).
Mẹo cực trị Đưa biểu thức về dạng (biểu thức)² + số. Vì (biểu thức)² ≥ 0 nên giá trị nhỏ nhất bằng số đó, đạt khi biểu thức trong ngoặc bằng 0. Nếu có dấu trừ phía trước, ta có giá trị lớn nhất.
6 Bài toán thực tế: mảnh vườn có lối đi
Đề. Mảnh vườn hình vuông cạnh x (m). Người ta làm lối đi rộng 4 m dọc theo một cạnh và rộng 6 m dọc theo cạnh kề, phần đất trồng còn lại là hình chữ nhật. Biết lối đi có diện tích 176 m². Tính x.
Đất trồng có hai cạnh là x − 4 và x − 6. Lối đi bằng cả mảnh vườn trừ đất trồng. Dấu x² triệt tiêu nên phương trình trở về bậc nhất.
Lỗi hay gặp Viết (x − 4)(x − 6) = x² − 24 vì quên hai hạng tử giữa. Hãy vẽ bốn ô: x², −6x, −4x và +24.
7 Hình bình hành: diện tích và dấu hiệu nhận biết
Diện tích: cắt một tam giác, ghép thành hình chữ nhật
Cắt tam giác ở đầu bên trái rồi đưa sang bên phải, hình bình hành thành hình chữ nhật cùng đáy, cùng chiều cao, cùng diện tích.
Năm dấu hiệu nhận biết
Mỗi dấu hiệu đủ để kết luận tứ giác ABCD là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối song song.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
- Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Chú ý Ở dấu hiệu 3, phải có cả hai điều kiện trên cùng một cặp cạnh. Nếu chỉ biết một cặp cạnh song song thì tứ giác mới chỉ chắc chắn là hình thang.
8 Chuỗi chứng minh: trung điểm, hình bình hành, hình chữ nhật, trung tuyến
Đây là mạch suy luận xuất hiện lặp đi lặp lại trong bài kiểm tra hình học lớp 8. Bắt đầu từ một trung điểm, chỉ cần vẽ thêm một điểm đối xứng là có hình bình hành ngay.
Bên trái: dấu hiệu 5 cho hình bình hành ABDC. Bên phải: thêm góc vuông tại A thì hình bình hành thành hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau, từ đó suy ra AM = BC : 2.
Ba bước viết bài (1) Gọi D là điểm đối xứng với A qua M. (2) M là trung điểm của cả AD và BC nên ABDC là hình bình hành. (3) Có góc A = 90° nên ABDC là hình chữ nhật, suy ra AD = BC và AM = AD : 2 = BC : 2.
Với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 và 12, cạnh huyền là 13 vì 5² + 12² = 13². Vậy trung tuyến ứng với cạnh huyền dài 6,5.
9 Tám lỗi phổ biến và phản ví dụ bằng số
Một phát biểu sai chỉ cần một ví dụ bằng số là bị loại. Trước khi tin một công thức lạ, hãy thử với số nhỏ.
Phát biểu sai · Phản ví dụ · Đúng phải là
(a + b)² = a² + b² · a = 3, b = 2: 25 khác 13 · Thiếu hai hình chữ nhật ab: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − b² · a = 5, b = 2: 9 khác 21 · (a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = b² − a² · a = 5, b = 2: 21 khác −21 · (a − b)² = (b − a)² nhưng a² − b² = −(b² − a²)
(a + b)³ = a³ + b³ · a = 2, b = 1: 27 khác 9 · Còn hai nhóm 3a²b và 3ab²
(2x − 3)² = 2x² − 12x + 9 · x = 1: 1 khác −1 · Bình phương cả hệ số: (2x)² = 4x²
Hình có một cặp cạnh đối song song là hình bình hành · Hình thang có đáy 8 và 5 · Cần cả hai cặp cạnh song song, hoặc một cặp vừa song song vừa bằng nhau
Trung tuyến luôn bằng nửa cạnh đối diện · Tam giác đều cạnh 2: trung tuyến √3 khác 1 · Chỉ đúng với trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
Diện tích hình bình hành = đáy × cạnh bên · Đáy 8, cạnh bên √34 ≈ 5,83: 46,6 khác 40 · Phải nhân với chiều cao, vuông góc với đáy
10 Luyện tập tự chấm: 20 câu
14 câu trắc nghiệm và 6 câu điền đáp số. Sau mỗi câu có lời giải ngay. Câu điền số nhập số nguyên hoặc số thập phân đều được.
Đã làm: 0/20 Đúng: 0
11 Bảng nhớ nhanh
Vế trái · Vế phải
(a + b)² · a² + 2ab + b²
(a − b)² · a² − 2ab + b²
a² − b² · (a − b)(a + b)
(a + b)³ · a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ · a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³ · (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ · (a − b)(a² + ab + b²)
Phân tích x² + bx + c: tìm hai số có tổng b và tích c. Cực trị: đưa về (…)² + số. Hình bình hành: hai cặp cạnh đối song song, hoặc hai cặp cạnh đối bằng nhau, hoặc một cặp vừa song song vừa bằng nhau, hoặc hai cặp góc đối bằng nhau, hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm. Diện tích: đáy × chiều cao vuông góc.