Dịch bài toán thành phép tính: thống kê, xác suất, hàm số và mô hình hóa (Phần 2)
Bảng tần số ghép nhóm, xác suất bằng bảng, hàm số giá vé và lập phương trình từ câu chuyện gói quà, kèm bài luyện có chấm.
Toán 9 · Ôn tập · Thống kê, xác suất, mô hình hóa
Dịch bài toán thành phép tính: thống kê, xác suất, hàm số và mô hình hóa (Phần 2)
Bảng số liệu, hai hộp thẻ, bảng giá vé, một nhóm gói quà: Câu 3, 4, 5 đều là câu chuyện cần dịch sang ngôn ngữ toán, giải, rồi dịch ngược để kiểm tra.
Khoảng 100 phút Mức: cơ bản đến khá Dịch - giải - dịch ngược
Em sẽ học: bảng tần số ghép nhóm, xác suất bằng bảng, tính tiền theo nhóm, hàm số từ đời sống, giải bài toán bằng cách lập phương trình.
1 Cách dùng bài này
Ba câu, thói quen ba nhịp và một bài kiểm tra đầu vào ngắn.
Ở bộ bài này, Câu 3, 4, 5 là phần chuyển từ biến đổi đại số sang dữ liệu, xác suất và bài toán thực tế; sau đó mới đến hai câu hình. Câu 3 được 1,5 điểm, Câu 4 và Câu 5 mỗi câu 1 điểm. Ba câu dưới đây do LUKATO trình bày bằng lời văn riêng.
Câu 3, 4, 5 (bản viết lại của LUKATO)
Câu 3. a) Quãng đường đi bộ (kilômét) của 50 người tập thể dục vào một buổi sáng được cho bằng bảng tần số ghép nhóm: nhóm [2;3) có 9 người, nhóm [3;4) có 15 người, nhóm [4;5) có 16 người, nhóm [5;6) có 7 người, nhóm [6;7) có 3 người. Có bao nhiêu người đi bộ từ 2 km đến dưới 4 km? b) Hộp A có bốn tấm thẻ đánh số 1, 2, 3, 4; hộp B có bốn tấm thẻ đánh số 3, 4, 5, 6 (các thẻ giống hệt nhau về kích thước và khối lượng). An lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp A, rồi một thẻ từ hộp B. Tính xác suất của biến cố "số trên thẻ lấy từ hộp B chia hết cho số trên thẻ lấy từ hộp A".
Câu 4. Giá vé tham quan một địa điểm du lịch: từ 18 tuổi trở lên 200 nghìn đồng mỗi người; từ 6 tuổi đến dưới 18 tuổi 40 nghìn đồng mỗi người; dưới 6 tuổi miễn phí. a) Một đoàn gồm 11 người trên 18 tuổi, 7 người từ 6 đến 10 tuổi và 2 người dưới 6 tuổi phải trả bao nhiêu tiền vé? b) Người cư trú tại địa phương được giảm 50% giá vé. Một gia đình có 10 người trên 18 tuổi, trong đó x người cư trú tại địa phương (x\in\mathbb{N}, x\le 10); gọi y (nghìn đồng) là tổng tiền vé gia đình phải trả. Viết công thức tính y theo x.
Câu 5. Nhân ngày Quốc tế thiếu nhi 1/6, một nhóm tình nguyện viên dự định gói 900 phần quà cho trẻ em có hoàn cảnh khó khăn, mỗi ngày gói một số phần quà như nhau. Thực tế, mỗi ngày nhóm gói thêm 15 phần so với dự định nên xong sớm hơn kế hoạch 3 ngày. Hỏi dự định mỗi ngày gói bao nhiêu phần quà?
Cách dùng bài này
Đây là Phần 2 ; Phần 1 (Câu 1–2) nói về biểu thức, phương trình và Vi-ét. Em không cần học Phần 1 trước: kiến thức cần dùng được nhắc lại ngay tại chỗ.
Nhịp · Em làm gì · Ví dụ ở Câu 5
Dịch · đọc kĩ, gọi ẩn, ghi điều kiện, đổi từng cụm từ thành ký hiệu · "mỗi ngày gói x phần" thì thời gian dự định là \dfrac{900}{x} ngày
Giải · dùng kĩ thuật đã học: bảng, đếm, công thức, phương trình · giải phương trình, tìm x=60 hoặc x=-75
Dịch ngược · trả lại kết quả về câu chuyện, kiểm tra điều kiện, đơn vị, độ hợp lí · loại x=-75 vì số phần quà mỗi ngày phải là số nguyên dương; 60 phần mỗi ngày thì mất 15 ngày, 75 phần mỗi ngày thì mất 12 ngày, sớm hơn 3 ngày
Kiểm tra đầu vào: hai câu ngắn, mỗi câu có giải thích.
Một hộp có 5 thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.
a) Xác suất lấy được thẻ số 3 là \dfrac{1}{5}.
Đúng: có 5 kết quả đồng khả năng, 1 kết quả thuận lợi.
b) Xác suất lấy được thẻ chẵn là \dfrac{1}{2}.
Sai: thẻ chẵn là 2 và 4, tức 2 trên 5, bằng \dfrac{2}{5}.
c) Xác suất của một biến cố có thể lớn hơn 1.
Sai: xác suất luôn nằm từ 0 đến 1.
Nếu quãng đường là 120 km và vận tốc là x km/h thì thời gian đi là \dfrac{120}{x} giờ. Với x=40 thì thời gian là giờ. Nếu tăng vận tốc thêm 20 km/h, vận tốc mới là 40+20= km/h.
Bản đồ của bài: mục 2 và 3 nói về Câu 3; mục 4 và 5 về Câu 4; mục 6 về Câu 5. Mục 7 gom cách trình bày cho trọn ý; mục 8 là luyện tập tổng hợp và thử thách; mục 9 là tự kiểm tra.
2 Câu 3a: đọc bảng tần số ghép nhóm
Nửa khoảng, tần số, tần số tương đối: ngôn ngữ của một bảng số liệu.
Câu 3a đưa em tới một bảng số liệu. Đề hỏi một câu tưởng chỉ cần cộng hai số: có bao nhiêu người đi bộ từ 2 km đến dưới 4 km? Nhưng để cộng đúng hai số nào, em cần đọc được ngôn ngữ của bảng tần số ghép nhóm . Đây là chỗ "dịch" đầu tiên của phần thống kê.
Hãy tưởng tượng một người ghi lại quãng đường đi bộ của 50 người: 2{,}4; 5{,}1; 3{,}0; 4{,}7... Năm mươi con số rời rạc rất khó nhìn. Ta gom chúng thành từng "ngăn" theo độ dài: ngăn từ 2 đến 3 km, ngăn từ 3 đến 4 km... rồi đếm mỗi ngăn có bao nhiêu người. Đó là bảng tần số ghép nhóm .
Ghi nhớ: nhóm nửa khoảng và tần số
Ký hiệu [a;b) là nhóm các giá trị từ a đến dưới b: nó gồm a nhưng không gồm b. Số lần xuất hiện của các giá trị trong nhóm gọi là tần số của nhóm. Tổng các tần số bằng cỡ mẫu (ở đây là 50 người). Tần số tương đối của một nhóm là tần số chia cho cỡ mẫu, thường viết dưới dạng phần trăm.
Với dữ liệu của đề, người đi đúng 3{,}0 km thuộc nhóm [3;4) (vì nhóm này gồm cả 3); người đi 2{,}99 km thuộc nhóm [2;3). Nhờ quy ước "gồm đầu, không gồm cuối", mỗi người nằm trong đúng một nhóm, không bị đếm hai lần.
Hình 1. Tần số theo từng nhóm quãng đường. Hai cột tô đậm là các nhóm từ 2 km đến dưới 4 km.
Chiều cao mỗi cột là tần số của nhóm; cột cao nhất là [4;5) với 16 người. Tổng chiều cao năm cột là 9+15+16+7+3=50, đúng bằng số người khảo sát; đây là phép "kiểm tra tổng" em nên làm ngay khi nhận một bảng số liệu.
Ví dụ 1 · Câu 3a: bao nhiêu người đi từ 2 km đến dưới 4 km?
Dịch cụm từ "từ 2 km đến dưới 4 km" sang ký hiệu: quãng đường d thỏa 2\le d\lt 4, tức nhóm [2;4).
Vì sao làm vậy: "từ 2" gồm cả 2, "dưới 4" không gồm 4. Đó đúng là kiểu nửa khoảng [a;b).
Nhóm [2;4) được ghép từ hai nhóm của bảng: [2;3) và [3;4).
Vì sao làm vậy: hai nhóm liền nhau, nhóm đầu kết thúc ở 3 (không gồm 3), nhóm sau bắt đầu ở 3 (gồm 3); ghép lại vừa khít [2;4), không thừa không thiếu.
Tra tần số: [2;3) có 9 người; [3;4) có 15 người.
Vì sao làm vậy: đọc trực tiếp từ hàng "Tần số" của bảng.
Cộng: 9+15=24 (người).
Vì sao làm vậy: hai nhóm không giao nhau nên số người là tổng hai tần số.
Dịch ngược: 24 trên 50 người là 48\%, tức gần một nửa số người tập đi bộ ít hơn 4 km. Con số nhỏ hơn 50 và không nhỏ hơn 15, hợp lí.
Vì sao làm vậy: kiểm tra độ hợp lí. Kết quả phải lớn hơn tần số từng nhóm riêng lẻ và nhỏ hơn tổng 50.
Từ bảng gốc ta lập thêm hai cột: tần số tương đối (cột "Tỉ lệ", theo phần trăm) và tần số tích lũy (cột "Tích lũy": số người từ nhóm đầu tới hết nhóm đang xét).
Nhóm · Tần số · Tỉ lệ · Tích lũy
[2;3) · 9 · 18\% · 9
[3;4) · 15 · 30\% · 24
[4;5) · 16 · 32\% · 40
[5;6) · 7 · 14\% · 47
[6;7) · 3 · 6\% · 50
Các phần trăm cộng lại đúng 100\% (18+30+32+14+6=100), và số tích lũy cuối cùng bằng 50 là cỡ mẫu. Hai phép "khớp tổng" ấy cho ta thêm niềm tin vào bảng.
Bẫy thường gặp
Bẫy: hiểu sai "dưới 4 km". Có em đọc "từ 2 km đến dưới 4 km" thành nhóm [2;3), [3;4) và [4;5), tức cộng cả 16 người của nhóm [4;5) (kết quả 9+15+16=40). Nhưng nhóm [4;5) gồm cả người đi đúng 4 km và người đi hơn 4 km; họ không thuộc "dưới 4 km". Đáp án đúng là 24, không phải 40.
Bẫy thường gặp
Bẫy: cộng thiếu hoặc cộng thừa nhóm. Hai lỗi phổ biến: chỉ lấy nhóm [3;4) rồi kết luận 15 người (bỏ quên nhóm [2;3)); hoặc lấy luôn cỡ mẫu 50 làm đáp án. Cách phòng tránh: viết ra danh sách các nhóm được chọn (ở đây hai nhóm) trước khi cộng.
GV
Cô Lukato
Một chi tiết thú vị: nếu đề hỏi "từ 2 km đến 4 km" (kể cả 4), thì bảng không đủ để trả lời. Người đi đúng 4 km nằm chung nhóm [4;5) với người đi 4,3 hay 4,9 km, và bảng không cho biết nhóm ấy có mấy người đi đúng 4 km. Đó là lí do bài này dùng chữ "dưới 4 km" để câu hỏi trả lời được.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Theo bảng của đề, có bao nhiêu người đi bộ từ 4 km trở lên (tức từ nhóm [4;5) trở đi)?
Gợi ý 1. Các nhóm từ 4 km trở lên là [4;5), [5;6), [6;7).
Gợi ý 2. Đọc tần số của từng nhóm ở Gợi ý 1 trong bảng rồi cộng; kiểm tra lại: kết quả cộng với số người dưới 4 km phải bằng cỡ mẫu.
Chính xác! 16+7+3=26 người.
Em chỉ cộng hai nhóm cuối (7+3); nhóm [4;5) cũng gồm những người đi từ 4 km.
Đó là số người đi dưới 4 km, ngược với câu hỏi.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Ba nhóm cuối có tần số 16, 7, 3. Tổng 16+7+3=26. Kiểm tra: 26 và 24 (từ 2 đến dưới 4 km) cộng lại 50.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Có bao nhiêu người đi bộ ít nhất 5 km (từ nhóm [5;6) trở đi)?
Gợi ý 1. Hai nhóm cuối là [5;6) và [6;7).
Gợi ý 2. Cộng tần số của hai nhóm.
Chính xác! 7+3=10 người.
Em chỉ lấy nhóm [6;7); nhóm [5;6) cũng bắt đầu từ 5 km.
Em cộng cả nhóm [4;5); nhóm đó gồm cả người đi dưới 5 km.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
7+3=10 người.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Bao nhiêu phần trăm số người đi bộ từ 4 km đến dưới 6 km? Nhập số phần trăm (không cần ký hiệu %).
Gợi ý 1. Xác định các nhóm nằm trong [4;6); nhớ "dưới 6" không gồm nhóm [6;7).
Gợi ý 2. Lấy tổng tần số các nhóm đó chia cho cỡ mẫu 50 rồi nhân 100 (hoặc cộng cột "Tỉ lệ" của các nhóm đó).
Chính xác! 16+7=23 người, \dfrac{23}{50}=0{,}46=46\%.
Đó là số người (16+7), chưa phải phần trăm. Chia cho 50 rồi nhân 100.
Đó là tỉ lệ dưới dạng số thập phân; đề yêu cầu số phần trăm.
Em chỉ lấy nhóm [4;5). "Từ 4 km đến dưới 6 km" gồm cả nhóm [5;6).
Em cộng thừa nhóm [6;7) (16+7+3=26). "Dưới 6 km" không gồm người đi từ 6 km trở lên.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
"Từ 4 km đến dưới 6 km" là nhóm [4;6), ghép từ [4;5) và [5;6): 16+7=23 người. Tỉ lệ \dfrac{23}{50}=\dfrac{46}{100}=0{,}46, tức 46\%. Kiểm tra bằng cột "Tỉ lệ": 32\%+14\%=46\%.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Bao nhiêu phần trăm số người đi bộ từ 3 km trở lên? Nhập số phần trăm.
Gợi ý 1. Có thể đếm phần bù: những người đi dưới 3 km thuộc nhóm nào?
Gợi ý 2. Lấy 100\% trừ tỉ lệ phần trăm của phần bù (hoặc cộng tần số các nhóm từ [3;4) trở đi rồi chia cho 50).
Chính xác! 15+16+7+3=41 người, \dfrac{41}{50}=82\%, hoặc 100\%-18\%=82\%.
Đó là số người; đề hỏi phần trăm. Chia cho 50 rồi nhân 100.
Đó là tỉ lệ phần bù (nhóm [2;3), người đi dưới 3 km). Cần lấy 100\%-18\%.
Đó là tỉ lệ dưới dạng số thập phân; đề yêu cầu số phần trăm.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Người đi dưới 3 km là nhóm [2;3): 9 người, tức \dfrac{9}{50}=18\%. Vậy tỉ lệ người đi từ 3 km trở lên là 100\%-18\%=82\%. Kiểm tra trực tiếp: 15+16+7+3=41, \dfrac{41}{50}=0{,}82=82\%.
Bài 5 Mức 2 · Vận dụng
Khảo sát 40 học sinh về thời gian đọc sách mỗi ngày (phút): nhóm [0;10) có 4 em, nhóm [10;20) có 12 em, nhóm [20;30) có x em, nhóm [30;40) có 9 em, nhóm [40;50) có 3 em. Tìm x.
Gợi ý 1. Tổng các tần số bằng cỡ mẫu 40.
Gợi ý 2. Viết phương trình: tổng năm tần số (trong đó có x) bằng 40, rồi cộng các số đã biết trước.
Chính xác! 28+x=40 nên x=12.
Đó là tổng các nhóm đã biết; x là phần còn thiếu, 40-28.
Em cộng 40+12; phải lấy 40 trừ đi tổng các nhóm còn lại.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Tổng tần số bằng số học sinh: 4+12+x+9+3=40. Suy ra 28+x=40, x=12.
Bài 6 Mức 3 · Thách thức
Một bảng tần số ghép nhóm khác ghi quãng đường đi bộ của 60 người: nhóm [2;3) có 12 người, [3;4) có 18 người, [4;5) có 15 người; hai nhóm [5;6) và [6;7) bị nhòe số, chỉ biết nhóm [5;6) hơn nhóm [6;7) đúng 5 người. Tìm tần số của nhóm [5;6).
Gợi ý 1. Gọi tần số nhóm [5;6) là u; khi đó nhóm [6;7) có u-5 người.
Gợi ý 2. Tổng hai nhóm bị nhòe bằng cỡ mẫu trừ tổng ba nhóm đã biết; lập phương trình theo u.
Chính xác! Hai nhóm cuối có 60-45=15 người, u+(u-5)=15, u=10 (nhóm cuối có 5 người).
Đó là tần số nhóm [6;7); đề hỏi nhóm [5;6), nhiều hơn 5 người.
Đó là tổng hai nhóm cuối; cần tách ra thành hai nhóm hơn kém nhau 5.
Em chia đều \dfrac{15}{2}; hai nhóm không bằng nhau mà hơn kém 5, và tần số phải là số nguyên.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
12+18+15=45, nên hai nhóm cuối có 60-45=15 người. Gọi tần số nhóm [5;6) là u, nhóm [6;7) là u-5: u+u-5=15, 2u=20, u=10. Kiểm tra: nhóm cuối 10-5=5 người và 12+18+15+10+5=60.
3 Câu 3b: xác suất bằng bảng và đếm có hệ thống
Từ câu chuyện hai hộp thẻ đến một bảng 16 ô và con số chín phần mười sáu.
Câu 3b là một bài xác suất mà mặt chữ dài, nhưng lời giải thì ngắn nếu em biết dịch câu chuyện thành một bảng . Hộp A có thẻ 1, 2, 3, 4; hộp B có thẻ 3, 4, 5, 6; An rút ngẫu nhiên một thẻ từ mỗi hộp. Ta tính xác suất của biến cố M: "số trên thẻ từ hộp B chia hết cho số trên thẻ từ hộp A".
Phép thử và không gian mẫu. Phép thử là "rút một thẻ từ hộp A và một thẻ từ hộp B". Mỗi kết quả là một cặp có thứ tự (a;b): a là số trên thẻ hộp A, b là số trên thẻ hộp B. Vì mỗi hộp có 4 thẻ, số cặp là 4\times 4=16. Tập hợp 16 cặp đó gọi là không gian mẫu , ký hiệu \Omega.