Giá trị nguyên của phân thức: tìm đủ ước và lọc đúng điều kiện
Từ tách phần nguyên đến tiêu chuẩn chia hết theo hai chiều, giữ miền gốc và kiểm tra thêm tính nguyên khi mẫu có hệ số khác một.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Giá trị nguyên của phân thức: tìm đủ ước và lọc đúng điều kiện
Từ tách phần nguyên đến tiêu chuẩn chia hết theo hai chiều, giữ miền gốc và kiểm tra thêm tính nguyên khi mẫu có hệ số khác một.
1. Biến số nguyên và giá trị nguyên là hai yêu cầu khác nhau
Một số nguyên đưa vào phân thức có thể cho một phân số không nguyên. Chẳng hạn, với F(x)=(x+3)/(x+1), thay x=3 cho F(3)=3/2. Ngược lại, thay một số không nguyên cũng có thể cho kết quả nguyên: F(-1/2)=5. Vì vậy phải đọc riêng hai điều kiện x\in\mathbb Z và F(x)\in\mathbb Z.
Mục tiêu của bài là tìm tất cả giá trị nguyên phù hợp mà không thử từng số mãi mãi. Ta sẽ biến một điều kiện chia hết có biến thành danh sách các ước của một số cố định; sau đó kiểm tra chiều đảo, các điều kiện nguyên và miền của biểu thức ban đầu.
Có ba phép kiểm khác nhau: biểu thức có xác định hay không; biến có nguyên hay không; giá trị biểu thức có nguyên hay không. Một ứng viên vượt qua một phép kiểm chưa chắc vượt qua hai phép còn lại.
2. Tách phần nguyên để tìm một tập hữu hạn
Cho a,b,d là các số nguyên và x nguyên, x+d\ne0. Đặt r=b-ad. Phép chia đại số cho
\frac{ax+b}{x+d}=a+\frac{b-ad}{x+d}=a+\frac r{x+d}.
Vì a nguyên, phân thức có giá trị nguyên khi và chỉ khi r/(x+d) nguyên. Theo định nghĩa chia hết, điều đó tương đương x+d là một ước nguyên khác không của r.
Nếu r\ne0, mọi ước n của r thỏa 1\le |n|\le |r|. Thật vậy, r=nq với q nguyên khác không, nên |r|=|n||q|\ge |n|. Ta có thể tìm hết các ước dương, lấy thêm các ước âm, rồi tính x=n-d. Danh sách là hữu hạn, nên nếu sau lọc vẫn còn phần tử thì có cả số nhỏ nhất và số lớn nhất.
Đây là một tương đương theo hai chiều. Từ một nghiệm nguyên ta thu được một ước; từ mỗi ước khác không ta dựng được x=n-d nguyên, mẫu bằng n\ne0, và giá trị a+r/n nguyên. Nếu bài gốc còn điều kiện khác, cần lọc chúng sau bước dựng.
Nếu r bằng không thì có còn liệt kê một danh sách hữu hạn không?
Không. Khi r=0, phân thức bằng hằng số nguyên a tại mọi điểm có x+d\ne0. Mọi số nguyên trừ -d đều phù hợp, trước khi xét các điều kiện thêm. Số không chia hết cho mọi số nguyên khác không, nên nó có vô số ước theo nghĩa này. Đừng mang quy tắc “ước không vượt số bị chia” từ trường hợp r\ne0 sang trường hợp r=0.
3. Rút gọn giữ giá trị trên miền cũ
Nếu x\ne3, ta được phép khử nhân tử x-3 trong (x-3)G(x)/(x-3). Nhưng phép khử không làm biểu thức ban đầu tự nhiên có giá trị tại x=3. Hai công thức có cùng giá trị ở những điểm thuộc miền chung; chúng có thể có miền xác định khác nhau.
Vì vậy, trước khi tìm số nguyên, hãy ghi tập các điểm bị loại từ mọi mẫu gốc. Khi kết quả rút gọn chỉ còn một mẫu, các điều kiện mất dấu vết trên công thức mới vẫn còn hiệu lực.
Một phản ví dụ ngắn: (x^2-1)/(x-1)=x+1 chỉ trên miền x\ne1. Công thức bên phải bằng 2 ở x=1, nhưng điều đó không tạo ra giá trị 2 cho phân thức có mẫu bằng không. Nếu câu hỏi nói về phân thức gốc, x=1 không được nhận.
4. Ví dụ nguồn: tích hai biểu thức có ba điểm bị loại
Cho
A=\frac{x-3}{x+1},\qquad B=\frac{x}{x+3}-\frac{3-5x}{x^2-9}+\frac4{x-3},x\ne-3,\quad x\ne-1,\quad x\ne3.
Ta xét những số nguyên x để Q=A\cdot B nguyên, rồi tìm số nhỏ nhất trong số đó. Ba điều kiện xuất phát từ các mẫu x+1,x+3,x^2-9,x-3, vì x^2-9=(x-3)(x+3).
Trên đúng miền ấy, quy đồng B cho
B=\frac{x(x-3)-(3-5x)+4(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+6x+9}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+3}{x-3}.
Dấu trừ trước 3-5x đổi dấu cả hai hạng. Tiếp đó
Q=\frac{x-3}{x+1}\cdot\frac{x+3}{x-3}=\frac{x+3}{x+1}=1+\frac2{x+1}.
Với x nguyên, các mẫu n=x+1 có thể có là -2,-1,1,2, đầy đủ cả ước âm và dương của 2. Vì thế các ứng viên của x là -3,-2,0,1.
Các phép chuyển từ n sang x=n-1 và Q=1+2/n được tính chính xác. Cột đầu chỉ cho giá trị của công thức đã rút gọn; tích gốc không xác định tại x=-3.
Ứng viên -3 bị loại vì mẫu x+3 của B bằng không. Ba số còn lại thỏa mọi điều kiện, và cho Q(-2)=-1, Q(0)=3, Q(1)=2. Vậy toàn bộ tập nghiệm là \{-2,0,1\}; số nhỏ nhất là -2, số lớn nhất là 1.
Có thể kiểm một giá trị bằng biểu thức gốc: tại x=-2, A=5 và B=-2+13/5-4/5=-1/5, nên A\cdot B=-1. Việc các giá trị còn lại đúng cũng được bảo đảm bởi các phép biến đổi tương đương trên miền đã giữ, không phải chỉ vì phép thử riêng này thành công.
5. Khi hệ số của x ở mẫu khác một
Xét dạng tổng quát hơn
F(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad a,b,c,d\in\mathbb Z,\quad c\ne0,\quad cx+d\ne0.
Đặt n=cx+d và \Delta=bc-ad. Thay vì ép phép chia tạo thương nguyên ngay, ta dùng đẳng thức
c(ax+b)-a(cx+d)=\Delta,cF(x)=a+\frac{\Delta}{n}.
Nếu x nguyên và F(x) nguyên, thì n là số nguyên khác không và \Delta/n=cF(x)-a nguyên. Vì vậy n phải là ước của \Delta. Tuy nhiên, điều kiện này mới bảo đảm cF(x) nguyên; nó chưa bảo đảm F(x) nguyên khi |c|>1.
Với \Delta\ne0, mọi nghiệm nguyên được tìm chính xác bằng cách chọn một ước nguyên khác không n của \Delta, rồi kiểm tra đồng thời
\frac{n-d}{c}\in\mathbb Z,\qquad \frac{a+\Delta/n}{c}\in\mathbb Z.
Điều kiện thứ nhất làm x=(n-d)/c nguyên. Điều kiện thứ hai làm giá trị F(x) nguyên. Sau đó vẫn lọc mọi điều kiện bổ sung của bài gốc.
Chiều cần đã có từ cách đặt n=cx+d và đẳng thức của cF. Với chiều đủ, chọn n thỏa hai phép kiểm, đặt x=(n-d)/c. Khi ấy cx+d=n\ne0; thay vào đẳng thức trên cho F(x)=(a+\Delta/n)/c, là số nguyên đúng như yêu cầu. Do |n|\le|\Delta|, quy trình kết thúc sau hữu hạn ứng viên.
Cách viết này dùng được cả khi c<0. Ta kiểm tính nguyên bằng phép chia, không tự đổi chiều một bất đẳng thức. Nếu c=1, hai phép kiểm đều tự thỏa khi n là ước: ta trở về quy tắc đơn giản ở phần đầu.
6. Một điều kiện cần chưa đủ: kiểm bằng mô hình đã đổi
Đổi phân thức thành
G(x)=\frac{x+3}{2x+2},\qquad x\in\mathbb Z,\quad x\ne-1.
Đây là một bài mới; ta không tự mang các điểm loại -3,3 của ví dụ nguồn sang nó. Ở đây a=1,b=3,c=2,d=2, nên \Delta=4. Các ước nguyên của 4 là \pm1,\pm2,\pm4.
Điều kiện x=(n-2)/2 nguyên buộc n chẵn, còn n=-4,-2,2,4. Kiểm giá trị
G(x)=\frac{1+4/n}{2}.
Với n=-4, ta có x=-3,G(x)=0; với n=4, ta có x=1,G(x)=1. Còn n=-2 cho x=-2,G(x)=-1/2, và n=2 cho x=0,G(x)=3/2; hai giá trị này không nguyên. Vậy nghiệm đúng là x=-3 hoặc x=1.
Phản ví dụ cho cách lọc thiếu: x=0 nguyên, mẫu n=2 khác không và là ước của \Delta=4, nhưng G(0)=3/2. “Mẫu là ước của hằng số” chỉ trở thành đủ sau khi kiểm cả phép chia cho c.
Có một cách tách trực tiếp để kiểm chéo không?
Có:
G(x)=\frac12+\frac1{x+1}.
Vì x+1 nguyên khác không, nếu |x+1|>2 thì |1/(x+1)|<1/2, nên 0<G(x)<1, không thể nguyên. Chỉ cần xét x+1=-2,-1,1,2; thay vào cho đúng hai nghiệm trên. Tại biên x+1=\pm2, giá trị lần lượt là 0,1, được nhận. Cách này cũng cho thấy vì sao không được loại các đầu mút chỉ bằng bất đẳng thức nghiêm.
7. Khi hằng số quyết định bằng không
Với dạng tổng quát và c\ne0, nếu \Delta=bc-ad=0, đẳng thức cF(x)=a cho
F(x)=\frac ac\qquad(cx+d\ne0).
Nếu a/c là số nguyên, mọi x nguyên trong miền đều phù hợp. Nếu a/c không nguyên, không có giá trị x nào phù hợp. Không cần và không nên liệt kê “các ước của không”.
Ví dụ (2x+4)/(x+2)=2 với x\ne-2: có vô số nghiệm nguyên. Ví dụ (x+1)/(2x+2)=1/2 với x\ne-1: không có nghiệm nguyên làm giá trị nguyên. Hai phân thức đều rút gọn thành hằng số, nhưng kết luận trái nhau vì tính nguyên của hằng số khác nhau.
Nếu chỉ có điều kiện loại hữu hạn điểm, trường hợp đầu vẫn có vô số nghiệm và không có số nguyên nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Nếu bài thêm một đoạn giới hạn, chẳng hạn 0\le x\le5, ta chỉ nhận các số nguyên trong đoạn và kiểm các điểm bị loại; tập ấy có thể hữu hạn hoặc rỗng. Miền là một phần của câu hỏi về cực trị.
8. Tự kiểm tra và chuyển giao
Tìm mọi số nguyên x để (x+5)/(x-1) nguyên, với x khác một
Ta có (x+5)/(x-1)=1+6/(x-1). Các ước nguyên của 6 là \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Cộng một vào từng ước cho
x\in\{-5,-2,-1,0,2,3,4,7\}.
Mọi giá trị đều có mẫu khác không; chiều đảo của quy tắc bảo đảm chúng đều đúng. Nhỏ nhất là -5, lớn nhất là 7. Nếu thêm x>0, chỉ còn 2,3,4,7, nên nhỏ nhất đổi thành 2.
Tìm mọi số nguyên x để (2x+1)/(3x+1) nguyên
Miền số nguyên không có mẫu bằng không, vì 3x+1=0 đòi x=-1/3. Ở đây \Delta=3\cdot1-2\cdot1=1, nên n=\pm1. Nếu n=1, x=0 và giá trị bằng 1, nhận. Nếu n=-1, x=-2/3 không nguyên, loại. Vậy chỉ có x=0.
Vì sao tìm được vài nghiệm bằng thử số chưa chứng minh đã tìm hết?
Phép thử chứng minh các số đã thử đúng hoặc sai; nó không nói gì về các số chưa thử. Lập luận ước số với hằng số khác không tạo một tập hữu hạn chứa mọi nghiệm, rồi kiểm hết tập đó mới chứng minh tính đầy đủ. Nếu hằng số bằng không, ta phải chuyển sang xét phân thức hằng thay vì giả sử tập nghiệm hữu hạn.
Quy trình có thể dùng lại: giữ miền ban đầu; đưa tính nguyên về chia hết; tìm đủ ước âm và dương khi hằng số khác không; kiểm cả tính nguyên của biến lẫn giá trị; cuối cùng mới chọn nhỏ nhất hoặc lớn nhất nếu tập hợp còn phần tử.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện