Hình hộp chữ nhật: đếm mặt cần phủ, đo phần có thể chứa
Từ hình triển khai đến diện tích các mặt và thể tích theo lớp; chọn mặt, kích thước trong/ngoài, đổi đơn vị, cùng thể tích khác diện tích và quy luật phóng…
THCS · TOÁN · DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
Hình hộp chữ nhật: đếm mặt cần phủ, đo phần có thể chứa
Mục tiêu: giải thích được vì sao diện tích dùng hai kích thước còn thể tích dùng ba; chọn đúng mặt, đúng đơn vị và đúng kích thước trong mỗi mô hình.
Cần biết: diện tích hình chữ nhật và phép nhân. Ví dụ, bảng và hình triển khai dưới đây được tự biên soạn để học khái niệm, không phụ thuộc một đề thi.
1. Ba câu hỏi khác nhau về cùng một hình hộp
Với hình hộp chữ nhật, gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao là a,b,h, đều dương và dùng cùng đơn vị. Một cạnh là độ dài; một mặt có diện tích; phần không gian bên trong có thể tích. Cùng một vật nhưng câu hỏi khác nhau cần đại lượng khác nhau.
Câu hỏi · Đại lượng · Đơn vị điển hình
Một mép dài bao nhiêu? · Độ dài · \mathrm{cm}
Cần phủ những mặt nào? · Diện tích các mặt được chọn · \mathrm{cm}^2
Không gian chứa lớn bao nhiêu? · Thể tích · \mathrm{cm}^3
Mô hình xuyên suốt: hình hộp có a=6\,\mathrm{cm},b=4\,\mathrm{cm},h=3\,\mathrm{cm}. Đầu tiên xem đây là hình hình học không có độ dày thành. Khi nói về vật thật, cần xác định đang đo mặt ngoài hay lòng bên trong.
Không có quy tắc “thấy ba số thì nhân cả ba” cho mọi câu hỏi. Muốn phủ mặt trước chỉ dùng chiều dài và chiều cao; muốn đo phần chứa mới cần thêm chiều rộng.
2. Trải hình hộp để nhìn thấy từng cặp mặt
Hình hộp kín có sáu mặt, chia thành ba cặp bằng nhau: hai mặt ab, hai mặt ah, hai mặt bh. Khi trải các mặt phẳng ra, diện tích từng mặt được giữ nguyên. Các đường gấp là cạnh chung, không có diện tích để cộng thêm.
Hai mặt màu xanh lam cùng diện tích 24\,\mathrm{cm}^2; hai mặt màu nâu nhạt cùng 18\,\mathrm{cm}^2; hai mặt màu xanh lá nhạt cùng 12\,\mathrm{cm}^2. Hình không vẽ mép dán hay phần chồng vật liệu.
Tổng sáu mặt là 2ab+2ah+2bh=2(ab+ah+bh). Với hình đã chọn: 2(24+18+12)=108\,\mathrm{cm}^2. Có ba tích khác nhau nhưng mỗi tích phải được đếm hai lần.
Dự đoán: nếu bỏ mặt trên, diện tích giảm một nửa? Hãy chỉ đúng hình chữ nhật bị bỏ trên hình triển khai trước khi mở gợi ý.
Kiểm tra bằng các mặt còn lại
Gợi ý: mặt trên có diện tích ab, không phải ba mặt.
Giải thích: chỉ giảm 24\,\mathrm{cm}^2; còn 108-24=84\,\mathrm{cm}^2. Bỏ một mặt không đồng nghĩa bỏ một nửa diện tích.
3. Chọn tập mặt trước khi chọn công thức
Nếu lấy hai mặt ab làm mặt trên và đáy, bốn mặt còn lại có diện tích 2ah+2bh=2(a+b)h. Đây là diện tích xung quanh ứng với cách đặt ấy. Đổi hướng đặt hình hộp thì cần xác định lại mặt đáy và chiều cao tương ứng.
Các mặt được tính · Biểu thức · Ví dụ 6 × 4 × 3 cm
Bốn mặt bên · 2(a+b)h · 60\,\mathrm{cm}^2
Bốn mặt bên và một mặt ab · 2(a+b)h+ab · 84\,\mathrm{cm}^2
Cả sáu mặt · 2(a+b)h+2ab · 108\,\mathrm{cm}^2
Trong hình hộp, mặt trên và mặt đáy bằng nhau nên “bốn mặt bên + trên” và “bốn mặt bên + đáy” cho cùng diện tích. Tuy vậy, chúng là hai tập mặt khác nhau; khi tô màu, lắp ghép hoặc đọc yêu cầu, vẫn phải gọi đúng mặt.
Một chiếc hộp không nắp cần vật liệu cho đáy và bốn mặt bên trong mô hình bỏ qua độ dày. Nếu muốn sơn cả trong lẫn ngoài, không mặc nhiên dùng diện tích một phía. Chỉ trong mô hình thành rất mỏng, bỏ qua mép và lấy hai phía tương ứng bằng nhau, mới có thể lấy hai lần diện tích một phía. Vật thật có thành dày cần kích thước mặt trong, mặt ngoài và các mép liên quan.
Diện tích hình học cũng chưa phải lượng vật liệu thực tế phải mua: mép dán, phần chồng, phần cắt bỏ hoặc số lớp phủ phải được cho thêm nếu cần tính chúng.
4. Thể tích: một lớp bao nhiêu khối, có bao nhiêu lớp?
Hãy tưởng tượng lấp hình hộp 6\times4\times3\,\mathrm{cm} bằng các khối lập phương cạnh 1\,\mathrm{cm}, xếp khít không chồng lấn. Một lớp có 6\cdot4=24 khối; ba lớp có 24\cdot3=72 khối. Mỗi khối có thể tích 1\,\mathrm{cm}^3, nên thể tích hình hộp là 72\,\mathrm{cm}^3.
Quy luật chung: diện tích đáy nhân chiều cao, V=abh. Cách đếm khối đơn vị minh họa trực tiếp khi các kích thước là số nguyên theo đơn vị đã chọn; với kích thước khác, có thể chia nhỏ đơn vị, và công thức vẫn áp dụng cho hình hộp chữ nhật.
Với lòng hộp có đáy 6\times4\,\mathrm{cm}, lượng nước cao z có thể tích 24z\,\mathrm{cm}^3, khi 0\le z\le3 và không có vật chiếm chỗ. Ở z=2, thể tích nước là 48\,\mathrm{cm}^3, phần thể tích còn trống tới miệng là 24\,\mathrm{cm}^3. Đây là mô hình đáy ngang, thành thẳng đứng, bỏ qua các chi tiết làm thay đổi lòng chứa.
Kích thước ngoài không tự cho dung tích: nếu số đo bao ngoài là 6 × 4 × 3 cm và thành hộp có độ dày, lòng hộp nhỏ hơn. Công thức vẫn đúng cho phần hình hộp bên trong, nhưng phải dùng kích thước trong. Không gọi 72\,\mathrm{cm}^3 là dung tích thật chỉ từ ba kích thước ngoài.
5. Đơn vị thay đổi theo số chiều
Từ 1\,\mathrm{dm}=10\,\mathrm{cm}, hình vuông cạnh 1 dm gồm 10\cdot10=100 ô vuông cạnh 1 cm; khối lập phương cạnh 1 dm gồm 10\cdot10\cdot10=1000 khối cạnh 1 cm. Do đó
1\,\mathrm{dm}^2=100\,\mathrm{cm}^2,\qquad 1\,\mathrm{dm}^3=1000\,\mathrm{cm}^3.
Ví dụ: 108\,\mathrm{cm}^2=1{,}08\,\mathrm{dm}^2, còn 72\,\mathrm{cm}^3=0{,}072\,\mathrm{dm}^3. Chia cho 10 ở cả hai trường hợp là nhầm quy tắc đổi độ dài với quy tắc đổi diện tích và thể tích.
Không cộng 60\,\mathrm{cm}^2 với 72\,\mathrm{cm}^3: đó là hai loại đại lượng khác nhau. Khi cộng diện tích nhiều mặt, tất cả phải cùng đơn vị diện tích. Khi nhân kích thước, đổi các độ dài về cùng đơn vị trước để tránh một tích lẫn cm và dm.
Kiểm tra đơn vị không thay thế kiểm tra cách chọn mặt. Cả 84 và 108 đều có thể mang đơn vị \mathrm{cm}^2, nhưng chỉ một giá trị đúng với yêu cầu hộp không nắp trong ví dụ.
6. Cùng thể tích chưa chắc cùng diện tích
So sánh hai hình hộp kín tự biên soạn, cùng đơn vị cm:
Kích thước · Thể tích · Tổng diện tích sáu mặt
6\times4\times3 · 72\,\mathrm{cm}^3 · 2(24+18+12)=108\,\mathrm{cm}^2
9\times4\times2 · 72\,\mathrm{cm}^3 · 2(36+18+8)=124\,\mathrm{cm}^2
Hai hình chứa cùng thể tích theo mô hình nhưng cần diện tích phủ khác nhau. Chỉ biết thể tích chưa đủ để suy ra diện tích. Bảng cũng chỉ so sánh hai hình này, không chứng minh hình thứ nhất có diện tích nhỏ nhất trong mọi hình hộp thể tích 72.
Nếu phóng to cả ba kích thước cùng hệ số t>0, mỗi diện tích mặt nhân t^2, thể tích nhân t^3. Phóng đôi hình 6 × 4 × 3 thành 12 × 8 × 6 cho diện tích 4\cdot108=432\,\mathrm{cm}^2, thể tích 8\cdot72=576\,\mathrm{cm}^3.
Nếu chỉ tăng chiều cao gấp đôi còn đáy giữ nguyên, thể tích gấp đôi, diện tích xung quanh gấp đôi nhưng hai mặt đáy không đổi. Vì vậy tổng diện tích sáu mặt không gấp đôi: 2ab+4(a+b)h=48+120=168\,\mathrm{cm}^2 ở ví dụ. Luôn nói rõ kích thước nào thay đổi.
7. Tự kiểm tra bằng mặt, lớp và đơn vị
Trước khi mở, phác các mặt cần tính hoặc mô tả các lớp khối. Hãy giải thích vì sao chọn phép tính, không chỉ nêu một số.
1. Phủ một mặt trước có dùng tích a × b × h?
Gợi ý: mặt ấy có mấy kích thước?
Giải thích: mặt trước có diện tích ah. Tích abh là thể tích, trả lời câu hỏi khác.
2. Bỏ nắp có nghĩa diện tích còn một nửa?
Gợi ý: đánh dấu đúng mặt bị bỏ trên hình triển khai.
Giải thích: bỏ một mặt ab=24, còn 84\,\mathrm{cm}^2. Không bỏ ba mặt.
3. Bốn mặt bên và nắp cho cùng số với bốn mặt bên và đáy?
Gợi ý: nắp và đáy của hình hộp chữ nhật có bằng nhau không?
Giải thích: bằng nhau nên cùng diện tích, nhưng là những mặt khác nhau. Không dùng sự bằng nhau về số để bỏ qua yêu cầu chọn mặt.
4. 72 khối lập phương đơn vị có phải diện tích 72 cm²?
Gợi ý: đang đếm vật ba chiều hay ô trên mặt?
Giải thích: đếm khối để đo thể tích, nên là 72\,\mathrm{cm}^3. Diện tích dùng ô vuông đơn vị.
5. Đo kích thước ngoài là 6 × 4 × 3 cm: dung tích thật chắc là 72 cm³?
Gợi ý: phần thành có chiếm không gian không?
Giải thích: chưa chắc. Cần kích thước lòng chứa hoặc giả thiết bỏ qua độ dày; số đo ngoài không trực tiếp bằng số đo trong.
6. Đổi cm³ sang dm³ có chia cho 10?
Gợi ý: mỗi cạnh của khối 1 dm có bao nhiêu đoạn 1 cm?
Giải thích: có 10 theo mỗi trong ba chiều, nên 1000 khối. Chia cho 1000, không phải 10.
7. Cùng thể tích thì lượng vật liệu phủ sáu mặt như nhau?
Gợi ý: đối chiếu hai hình ở mục 6.
Giải thích: không. Hai thể tích cùng 72 nhưng diện tích là 108 và 124. Còn vật liệu thực tế có thể thêm hao hụt và mép dán nếu yêu cầu tính.
8. Chỉ tăng chiều cao gấp đôi có giống phóng đôi cả hình?
Gợi ý: đáy có thay đổi kích thước không?
Giải thích: không. Tăng riêng chiều cao giữ diện tích đáy; phóng cả hình làm cả ba chiều gấp đôi. Hai thao tác cho hệ số diện tích và thể tích khác nhau.
Quy trình: xác định đại lượng → chọn mặt hoặc phần không gian → xác định kích thước trong/ngoài → thống nhất đơn vị → lập phép tính → kiểm bằng hình triển khai/lớp → ghi giả thiết và giới hạn.
THCS · Hình triển khai và ví dụ tự biên soạn · Hiểu đại lượng trước khi dùng công thức.