Đồng dạng, hình chiếu và bình phương: ba công cụ giải bài toán hình học
Từ đo chiều cao bằng bóng đến nhận ra trung điểm cạnh huyền và tối ưu hình vuông nội tiếp: học mô hình tổng quát, chứng minh và kiểm tra điều kiện áp dụng.
TOÁN 9 · TỈ SỐ, TRUNG ĐIỂM VÀ DIỆN TÍCH
Đồng dạng, hình chiếu và bình phương: ba công cụ giải bài toán hình học
Từ đo chiều cao bằng bóng đến nhận ra trung điểm cạnh huyền và tối ưu hình vuông nội tiếp: học mô hình tổng quát, chứng minh và kiểm tra điều kiện áp dụng.
1. Chọn công cụ theo điều cần giữ nguyên
Đo một chiều cao khó tiếp cận, tìm trung điểm trong một tam giác, và bố trí một hình vuông có diện tích nhỏ nhất tưởng như là ba việc rời rạc. Chúng cùng cần một thói quen: tìm quan hệ không thay đổi khi hình thay đổi.
- Giữ góc: các tam giác đồng dạng cho những tỉ số bằng nhau.
- Giữ vuông góc: một đường cao cùng các hình chiếu tạo ra các tam giác vuông nhỏ và hệ thức tích.
- Giữ tổng hai đoạn: một biểu thức tổng hai bình phương có thể được đưa về “một bình phương cộng hằng số”.
Kiến thức cần có: đồng dạng, Pythagore, tỉ số lượng giác của góc nhọn, hình chữ nhật, hình vuông và hằng đẳng thức. Ta sẽ chứng minh các công thức trước, rồi dùng số để kiểm tra. Không dùng đạo hàm hoặc vectơ.
2. Đo chiều cao bằng bóng: tỉ số chỉ đúng khi mô hình đúng
Giả sử hai vật đều thẳng đứng trên mặt đất nằm ngang; đo bóng tại cùng thời điểm trong một khu vực đủ nhỏ để coi tia nắng là song song. Chiều cao và độ dài bóng được đo cùng đơn vị. Gọi chiều cao hai vật là h,h_0, độ dài bóng tương ứng là \ell,\ell_0, với \ell,\ell_0>0.
Nếu một vật cao gấp ba vật kia, bóng của nó có nhất thiết dài gấp ba không? Dữ kiện nào trong mô hình bảo đảm điều đó?
Gợi ý
Mỗi vật và bóng tạo một tam giác vuông. Cặp góc nhọn bằng nhau đến từ các tia sáng song song và mặt đất chung hướng.
Hai tam giác đều vuông và có góc giữa tia sáng với mặt đất bằng nhau, nên đồng dạng theo góc–góc. Tương ứng cạnh đứng với cạnh đứng, cạnh bóng với cạnh bóng:
\frac{h}{h_0}=\frac{\ell}{\ell_0},\qquad \boxed{h=\frac{h_0\ell}{\ell_0}}.
Hai tam giác được đặt tách nhau để thấy cặp cạnh tương ứng: AB với DE, BC với EF. Các cạnh xiên biểu diễn tia nắng song song; không cần hai bóng có cùng điểm cuối.
Kiểm chứng. Cột cao 2\,\mathrm m, bóng dài 3\,\mathrm m; bóng tháp dài 63\,\mathrm m. Khi đó h=2\cdot63/3=42\,\mathrm m. Kiểm tra tỉ số: 42/63=2/3. Trong một tình huống khác, vật cao 6\,\mathrm m có bóng 4\,\mathrm m, còn tháp có bóng 30\,\mathrm m, thì chiều cao tháp là 6\cdot30/4=45\,\mathrm m.
Cùng một công thức không có nghĩa được trộn số đo ở hai thời điểm. Mặt trời thay đổi góc thì tỉ số chiều cao/bóng thay đổi. Đất dốc khác nhau hoặc vật bị nghiêng cũng làm mất cặp tam giác vuông tương ứng. Cần kiểm tra mô hình trước khi bấm máy.
3. Tam giác vuông: đọc đúng vai trò của cạnh và đường cao
Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh AB=b>0, AC=c>0, BC=a. Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC. Bắt đầu bằng hai quan hệ tổng quát:
a^2=b^2+c^2,\qquad \frac{bc}{2}=\frac{a\cdot AH}{2}.
Quan hệ thứ hai là cùng một diện tích tam giác, tính theo hai cặp đáy–chiều cao. Vì thế
\boxed{AH=\frac{bc}{a}},\qquad \cos B=\frac ba,\qquad \sin B=\frac ca.
Đường cao AH có luôn bằng a/2 không? Hãy phân biệt đường cao với trung tuyến từ đỉnh góc vuông.
Với b=3, a=5, ta có c=\sqrt{25-9}=4, AH=12/5=2{,}4. Trong khi đó trung tuyến từ A có độ dài a/2=2{,}5, nên hai đoạn không thể được thay thế cho nhau.
Để tìm góc B, dùng B=\arccos(3/5)\approx53{,}130102^\circ. Phần lẻ 0{,}130102 độ tương ứng 0{,}130102\cdot60\approx7{,}80612 phút. Làm tròn đến phút cho B\approx53^\circ8'. Không được đọc phần thập phân của số đo độ trực tiếp thành phút.
4. Từ hình chiếu đến một hình chữ nhật ẩn
Qua H, hạ HD\perp AB tại D, HE\perp AC tại E. Vì AB\perp AC, ta có HD\parallel AC, HE\parallel AB. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Hình đúng tỉ lệ với AB=3,AC=4. Đường DE màu vàng; đường từ A vuông góc DE màu tím. Điểm I là chân vuông góc trên DE, M là giao điểm với BC.
Hệ thức tích được tạo như thế nào? Trong tam giác vuông ABH, đoạn HD là đường cao xuống cạnh huyền AB. Hai tam giác AHD và ABH đồng dạng: có góc tại A chung và hai góc vuông tại D,H. Do đó AH/AB=AD/AH, hay
AH^2=AD\cdot AB.
Tương tự trong tam giác vuông ACH, hai tam giác AHE và ACH đồng dạng, nên
AH^2=AE\cdot AC.
So sánh hai vế:
AD\cdot AB=AE\cdot AC\quad\Longrightarrow\quad\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}.
Hai tam giác AED và ABC có góc tại A bằng 90^\circ và hai cặp cạnh kề góc này tỉ lệ. Bởi cạnh–góc–cạnh,
\boxed{\triangle AED\sim\triangle ABC}.
Đọc thứ tự: A\leftrightarrow A, E\leftrightarrow B, D\leftrightarrow C. Vì vậy \angle AED=\angle ABC, không phải \angle ACB.
Với tam giác 3,4,5, AD=(2{,}4)^2/3=1{,}92, AE=(2{,}4)^2/4=1{,}44. Kiểm tra: AD/AC=1{,}92/4=0{,}48 và AE/AB=1{,}44/3=0{,}48. Hai đường chéo hình chữ nhật còn cho DE=AH=2{,}4, đúng với DE/BC=0{,}48.
5. Nhận ra trung điểm bằng hai tam giác cân
Kẻ AI\perp DE, I\in DE. Tia AI cắt BC tại M. Vì ADE là tam giác vuông tại A, chân đường cao I nằm trong DE; do đó tia AI nằm trong góc BAC và gặp đoạn BC tại một điểm bên trong.
Muốn chứng minh MB=MC, có thể tìm một đoạn thứ ba bằng cả hai đoạn ấy không? Hãy thử MA.
Gợi ý
Đồng dạng ở mục trước cho \angle AED=B. Vì AI\perp DE, góc giữa AI và AC phụ với góc này, nên bằng C.
Ta có \angle AEI=\angle AED=B. Tam giác AIE vuông tại I cho
\angle IAE=90^\circ-B=C.
Vì E\in AC, M\in AI, suy ra \angle MAC=C=\angle MCA. Tam giác MAC cân tại M, nên MA=MC.
Mặt khác, \angle MAB=90^\circ-\angle MAC=90^\circ-C=B=\angle MBA. Tam giác MAB cân tại M, nên MA=MB. Vậy
\boxed{MA=MB=MC=\frac{BC}{2}}.
Do M thuộc đoạn BC, đẳng thức MB=MC xác nhận M là trung điểm. Đây là cách tìm trung điểm bằng góc, không cần đo hai đoạn.
Điều kiện không được bỏ: H phải là chân đường cao từ A xuống BC. Nếu chọn một điểm tùy ý rồi lấy hai hình chiếu, tuy vẫn tạo hình chữ nhật, đường vuông góc với DE chưa chắc đi qua trung điểm cạnh huyền.
Phản ví dụ để kiểm tra phạm vi của kết luận
Lấy A=(0,0),B=(3,0),C=(0,4), nhưng chọn điểm tùy ý Q=(1,1). Các hình chiếu là D=(1,0),E=(0,1); đường DE có phương trình x+y=1. Đường qua A vuông góc DE là y=x, gặp BC:x/3+y/4=1 tại (12/7,12/7). Điểm này khác trung điểm thật (3/2,2). Vậy chỉ “có hình chữ nhật” là chưa đủ.
6. Tối ưu tổng hai bình phương: chứng minh trước khi thử số
Với một độ dài cố định a>0, hai đoạn x và a-x có tổng bằng a. Tổng bình phương của chúng có dạng
\begin{aligned}x^2+(a-x)^2&=2x^2-2ax+a^2\\&=2\left(x-\frac a2\right)^2+\frac{a^2}{2}.\end{aligned}
Một bình phương luôn không âm. Vì vậy x^2+(a-x)^2\ge a^2/2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=a/2. Nếu miền cho phép không chứa a/2, phải xét lại vị trí đạt giá trị nhỏ nhất; công thức không tự thay thế việc kiểm tra miền.
Với hai đoạn tổng 10, cặp 2,8 hay 5,5 có tổng bình phương nhỏ hơn? Thay vì chỉ tính hai trường hợp, hãy giải thích vì sao cặp đều nhau thắng mọi cặp khác.
Giải thích
Ta có x^2+(10-x)^2=2(x-5)^2+50. Mọi cặp khác 5,5 tạo thêm một số dương 2(x-5)^2, nên tổng lớn hơn 50. Chẳng hạn cặp 2,8 cho 68, lớn hơn 50 đúng 18.
Đây là công cụ đại số độc lập. Ứng dụng hình học tiếp theo chỉ còn phải chứng minh diện tích thật sự có dạng tổng hai bình phương này.
7. Hình vuông bên trong hình vuông: lập mô hình có căn cứ
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Hình vuông EFGH có các đỉnh lần lượt trên các cạnh AB,BC,CD,DA. Trước hết xét bốn đỉnh nằm trong các cạnh; các vị trí ở đầu mút sẽ kiểm tra riêng.
Đặt AE=x. Ta cần chứng minh BF=CG=DH=x, chứ không được suy ra chỉ vì hình trông đối xứng.
Gợi ý: so sánh hai tam giác ở hai góc kề nhau
Hai tam giác AEH,BFE vuông tại A,B, có cạnh huyền EH=FE. Hãy chứng minh \angle AEH=\angle BFE bằng cách cùng lấy phần phụ của \angle BEF.
Vì A,E,B thẳng hàng, góc HEF=90^\circ cho \angle AEH+\angle BEF=90^\circ. Trong tam giác BFE, \angle BFE+\angle BEF=90^\circ. Do đó \angle AEH=\angle BFE.
Hai tam giác vuông AEH,BFE bằng nhau theo cạnh huyền–góc nhọn, suy ra AE=BF. Lặp lại quanh bốn góc thu được
AE=BF=CG=DH=x,\qquad EB=FC=GD=HA=a-x.
Hình minh họa chọn x=0{,}3a, chưa phải vị trí tối ưu. Hai cạnh góc vuông tại B là EB=a-x và BF=x.
Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông BEF:
EF^2=EB^2+BF^2=(a-x)^2+x^2.
Diện tích hình vuông trong là S=EF^2, nên mô hình tổng quát là
\boxed{S(x)=x^2+(a-x)^2},\qquad 0\le x\le a.
Ở biên x=0, E=A: vì EH nằm trên AD, cạnh EF\perp EH phải nằm trên AB, nên F=B, và tương tự G=C,H=D. Hình vuông trong trùng hình vuông ngoài. Biên x=a cũng tương tự; cả hai cho diện tích a^2, đúng với công thức.
8. Chứng minh cực tiểu, rồi dùng đồ thị để đọc ý nghĩa
Áp dụng công cụ ở mục 6:
S(x)=2\left(x-\frac a2\right)^2+\frac{a^2}{2}\ge\frac{a^2}{2}.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=a/2, thuộc miền [0,a]. Vậy diện tích nhỏ nhất bằng một nửa diện tích hình vuông ngoài; bốn đỉnh hình vuông trong là trung điểm bốn cạnh.
Với a=30\,\mathrm m,
S(x)=2(x-15)^2+450,\qquad S_{\min}=450\,\mathrm m^2.
Các vị trí x=10,13,15,17,20 lần lượt cho S=500,458,450,458,500. Hai vị trí cách 15 một khoảng bằng nhau có cùng diện tích. Mỗi lần lệch khỏi trung điểm một khoảng d, diện tích tăng chính xác 2d^2.
Đường cong được dựng theo đúng S(x)=x^2+(30-x)^2, không nối tùy ý các điểm thử. Hai đầu mút được lấy vì mô hình cho phép hình vuông trong trùng hình vuông ngoài.
Bảng số hoặc đồ thị chỉ gợi ra cực tiểu. Chứng minh nằm ở đẳng thức hoàn thành bình phương và điều kiện đạt dấu bằng. Một bảng hữu hạn không thể thay việc xét mọi giá trị trong cả đoạn.
9. Chuyển sang dữ kiện mới và miền mới
Thử 1: đổi kích thước. Hình vuông ngoài có cạnh 20\,\mathrm m. Tìm diện tích nhỏ nhất và vị trí các đỉnh hình vuông trong.
Gợi ý và lời giải
Thay a=20 vào công thức tổng quát: S=2(x-10)^2+200. Nhỏ nhất bằng 200\,\mathrm m^2, tại x=10; bốn đỉnh là trung điểm các cạnh. Không cần giải lại hình học từ đầu.
Thử 2: thêm một ràng buộc. Vẫn cạnh ngoài 20, nhưng chỉ được chọn 0\le x\le8. Diện tích nhỏ nhất có còn bằng 200 không?
Gợi ý rồi lời giải
Điểm x=10 không hợp lệ. Trên đoạn [0,8], ta có 10-x\ge2, nên (x-10)^2\ge4, dấu bằng tại x=8. Vì vậy S_{\min}=2\cdot4+200=208, không phải 200. Đây là lí do phải ghi miền biến trước khi tối ưu.
Thử 3: đổi tam giác. Với AB=6,AC=8, hãy tính BC,AH,AD,AE,AM trong cấu hình đường cao và hình chiếu.
Gợi ý và lời giải
Đây là hình phóng to gấp 2 của tam giác 3,4,5. Các độ dài lần lượt là 10;4{,}8;3{,}84;2{,}88;5. Kiểm tra hệ thức: 3{,}84\cdot6=23{,}04=(4{,}8)^2, 2{,}88\cdot8=23{,}04. Đồng dạng giữ góc, nên góc B không đổi.
Tự kiểm tra. Trước một bài mới, tôi có nêu điều kiện để dùng đồng dạng không? Tôi có ghi đúng thứ tự đỉnh tương ứng không? Tôi có chứng minh được hệ thức tích từ tam giác vuông nhỏ không? Tôi có chỉ ra điều kiện riêng làm đường vuông góc đi qua trung điểm không? Tôi có kiểm tra miền và dấu bằng khi tối ưu không?
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu