Tham số đổi, số nghiệm đổi: giữ đúng bậc và đủ nhánh
Phân loại phương trình có một nhân tử cố định, kiểm tra khi hai nghiệm trùng hoặc cả phương trình thành đồng nhất, rồi dựng tham số theo nghiệm mong muốn.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Tham số đổi, số nghiệm đổi: giữ đúng bậc và đủ nhánh
Phân loại phương trình có một nhân tử cố định, kiểm tra khi hai nghiệm trùng hoặc cả phương trình thành đồng nhất, rồi dựng tham số theo nghiệm mong muốn.
01. Số nghiệm có thể đổi vì bậc phương trình đổi
Trong một họ phương trình có tham số, cùng một dòng biến đổi có thể dẫn đến hai nghiệm, một nghiệm hoặc mọi số thực đều là nghiệm. Muốn phân loại đủ, cần kiểm tra hệ số nào có thể bằng 0, và hai nhánh nghiệm có thể trùng nhau ở đâu.
Ta bắt đầu từ một công cụ tổng quát: tích của một nhân tử bậc nhất cố định và một nhân tử bậc nhất có hệ số thay đổi. Sau đó dùng công cụ để lập các họ phương trình có nghiệm theo yêu cầu, đồng thời giải thích vì sao không thể chỉ nhìn biệt thức.
Trong toàn bài, nghiệm được xét trên tập số thực, trừ mục nào ghi rõ chuyển sang số nguyên. Một nghiệm xuất hiện ở hai nhánh vẫn chỉ là một giá trị nghiệm phân biệt .
02. Nhân tử cố định và nhân tử có thể biến mất
Cho u\ne0, v,\alpha,\beta là các số thực. Xét
(ux+v)(\alpha x+\beta)=0.
Tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một nhân tử bằng 0. Nhân tử thứ nhất luôn cho đúng một nghiệm cố định x_0=-v/u. Nhân tử thứ hai phải xét ba trường hợp:
- Nếu \alpha\ne0, nó cho nghiệm x_1=-\beta/\alpha.
- Nếu \alpha=0,\beta\ne0, nó không bằng 0 với bất kì x, nên chỉ còn nghiệm x_0.
- Nếu \alpha=\beta=0, nhân tử thứ hai bằng 0 với mọi x, nên mọi số thực là nghiệm của phương trình tích.
Khi \alpha\ne0, hai nghiệm trùng nhau khi và chỉ khi
-\frac vu=-\frac\beta\alpha
\iff u\beta=v\alpha.
Các phép nhân chéo hợp lệ vì u,\alpha\ne0. Do đó nhánh này có một nghiệm phân biệt nếu u\beta=v\alpha, có hai nếu u\beta\ne v\alpha. Khi hai nghiệm trùng, nhân tử thứ hai là (\alpha/u)(ux+v), nên phương trình là một hằng số khác 0 nhân với bình phương (ux+v)^2.
Phân loại trên vừa cần vừa đủ: mọi nghiệm phải thuộc ít nhất một nhánh, và mọi nghiệm của mỗi nhánh đều làm tích bằng 0. Không có trường hợp vô nghiệm trên tập số thực vì nhân tử cố định luôn có nghiệm x_0.
03. Biệt thức cũng phải đi sau bước kiểm tra bậc
Khai triển tích được
u\alpha x^2+(u\beta+v\alpha)x+v\beta=0.
Khi \alpha\ne0, đây là phương trình bậc hai vì u\ne0. Biệt thức có cấu trúc:
\Delta=(u\beta+v\alpha)^2-4(u\alpha)(v\beta)
=(u\beta-v\alpha)^2.
Nó không âm, đúng với việc phương trình là tích của hai nhân tử bậc nhất thực. Biệt thức bằng 0 đúng khi hai nhánh trùng nhau. Phân tích nhân tử giải thích vì sao biệt thức lại là một bình phương, thay vì chỉ bấm ra một con số.
Nếu \alpha=0, hệ số bậc hai đã mất. Khi \beta\ne0, phương trình chỉ còn u\beta x+v\beta=0, có một nghiệm dù biểu thức tính theo công thức biệt thức là (u\beta)^2>0. Khi \beta=0, phương trình thành 0=0, có vô số nghiệm; con số \Delta=0 không có nghĩa là một nghiệm kép của phương trình bậc hai.
Quy tắc “biệt thức dương thì có hai nghiệm phân biệt” cần hệ số bậc hai khác 0. Trước khi áp dụng quy tắc, phải chứng minh phương trình thật sự vẫn là bậc hai.
04. Một họ chứa phương trình nguồn
Xét họ mới với hai tham số thực a,b:
9x^2-1=(3x-1)(ax+b).
Vế trái là (3x-1)(3x+1). Chuyển vế rồi đặt nhân tử chung cho phép biến đổi tương đương với mọi x,a,b:
(3x-1)\bigl[(3-a)x+1-b\bigr]=0.
Nhân tử cố định là 3x-1, luôn cho x_0=1/3. Ta không chia cho nhân tử này trong quá trình biến đổi, nên không mất nghiệm ấy.
Phương trình được chọn từ bài nguồn là trường hợp a=2,b=7, tức
9x^2-1=(3x-1)(2x+7).
Phương trình tương đương (3x-1)(x-6)=0, nên có hai nghiệm phân biệt x=1/3,6. Kiểm tra: ở x=1/3, hai vế đều bằng 0; ở x=6, hai vế đều bằng 323. Đây là một ứng dụng của công cụ, không cần triển khai toàn bộ phương trình bậc hai mới thấy được hai nhánh.
05. Phân loại đầy đủ trên mặt phẳng tham số
Áp dụng mục 02 với \alpha=3-a, \beta=1-b. Nếu a\ne3, nghiệm nhánh thứ hai là
x_1=\frac{b-1}{3-a}.
Nó trùng 1/3 khi và chỉ khi 3(b-1)=3-a, tức a+3b=6. Nếu a=3, phải xét trực tiếp nhân tử hằng 1-b. Kết quả đầy đủ là:
- a\ne3, a+3b\ne6: có hai nghiệm thực phân biệt 1/3 và (b-1)/(3-a).
- a\ne3, a+3b=6: chỉ có nghiệm phân biệt 1/3, là nghiệm kép của phương trình bậc hai.
- a=3,b\ne1: phương trình bậc nhất, chỉ có nghiệm 1/3.
- a=3,b=1: phương trình đồng nhất, mọi số thực đều là nghiệm.
Hai đường a=3 và a+3b=6 cùng đi qua I=(3,1). Điểm giao phải được tách riêng; không thể gộp nó vào một dòng “có một nghiệm” chỉ vì nó nằm trên cả hai đường đặc biệt.
Một phần mặt phẳng tham số, với tỉ lệ ngang 32 điểm ảnh cho một đơn vị a, tỉ lệ đứng 50 điểm ảnh cho một đơn vị b. Ngoài hai đường có hai nghiệm; trên mỗi đường, trừ I, có một nghiệm. Tại I có vô số nghiệm. Điểm J=(1,1) cho hai nghiệm 0,1/3.
Nếu vẫn muốn kiểm tra qua dạng khai triển, ta có
3(3-a)x^2+(a-3b)x+b-1=0,\qquad
\Delta=(a+3b-6)^2.
Phải kiểm tra a\ne3 trước khi dùng biệt thức để đếm nghiệm. Khi a=3, phân loại bằng hệ số còn lại đúng như hai dòng cuối.
06. Thiết kế tham số để có nghiệm mình muốn
Muốn nghiệm nhánh thứ hai bằng một số thực c, với a\ne3, ta cần và đủ
b=1+(3-a)c.
Chiều cần theo từ c=(b-1)/(3-a). Với chiều đủ, thay b vào nhân tử biến đổi:
(3-a)x+1-b=(3-a)(x-c).
Vì 3-a\ne0, nghiệm đúng là x=1/3 hoặc x=c. Nếu muốn hai nghiệm phân biệt, cần thêm c\ne1/3. Nếu chọn c=1/3, hai nhánh trùng nhau chứ không tạo hai nghiệm bằng cách viết lặp lại cùng một số.
Ví dụ mới: chọn c=2, nên b=7-2a. Đặt a=t, ta được họ
9x^2-1=(3x-1)\bigl[tx+7-2t\bigr].
Phương trình tương đương
(3-t)(3x-1)(x-2)=0.
Với mọi t\ne3, nó có đúng hai nghiệm 1/3,2, độc lập với t. Nhưng ở t=3, hệ số 3-t bằng 0 và mọi số thực đều là nghiệm. Nếu rút gọn (6-2t)/(3-t) thành 2 rồi quên t\ne3, ta sẽ bỏ sót toàn bộ trường hợp đồng nhất.
Công thức thiết kế chứa cả chiều đảo và điều kiện loại: muốn đúng hai nghiệm đã định, không được chọn tham số làm hệ số của nhánh mới biến mất.
07. Đổi miền nghiệm có thể làm một phép chia trở nên hợp lệ
Trở lại phương trình nguồn với a=2,b=7. Trên tập số thực, chia cho 3x-1 sẽ làm mất nghiệm 1/3, nên phải tách trường hợp trước. Nếu bài mới chỉ hỏi x nguyên, thì 3x-1\ne0 với mọi số nguyên x; lúc ấy phép chia là hợp lệ trên toàn miền đã chọn và cho duy nhất x=6.
Khái quát thêm, giả sử a,b nguyên và chỉ tìm x nguyên. Nghiệm cố định 1/3 không thuộc miền. Do đó:
- Nếu a\ne3, có đúng một nghiệm nguyên khi và chỉ khi 3-a là ước của b-1, kể cả ước âm. Nghiệm là (b-1)/(3-a). Nếu không chia hết, không có nghiệm nguyên.
- Nếu a=3,b\ne1, không có nghiệm nguyên.
- Nếu a=3,b=1, mọi số nguyên đều là nghiệm.
Ở trường hợp đầu, nghiệm nguyên không thể trùng 1/3, nên không cần trừ một nghiệm trùng trong miền nguyên. Nghiệm 0 cũng được phép vì đang xét mọi số nguyên, không phải chỉ số nguyên dương.
Phép biến đổi đúng hay sai phụ thuộc vào miền đang dùng. Điều cần kiểm tra trước một phép chia là nhân tử có thể bằng 0 trong miền ấy hay không, chứ không phải một khẩu hiệu “luôn được chia” hoặc “không bao giờ được chia”.
08. Tự kiểm tra
Thử 1. Với a=0,b=2, phương trình có vô số nghiệm vì a+3b=6 không?
Xem lời giải
Không. a\ne3, nên phương trình vẫn là bậc hai. Tích trở thành (3x-1)^2=0, chỉ có một nghiệm phân biệt x=1/3. Vô số nghiệm chỉ xảy ra tại đúng cặp (3,1).
Thử 2. Với a=3,b=2, biểu thức biệt thức bằng 9>0. Vì sao không có hai nghiệm?
Xem lời giải
Hệ số bậc hai 3(3-a) bằng 0. Phương trình thực tế là -(3x-1)=0, bậc nhất, nên chỉ có x=1/3. Quy tắc biệt thức của phương trình bậc hai không áp dụng.
Thử 3. Giữ a=4, muốn hai nghiệm 1/3 và -5. Phải chọn b nào, và có cần kiểm tra ngược không?
Xem lời giải và dựng đủ
Chọn b=1+(3-4)(-5)=6. Khi ấy tích là -(3x-1)(x+5)=0, đúng hai nghiệm phân biệt đã yêu cầu. Vì a=4\ne3, hệ số ngoài không bằng 0, nên không có nghiệm khác.
Thử 4. Với a=1,b=1, có bao nhiêu nghiệm thực và bao nhiêu nghiệm nguyên?
Xem lời giải
Tích là (3x-1)2x=0, nên có hai nghiệm thực 0,1/3. Chỉ 0 là số nguyên. Nếu tự loại 0 vì nghĩ số nguyên phải dương, ta đã thay miền của câu hỏi.
Thử 5. Một người nói: “Mọi phương trình trong họ có nhiều nhất hai nghiệm vì công thức có x^2.” Hãy đưa phản ví dụ chính xác.
Xem lời giải
Chọn a=3,b=1. Hai vế đều bằng (3x-1)(3x+1)=9x^2-1 với mọi x, nên phương trình có vô số nghiệm. Bậc phải xét sau khi chuyển về một vế và thu gọn, không chỉ nhìn thấy kí hiệu x^2 ở một phía.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện