Chia đoạn theo tỉ số: vị trí và tính duy nhất
Tìm điểm chia bằng một công thức có điều kiện, hiểu vì sao đường song song và hình chiếu giữ tỉ số, rồi dùng tính duy nhất để nhận diện điểm.
TOÁN THCS · TỈ SỐ VÀ PHÉP DỰNG
Chia đoạn theo tỉ số: vị trí và tính duy nhất
Tìm điểm chia bằng một công thức có điều kiện, hiểu vì sao đường song song và hình chiếu giữ tỉ số, rồi dùng tính duy nhất để nhận diện điểm.
1. Một tỉ số xác định điểm ở đâu?
Cho đoạn AB có độ dài L>0. Ta muốn đặt một điểm X ở trong đoạn sao cho AX/XB=r, với r>0. Vì AX+XB=L, đặt AX=t thì
\frac{t}{L-t}=r\Longleftrightarrow t=r(L-t)\Longleftrightarrow\boxed{t=\frac{rL}{1+r}}.
Đây là một lời giải có cả hai chiều. Bất kì điểm phù hợp nào đều phải cách A đúng độ dài vừa tìm. Ngược lại, vì 0<r/(1+r)<1, ta dựng được duy nhất một điểm trên đoạn AB cách A độ dài ấy; khi đó XB=L/(1+r)>0, nên tỉ số đúng bằng r.
Ví dụ AB=12, AX:XB=2:1 cho AX=8,XB=4. Đổi thứ tự thành XB:XA=2:1 sẽ cho AX=4. Thứ tự tên đoạn trong tỉ số là một phần của dữ kiện.
Dự đoán. Nếu bỏ điều kiện X nằm trong đoạn, có còn chỉ một điểm tạo tỉ số 2:1 không? Độ dài không có dấu, nên điểm trên phần kéo dài cần được xét riêng.
2. Cùng tỉ số độ dài có thể có thêm một điểm ở ngoài đoạn
Đặt A tại số 0, B tại số 12 trên một trục thẳng. Điểm X ở số 8 cho AX/XB=8/4=2. Nhưng điểm Y ở số 24 cũng cho AY/YB=24/12=2.
Vị trí trên trục được vẽ cùng tỉ lệ. Điểm X chia trong đoạn theo tỉ số hai trên một; điểm Y ở ngoài cũng tạo tỉ số khoảng cách hai trên một.
Với đoạn tổng quát từ 0 đến L>0, gọi tọa độ điểm cần tìm là t. Điều kiện độ dài là |t|/|L-t|=r, với t\ne L. Xét vị trí:
Nếu 0<t<L, ta đã có t=rL/(1+r). Nếu t>L, thì
\frac{t}{t-L}=r\Rightarrow t=\frac{rL}{r-1}.
Giá trị này nằm bên phải B đúng khi r>1. Nếu t<0, thì
\frac{-t}{L-t}=r\Rightarrow t=\frac{rL}{r-1},
và giá trị này nằm bên trái A đúng khi 0<r<1. Khi r=1, không có điểm ngoài đoạn cách đều A,B; chỉ có trung điểm bên trong.
Thay các giá trị ấy vào tỉ số độ dài xác nhận chúng phù hợp với đúng miền vừa nêu. Vậy với r>0,r\ne1, có một điểm trong đoạn và một điểm ngoài đoạn trên đường thẳng tạo cùng tỉ số độ dài. Với r=1, chỉ có trung điểm. Kết luận “hai điểm cùng chia theo một tỉ số thì trùng nhau” phải kèm điều kiện chúng cùng ở trong đoạn, hoặc đã xác định đúng miền vị trí.
3. Vì sao một quy tắc bậc nhất giữ được tỉ số chia?
Xét các tọa độ trên một trục số. Một quy tắc f(t)=at+b, với a\ne0, biến mỗi tọa độ t thành một tọa độ mới. Với hai vị trí s,t, độ dài giữa hai ảnh là
|f(t)-f(s)|=|a(t-s)|=|a|\,|t-s|.
Mọi độ dài trên trục đều được nhân với cùng một số |a|>0. Vì thế, nếu x nằm giữa u,v, thì
\frac{|f(x)-f(u)|}{|f(v)-f(x)|}=\frac{|x-u|}{|v-x|}.
Vị trí “nằm giữa” cũng được giữ, dù thứ tự trái-phải có thể đảo. Viết x=(1-\lambda)u+\lambda v, với 0<\lambda<1, thì
f(x)=(1-\lambda)f(u)+\lambda f(v).
Đây là một tọa độ nằm giữa f(u),f(v). Nếu a>0, thứ tự giữ nguyên; nếu a<0, thứ tự đảo nhưng tỉ số độ dài không đổi.
Ví dụ độc lập, dùng f(t)=10-2t cho các điểm A=0,X=8,B=12. Ảnh lần lượt là 10,-6,-14. Điểm -6 nằm giữa -14 và 10, và hai khoảng cách tương ứng là 16,8, vẫn có tỉ số 2:1.
Nếu a=0, mọi điểm cùng biến thành b. Hai khoảng cách đều bằng không, nên tỉ số trở thành 0/0, không xác định. Cần giữ điều kiện quy tắc không làm cả đoạn co lại thành một điểm.
4. Đường song song giữ tỉ số chia trong tam giác
Cho tam giác không suy biến VAB, với M nằm trong AB. Chọn D trong cạnh VA. Qua D kẻ đường song song AB, cắt VB tại E và VM tại I. Đường cắt nằm trong tam giác, nên E nằm trong VB, I nằm trong đoạn DE. Mỗi giao điểm là duy nhất vì các đường VB,VM không song song với đường cắt.
Trong hai tam giác VAM và VBM, Thales cho
\frac{DI}{AM}=\frac{VI}{VM},\qquad\frac{IE}{MB}=\frac{VI}{VM}.
Hai cặp đoạn được thu theo cùng một tỉ số dương. Chia hai đẳng thức được
\boxed{\frac{DI}{IE}=\frac{AM}{MB}}.
Như vậy, nếu M chia đáy theo tỉ số 2:1, điểm I cũng chia đoạn song song theo tỉ số 2:1. Nếu M là trung điểm, I là trung điểm. Độ dài đoạn cắt thay đổi khi di chuyển D, nhưng tỉ số chia được giữ.
Cùng một đường từ V đi qua điểm chia M trên đáy và điểm chia I trên đoạn song song. Các số chỉ tỉ lệ hai phần, không phải số đo tuyệt đối.
Chiều ngược và tính duy nhất
Với đường cắt DE đã cố định, lấy I trong DE và đặt r=DI/IE>0. Theo phần 1, tồn tại duy nhất một điểm M trong AB có AM/MB=r. Gọi I' là giao điểm của VM với DE, đã có theo chiều thuận. Tỉ số được giữ cho DI'/I'E=r=DI/IE. Hai điểm I,I' cùng nằm trong DE và cùng chia đoạn theo một tỉ số, nên chúng trùng nhau. Như vậy tia VI thực sự đi qua M; giao điểm ngược tồn tại và duy nhất. Việc nối từ V thiết lập một tương ứng một-một giữa các điểm trong hai đoạn, đồng thời giữ tỉ số chia.
Điều kiện trong đoạn bảo đảm các tia gặp đúng đoạn cần xét; nếu dùng điểm trên phần kéo dài, phải xác định vị trí và thứ tự lại, không tự dùng nguyên kết luận về trung điểm bên trong.
5. Một ứng dụng chọn lọc: đường qua trung điểm chia đôi đoạn song song
Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB,AC>0. Gọi H là chân đường cao từ A xuống cạnh huyền BC, D là hình chiếu vuông góc của H lên AC, O là trung điểm AB. Gọi I là giao điểm của CO với DH.
Chân đường cao H nằm trong BC. Vì HD và AB cùng vuông góc với AC, ta có HD\parallel AB; đường qua điểm trong BC song song AB cắt phần trong CA, nên D nằm trong CA. Do đó đây chính là mô hình phần 4 với đỉnh V=C, đáy AB, điểm chia M=O, và đoạn cắt DE được thay bằng DH.
Vì AO=OB, tỉ số được giữ cho
\frac{DI}{IH}=\frac{AO}{OB}=1.
Điểm I đã nằm trong DH, nên I là trung điểm của DH. Kết luận không cần tính tọa độ trực tâm hoặc độ dài các cạnh. Vai trò của hình chiếu là tạo cặp song song; vai trò của trung điểm O là cung cấp đúng tỉ số 1:1.
Nếu thay O bằng một điểm trong AB có AO:OB=2:1, kết quả đổi thành DI:IH=2:1. Tính song song vẫn được giữ, nhưng tính trung điểm mất đi. Đó là cách tách phần nào của kết luận đến từ giả thiết nào.
6. Hình chiếu vuông góc giữ tỉ số khi nào?
Xét một đường thẳng y=mx+b trong hệ trục vuông góc, và chiếu các điểm trên nó xuống trục ngang. Điểm có tọa độ (t,mt+b) có hình chiếu (t,0).
Với hai điểm ứng với t_1,t_2, định lí Pythagore cho bình phương khoảng cách:
(t_2-t_1)^2+[m(t_2-t_1)]^2=(1+m^2)(t_2-t_1)^2.
Vì thế khoảng cách trên đường ban đầu là \sqrt{1+m^2}\,|t_2-t_1|, còn khoảng cách giữa hai hình chiếu là |t_2-t_1|. Tất cả độ dài cùng được nhân với hệ số 1/\sqrt{1+m^2}>0, nên tỉ số chia được giữ.
Ví dụ độc lập: A=(0,2),B=(8,8), và X=(2,7/2). Cả ba thuộc đường y=3x/4+2, với X ở trong AB. Hình chiếu lên trục ngang có tọa độ 0,2,8, nên tỉ số hai đoạn chiếu là 2:6=1:3. Các độ dài ban đầu là AX=5/2,XB=15/2, cũng có tỉ số 1:3.
Các điểm mang dấu phẩy là hình chiếu vuông góc xuống trục ngang. Hai đoạn trên đường xiên và hai đoạn chiếu cùng có tỉ số một trên ba.
Đường thẳng đứng không có dạng y=mx+b. Khi chiếu đường x=2 xuống trục ngang, mọi điểm đều thành (2,0). Ví dụ (2,1),(2,3),(2,7) có các khoảng cách liên tiếp là 2,4, nhưng hai khoảng cách chiếu đều bằng không. Phép chiếu đã làm mất thông tin vị trí.
Có thể suy ngược trung điểm từ hình chiếu không?
Có, nếu ba điểm ban đầu thẳng hàng trên một đường không vuông góc với đường nhận hình chiếu, và điểm đang xét ở trong đoạn hai đầu mút. Khi ấy hệ số độ dài chung khác không; hai đoạn chiếu bằng nhau kéo theo hai đoạn ban đầu bằng nhau. Nếu đường ban đầu vuông góc với đường nhận hình chiếu, mọi hình chiếu trùng nhau, nên các đẳng thức khoảng cách bằng không không cho biết điểm nào là trung điểm.
7. Dùng tính duy nhất để nhận ra một điểm đã dựng bằng hai cách
Giả sử hai cách dựng cho hai điểm X,Y trong cùng đoạn AB. Nếu chứng minh được
\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YB}=r>0,
thì phần 1 cho AX=AY=rAB/(1+r). Trên cùng tia AB, chỉ có một điểm cách A độ dài ấy, nên X=Y.
Đây là một phương pháp chứng minh thẳng hàng: nếu một điểm đã biết thuộc một đường, còn điểm cần xét được xác định là cùng điểm ấy nhờ tỉ số và vị trí, ta chuyển được quan hệ thuộc đường. Tuy nhiên, phải chứng minh trước rằng giao điểm dùng trong lập luận tồn tại và nằm trong đoạn; phản ví dụ 8 và 24 ở phần 2 cho thấy không được bỏ kiểm tra vị trí.
Tỉ số chia không chỉ là một số để tính. Trên một miền vị trí đã xác định, nó là một cách nhận diện điểm. Đường song song và hình chiếu không làm co cả đoạn thành một điểm có thể giữ cách nhận diện ấy, nhờ cùng một hệ số độ dài khác không.
Tự chuyển giao vào một dữ kiện mới
Trên đoạn AB=15, một điểm X ở trong đoạn có AX:XB=3:2. Công thức cho AX=9,XB=6. Nếu một đường cắt song song tạo đoạn DE=10 trong mô hình phần 4, điểm tương ứng chia đoạn ấy thành DI=6,IE=4. Thay đổi kích thước đoạn làm hai độ dài thay đổi, nhưng tỉ số và thứ tự tương ứng được giữ.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu