Tối ưu thực tế với lựa chọn nguyên: lợi nhuận và chi phí
Lập đúng miền lựa chọn, hoàn thành bình phương cho lợi nhuận và chứng minh cách so sánh chi phí theo ngày–nhân lực, kể cả các mô hình sản lượng khác nhau.
TOÁN 9 · MÔ HÌNH, MIỀN VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
Tối ưu thực tế với lựa chọn nguyên: lợi nhuận và chi phí
Lập đúng miền lựa chọn, hoàn thành bình phương cho lợi nhuận và chứng minh cách so sánh chi phí theo ngày–nhân lực, kể cả các mô hình sản lượng khác nhau.
1. Tối ưu bắt đầu từ tập lựa chọn hợp lệ
“Thêm nhiều hơn” có thể làm tổng lợi nhuận giảm; “hoàn thành nhanh hơn” có thể làm tiền thưởng nhân công tăng. Muốn tối ưu, cần biết đại lượng nào công ty được chọn, quan hệ nào nối các đại lượng, và lựa chọn nào thật sự được phép.
Ba lớp phải tách rõ: mô hình mô tả giả thiết; biểu thức mục tiêu cho lợi nhuận hoặc chi phí; miền lựa chọn xác định số thực, số nguyên hay các ước của một số. Một giá trị tối ưu trên số thực chưa chắc là một kế hoạch thực hiện được.
Ta học hai công cụ khác nhau: hoàn thành bình phương cho tam thức bậc hai, và so sánh hiệu cho biểu thức ad+b/d. Không phải mọi đại lượng biến thiên ngược chiều đều tạo ra tam thức bậc hai.
2. Tam thức bậc hai: khoảng cách tới đỉnh quyết định
Với q>0, biểu thức f(x)=-qx^2+bx+c có thể viết
f(x)=-q\left(x-\frac{b}{2q}\right)^2+c+\frac{b^2}{4q}.
Đặt x_0=b/(2q). Vì bình phương không âm, f(x) đạt giá trị lớn nhất trên số thực tại x=x_0. Quan trọng hơn, với hai lựa chọn u,v, nếu |u-x_0|<|v-x_0|, thì f(u)>f(v). Đây là căn cứ để xét ràng buộc nguyên.
Nếu x_0=7{,}5 nhưng số xe phải nguyên, có thể chọn một giá trị duy nhất bằng cách làm tròn thông thường không?
Gợi ý và quy tắc đầy đủ
Nếu miền là toàn bộ các số nguyên trong một đoạn và đỉnh nằm bên trong, chỉ cần so hai số nguyên hai phía của đỉnh; các số nguyên khác xa đỉnh hơn. Nếu đỉnh ở ngoài đoạn, chọn đầu mút hợp lệ gần đỉnh nhất. Nếu hai số cách đều đỉnh thì cho cùng giá trị. Với x_0=7{,}5, cả 7,8 đều cần được giữ lại.
Quy tắc tương tự cho qx^2+bx+c, q>0, khi tìm nhỏ nhất: hoàn thành bình phương rồi tìm điểm hợp lệ gần tâm bình phương nhất. Không được áp dụng “xét hai số nguyên gần đỉnh” mà bỏ qua giới hạn của miền.
3. Lợi nhuận đội xe: lập tổng trước khi tối ưu
Giả sử ban đầu có N xe, lợi nhuận trung bình mỗi xe là p triệu đồng/ngày. Mỗi xe thêm vào khiến lợi nhuận của mỗi xe trong toàn đội giảm q triệu đồng/ngày, với p,q>0. Nếu thêm x xe:
\text{Số xe}=N+x,\qquad\text{Lợi nhuận mỗi xe}=p-qx.
Tổng lợi nhuận là
M(x)=(N+x)(p-qx)=-qx^2+(p-qN)x+Np.
Với số xe bổ sung không âm, x là số nguyên và x\ge0. Nếu chỉ xét vùng mà lợi nhuận mỗi xe không âm, thêm x\le p/q. Mô hình tuyến tính còn cần phù hợp với phạm vi khảo sát; không tự mở rộng vô hạn một dự báo thực tế.
Đỉnh thực nằm tại
x_0=\frac{p-qN}{2q}.
Nếu p-qN\le0, đỉnh không nằm phía bên phải 0; thêm xe không cải thiện tổng lợi nhuận trong mô hình này. Nếu có giới hạn năng lực vận hành, phải thêm giới hạn ấy vào miền trước khi chọn.
4. Ứng dụng: vì sao có hai phương án cùng tốt?
Lấy N=35,p=1,q=0{,}02. Việc đổi 20 nghìn đồng thành 0{,}02 triệu đồng phải làm trước khi lập biểu thức. Ta có 0\le x\le50, x nguyên, và
M(x)=(35+x)(1-0{,}02x)=-0{,}02x^2+0{,}3x+35.
Hoàn thành bình phương:
\boxed{M(x)=36{,}125-0{,}02(x-7{,}5)^2}.
Hai số nguyên gần 7{,}5 nhất là 7,8; cả hai nằm trong miền. Tính trực tiếp:
M(7)=42\cdot0{,}86=36{,}12,\qquad M(8)=43\cdot0{,}84=36{,}12.
Vậy có thể thêm 7 hoặc 8 xe; tổng lợi nhuận tối đa theo mô hình là 36{,}12 triệu đồng/ngày. Giá trị thực 36{,}125 không đạt được với số xe nguyên.
Đường cong được dựng đúng từ công thức; hai điểm nguyên tô màu nằm thấp hơn đỉnh một lượng 0{,}005. Trục tung được phóng đại và không bắt đầu từ 0, để nhìn rõ chênh lệch nhỏ.
Miền thay đổi thì đáp án thay đổi. Nếu chỉ được thêm tối đa 5 xe, các lựa chọn 7,8 không còn hợp lệ. Trong 0\le x\le5, 5 gần đỉnh nhất, cho M(5)=36. Không được giữ đáp án của bài không có giới hạn.
5. Công việc cố định: mô hình tích, mục tiêu dạng tổng
Giả sử cần làm Q sản phẩm; mỗi người làm p sản phẩm/ngày với năng suất không đổi. Dùng n người trong d ngày. Trong mô hình mọi người làm đủ ngày và tạo đúng số sản phẩm,
pnd=Q,\qquad nd=N=\frac Qp.
Nếu n,d đều nguyên dương, N phải là số nguyên dương và d phải là một ước của N. Đây là một giả thiết về cách tổ chức công việc, không phải điều tự động suy ra từ từ “ngày”.
Gọi a>0 là tiền thuê theo ngày, b>0 là tiền thưởng mỗi người sau khi hoàn thành, cùng một đơn vị tiền. Khi đó
C=ad+bn,\qquad\boxed{C(d)=ad+\frac{bN}{d}}.
Đây không phải tam thức bậc hai theo d. Một khoản tăng theo d, khoản kia giảm theo d; ta cần một công cụ khác.
Nếu được dừng sớm trong ngày hoặc thuê theo ngày làm tròn?
Khi cho phép phần ngày cuối không làm đủ, nhưng tiền thuê tính trọn ngày, điều kiện thích hợp thường là pnd\ge Q, không phải luôn bằng Q. Với mỗi d, số người ít nhất là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn N/d, kí hiệu \lceil N/d\rceil. Chi phí trở thành ad+b\lceil N/d\rceil. Không được tự giới hạn d vào các ước khi mô hình cho phép phương án này.
6. Chi phí hai chiều: chứng minh cách chọn hai ứng viên
Đặt K=bN>0, xét C(d)=ad+K/d với d>0. Từ bình phương không âm:
\left(\sqrt{ad}-\sqrt{\frac Kd}\right)^2\ge0\quad\Longrightarrow\quad C(d)\ge2\sqrt{aK}.
Dấu bằng khi ad=K/d, tức d_0=\sqrt{K/a}. Đây là điểm cân bằng trên số thực. Để chọn trong một tập rời rạc, ta cần thêm một chứng minh so sánh.
Với 0<u<v,
C(v)-C(u)=a(v-u)+K\left(\frac1v-\frac1u\right)=(v-u)\left(a-\frac K{uv}\right).
- Nếu u<v\le d_0, thì uv<d_0^2=K/a, nên hiệu âm: đi sang phải làm chi phí giảm.
- Nếu d_0\le u<v, thì uv>d_0^2, nên hiệu dương: đi sang phải làm chi phí tăng.
Trong một tập lựa chọn hợp lệ, chỉ cần giữ ứng viên lớn nhất không vượt d_0 và ứng viên nhỏ nhất không dưới d_0, nếu chúng tồn tại. Tính chi phí của cả hai rồi so sánh. Nếu d_0 hợp lệ, nó là đáp án. Nếu cả tập ở một phía, chọn đầu mút hợp lệ gần phía d_0.
Không được thay bằng “chọn số gần d_0 nhất”. Hàm này không đối xứng quanh d_0 như parabol. Ví dụ C(d)=10d+301/d, với hai lựa chọn 5,6, có d_0=\sqrt{30{,}1}\approx5{,}486, gần 5 hơn. Nhưng
C(5)=\frac{551}{5}=110{,}2,\qquad C(6)=\frac{661}{6}\approx110{,}167<C(5).
Chênh lệch C(5)-C(6)=1/30>0 xác nhận phương án 6 rẻ hơn. Phải so giá trị hàm, không so riêng khoảng cách tới điểm cân bằng.
7. Ứng dụng và kiểm chứng trên hai mô hình sản lượng
Cần 1000 sản phẩm, năng suất 5 sản phẩm/người/ngày; tiền thuê 3 triệu đồng/ngày, thưởng 1 triệu đồng/người. Trong mô hình sản lượng đúng với ngày nguyên,
nd=200,\qquad C(d)=3d+\frac{200}{d},\qquad d\mid200.
Điểm cân bằng là d_0=\sqrt{200/3}\approx8{,}165. Hai ước kẹp điểm này là 8 và 10: 8 là ước lớn nhất ở dưới, 9 không phải ước. Theo chứng minh ở mục trước, mọi ước khác đều không tốt hơn một trong hai ứng viên ấy.
C(8)=24+25=49,\qquad C(10)=30+20=50.
Vậy chọn d=8, n=25, chi phí 49 triệu đồng. Kiểm chứng trực tiếp: 25\cdot8\cdot5=1000, tiền thuê 24, tiền thưởng 25, tổng 49.
Nếu cho phép nd\ge200 và trả tiền thuê trọn ngày, liệu có một phương án không thuộc tập ước rẻ hơn 49 không?
Một cách chặn dưới không cần liệt kê
Với n,d nguyên dương và nd\ge200,
3d+n\ge2\sqrt{3dn}\ge2\sqrt{600}>48.
Bất đẳng thức cuối đúng vì 600>24^2=576. Chi phí 3d+n là số nguyên, nên phải ít nhất 49. Phương án (d,n)=(8,25) đạt đúng 49, nên vẫn tối ưu trong mô hình nới rộng này. Đây là chứng minh bổ sung cho bộ số cụ thể, không cho phép đồng nhất hai mô hình trong mọi bài.
8. Chuyển giao với dữ kiện mới
Thử 1: đội xe khác. Ban đầu 20 xe, lợi nhuận 0{,}9 triệu đồng/xe/ngày; mỗi xe thêm làm lợi nhuận mỗi xe giảm 0{,}02 triệu đồng. Lập mô hình và xác định các lựa chọn tốt nhất.
Gợi ý và lời giải có điều kiện
Ta có M(x)=(20+x)(0{,}9-0{,}02x)=-0{,}02x^2+0{,}5x+18, với x nguyên, 0\le x\le45. Đỉnh là 12{,}5, nên thử 12,13. Hai giá trị đều bằng 21{,}12. Cả hai số xe bổ sung đều tối ưu trong miền này.
Thử 2: sản lượng và tiền thưởng khác. Cần 360 sản phẩm; mỗi người làm 6 sản phẩm/ngày; thuê 4 triệu đồng/ngày; thưởng 2 triệu đồng/người. Giả sử sản lượng đúng và ngày nguyên.
Gợi ý và lời giải
Ta có nd=60, C(d)=4d+120/d, d\mid60. Điểm cân bằng \sqrt{30} nằm giữa hai ước 5,6. Hai giá trị C(5)=20+24=44, C(6)=24+20=44 bằng nhau. Chọn (d,n)=(5,12) hoặc (6,10), chi phí tối thiểu 44 triệu đồng.
Thử 3: đỉnh nằm ngoài miền. Với N=60,p=1,q=0{,}02, có nên thêm xe nếu chỉ xét x\ge0?
Lời giải
Đỉnh x_0=(1-0{,}02\cdot60)/(0{,}04)=-5. Trong các số nguyên không âm, 0 gần đỉnh nhất. Vì vậy không thêm xe; M(0)=60. Kiểm tra M(1)=61\cdot0{,}98=59{,}78<60. Không được làm tròn một đỉnh âm rồi kết luận số xe bổ sung âm.
Tự kiểm tra. Tôi có viết đơn vị tiền thống nhất không? Tôi có xác định rõ mô hình làm đủ ngày hay trả tiền ngày làm tròn không? Tôi có phân biệt số nguyên với ước nguyên không? Tôi có chứng minh vì sao chỉ xét các ứng viên ấy không? Tôi có kiểm tra miền, dấu bằng và mọi trường hợp đồng hạng trước khi kết luận không?
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu