Bảng nhóm giữ được gì: ngưỡng, trung vị và cận có thể đạt
Dùng số đếm lũy tích để tìm đủ các giá trị còn khả thi, chứng minh cận đạt được và phân biệt số liệu thực với số liệu nguyên.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Bảng nhóm giữ được gì: ngưỡng, trung vị và cận có thể đạt
Dùng số đếm lũy tích để tìm đủ các giá trị còn khả thi, chứng minh cận đạt được và phân biệt số liệu thực với số liệu nguyên.
01. Bảng nhóm giữ số lượng, nhưng giấu các vị trí bên trong
Một bảng ghép nhóm cho biết bao nhiêu giá trị thuộc mỗi khoảng. Nó không cho biết từng giá trị cụ thể. Vì thế một số câu hỏi có đáp án chính xác, còn một số chỉ xác định được một tập đáp án. Muốn kết luận chặt, ta phải chứng minh cả cận lẫn cách tạo dữ liệu đạt cận.
Trong bài này, các nhóm có dạng [a;b), gồm a nhưng không gồm b; chúng được sắp tăng dần và không chồng nhau. Mỗi số liệu thuộc đúng một nhóm. Các giá trị có thể trùng nhau. Trước hết, số liệu được phép là số thực; phần sau sẽ đổi riêng sang mô hình chỉ nhận số nguyên.
Mục tiêu: dùng số đếm lũy tích để tìm chính xác miền số người dưới một ngưỡng và miền trung vị. Không thay các số liệu chưa biết bằng trung điểm nhóm rồi coi đó là dữ liệu thật.
02. Một bảng nguồn, hai loại câu hỏi
Bảng được chọn từ bài nguồn ghi chiều cao 50 học sinh, đơn vị cm:
Nhóm (cm) · Số bạn
[140;145) · 10
[145;150) · 18
[150;155) · 14
[155;160) · 6
[160;165) · 2
Tổng 10+18+14+6+2=50. Ví dụ nhóm [150;155) có tần số 14, tần số tương đối 14/50=0{,}28=28\%. Tần số tương đối là một tỉ lệ, có thể biểu diễn bằng phân số, số thập phân hoặc phần trăm nếu ghi đúng ý nghĩa.
Số bạn cao dưới 150 cm xác định chính xác: 10+18=28, chiếm 56\%. Nhưng số bạn cao dưới 148 cm chưa xác định riêng, vì ngưỡng 148 nằm bên trong nhóm [145;150).
03. Ngưỡng cắt bên trong một nhóm: tìm đủ các số đếm
Giả sử ngưỡng c nằm nghiêm ngặt trong nhóm [a;b), tức a<c<b. Nhóm này có n giá trị; các nhóm trước có tổng cộng L giá trị. Mọi giá trị của các nhóm trước đều nhỏ hơn c, còn các nhóm sau không có giá trị nào nhỏ hơn c.
Gọi k là số giá trị trong nhóm đang xét nhỏ hơn c. Khi ấy số đếm cần tìm là L+k, với k nguyên, 0\le k\le n. Vì vậy
\boxed{L\le \text{số giá trị nhỏ hơn }c\le L+n}.
Mọi số nguyên trong khoảng đều đạt được: chọn đúng k giá trị bằng (a+c)/2<c, và n-k giá trị bằng c. Cả hai số đều thuộc [a;b); những giá trị đúng bằng c không được tính vào điều kiện “nhỏ hơn”. Giữ nguyên các tần số nhóm khác bằng cách chọn các giá trị hợp lệ trong từng nhóm ấy.
Ở biên, kết luận đổi: nếu c=a, không giá trị nào của nhóm đang xét nhỏ hơn c, nên số đếm chính xác là L. Nếu c=b, tất cả n giá trị đều nhỏ hơn c, nên số đếm chính xác là L+n. Không dùng khoảng bất định của trường hợp bên trong để bỏ qua quy ước đầu mút.
Áp dụng vào ngưỡng một trăm bốn mươi tám
Trong bảng nguồn, L=10,n=18,c=148, nên số bạn dưới 148 cm có thể là bất kì số nguyên nào từ 10 đến 28. Các tỉ lệ có thể là 10/50,11/50,\ldots,28/50, tức từ 20\% đến 56\%, cách nhau 2 điểm phần trăm.
Để có đúng 23 bạn dưới ngưỡng, chọn 13 bạn trong nhóm thứ hai cao 146 cm và 5 bạn cao 148 cm. Cộng với 10 bạn ở nhóm trước được 23. Cách dựng cụ thể chứng minh tính khả thi, không chỉ là một phỏng đoán từ cận.
04. Trung vị phụ thuộc vào vị trí sau khi sắp xếp
Sắp N>0 số liệu theo thứ tự không giảm: x_1\le x_2\le\cdots\le x_N. Nếu N=2m+1 lẻ, trung vị là x_{m+1}. Nếu N=2m chẵn, trung vị là (x_m+x_{m+1})/2. Đây là định nghĩa trung vị của mẫu chưa ghép nhóm, không phải một công thức nội suy.
Trong bảng nguồn, các vị trí sau khi sắp xếp được xác định theo tần số lũy tích:
- Vị trí 1 đến 10 thuộc [140;145).
- Vị trí 11 đến 28 thuộc [145;150).
- Vị trí 29 đến 42 thuộc [150;155).
- Vị trí 43 đến 48 thuộc [155;160).
- Vị trí 49 đến 50 thuộc [160;165).
Vì N=50, hai vị trí giữa là 25,26, đều nằm trong nhóm thứ hai. Do đó
145\le x_{25}\le x_{26}<150,
\qquad145\le\frac{x_{25}+x_{26}}2<150.
Vậy trung vị thuộc [145;150). Mọi số thực M trong khoảng ấy đều có thể là trung vị: cho cả 18 giá trị của nhóm thứ hai bằng M, chọn các nhóm khác ở đúng khoảng của mình. Khi ấy x_{25}=x_{26}=M, đồng thời toàn bộ bảng vẫn được giữ nguyên.
Mỗi ô là một vị trí trong dãy đã xếp, không phải một khoảng chiều cao bằng nhau. Vị trí 25,26 là ô thứ 15,16 trong nhóm 18 bạn này.
Trung điểm nhóm 147{,}5 cm chỉ là một giá trị khả thi. Bảng không buộc trung vị bằng số ấy: chọn cả nhóm bằng 145 hoặc 149{,}9 cho hai trung vị khác nhau, vẫn đúng mọi tần số.
05. Khi hai vị trí giữa rơi vào hai nhóm khác nhau
Quy tắc tổng quát: nếu một vị trí giữa, hoặc cả hai vị trí giữa, nằm trong cùng nhóm [a;b), miền trung vị là [a;b). Cận dưới đạt bằng cách đặt các giá trị nhóm ở a; cận trên không đạt vì từng giá trị đều nhỏ hơn b. Mọi điểm trong khoảng đạt bằng cách cho các giá trị của nhóm cùng bằng điểm ấy.
Nếu N=2m, vị trí m ở nhóm [a;b), vị trí m+1 ở nhóm [c;d), với b\le c, thì trung vị phải thuộc
\boxed{\left[\frac{a+c}{2};\frac{b+d}{2}\right)}.
Chiều cần: hai giá trị giữa lần lượt không nhỏ hơn a,c, đồng thời nhỏ hơn b,d, nên trung bình có các cận ấy.
Chiều đủ: với bất kì 0\le\lambda<1, chọn mọi giá trị ở nhóm trước bằng a+\lambda(b-a), mọi giá trị ở nhóm sau bằng c+\lambda(d-c). Trung vị khi ấy là
\frac{a+c}{2}+\lambda\frac{(b-a)+(d-c)}2.
Vì hai độ rộng nhóm dương, biểu thức chạy qua toàn khoảng đã nêu. Hai nhóm được xác định từ vị trí m,m+1, nên không có giá trị ở một nhóm không rỗng xen giữa chúng. Các nhóm còn lại được chọn ở đúng khoảng, giữ thứ tự. Dữ liệu dựng được đúng bảng và đúng trung vị cần có.
Ví dụ mới: 10 số liệu, trong đó 5 thuộc [140;145), 5 thuộc [145;150). Trung vị thuộc [142{,}5;147{,}5), không bị buộc vào riêng một nhóm. Chọn năm giá trị bằng 142, năm giá trị bằng 148 thì trung vị là 145, dù không số liệu nào bằng 145.
06. Đổi sang số liệu nguyên thì tập trung vị cũng đổi
Thêm giả thiết mới cho bảng nguồn: các số liệu được ghi chỉ nhận giá trị nguyên cm. Khi ấy nhóm [145;150) chỉ chứa 145,146,147,148,149. Hai vị trí giữa đều nguyên trong tập ấy, nên trung vị chỉ có thể là
145,\ 145{,}5,\ 146,\ 146{,}5,\ 147,\ 147{,}5,\ 148,\ 148{,}5,\ 149.
Tất cả đều đạt được. Để có trung vị nguyên k, cho cả 18 số liệu nhóm thứ hai bằng k. Để có trung vị k+1/2, với k=145,146,147,148, cho 15 số liệu nhóm ấy bằng k, 3 số liệu còn lại bằng k+1. Khi cộng 10 vị trí ở nhóm trước, ta có x_{25}=k, x_{26}=k+1.
Mô hình số nguyên có trung vị lớn nhất 149, đạt được. Mô hình số thực ban đầu có cận trên 150, không đạt, và không có trung vị lớn nhất: với mỗi M<150, số (M+150)/2 lớn hơn và vẫn dựng được. Không được tự thêm giả thiết nguyên chỉ vì các đầu mút nhóm được viết bằng số nguyên.
07. Nhóm đông nhất chưa xác định được mốt của dữ liệu gốc
Nhóm [145;150) có 18 bạn, đông nhất trong bảng. Nó chiếm 36\%, chưa phải quá nửa mẫu. Hơn nữa, bảng chưa cho biết giá trị cụ thể nào xuất hiện nhiều lần nhất trong dữ liệu gốc.
Phản ví dụ: cho cả 10 bạn nhóm đầu cao 142 cm; trong nhóm thứ hai chọn 18 giá trị phân biệt 145+j/100, với j=1,2,\ldots,18. Ở các nhóm tiếp theo cũng chọn các giá trị phân biệt trong từng khoảng, chẳng hạn lần lượt bắt đầu từ 150{,}01, 155{,}01, 160{,}01 và tăng từng 0{,}01. Khi ấy 142 xuất hiện 10 lần, mọi giá trị khác chỉ một lần, nên mốt dữ liệu gốc là 142, thuộc nhóm không đông nhất.
Ngược lại, nếu cho 18 bạn nhóm thứ hai cùng cao 147 cm và chọn các nhóm khác sao cho không giá trị nào lặp tới 18 lần, mốt là 147. Hai mẫu có cùng bảng ghép nhóm nhưng mốt khác nhau. Hãy phân biệt “nhóm có tần số lớn nhất” với “giá trị xuất hiện nhiều nhất”.
08. Tự kiểm tra
Thử 1. Bảng nguồn cho biết chính xác bao nhiêu bạn dưới 155 cm? Bao nhiêu bạn đúng 150 cm?
Xem lời giải
Dưới 155 có đúng 10+18+14=42 bạn, chiếm 84\%. Số bạn đúng 150 có thể là bất kì số nguyên từ 0 đến 14: chọn số lượng ấy ở 150, những bạn còn lại trong nhóm thứ ba ở 152. Các nhóm khác không chứa 150.
Thử 2. Có thể khẳng định quá nửa mẫu nguồn cao dưới 148 cm không?
Xem lời giải và hai mẫu đối chứng
Không. Nếu cả nhóm thứ hai cao 148, chỉ có 10 bạn dưới ngưỡng. Nếu cả nhóm ấy cao 146, có 28 bạn dưới ngưỡng, vượt 25. Cùng một bảng cho cả khả năng đúng lẫn khả năng sai của nhận định.
Thử 3. Trung vị 149{,}75 có phù hợp với bảng nguồn không?
Xem lời giải theo từng mô hình
Phù hợp với số liệu thực: cho cả 18 bạn nhóm thứ hai nhận giá trị 149{,}75. Không phù hợp nếu đã thêm giả thiết số liệu nguyên cm, vì trung vị của hai số nguyên chỉ là số nguyên hoặc nửa số nguyên, và ở đây còn không vượt 149.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện