Nước trong hình trụ: từ mực nước đến số lần múc
Dùng tiết diện không đổi để tính lượng nước thay đổi, rồi chứng minh số lần tối thiểu bằng hai bất đẳng thức và xử lí rõ lượng dư ở lần cuối.
TOÁN THCS · BẢO TOÀN THỂ TÍCH VÀ SỐ LẦN THAO TÁC
Nước trong hình trụ: từ mực nước đến số lần múc
Dùng tiết diện không đổi để tính lượng nước thay đổi, rồi chứng minh số lần tối thiểu bằng hai bất đẳng thức và xử lí rõ lượng dư ở lần cuối.
1. Một công thức thể tích, hai kiểu câu hỏi
Ta xét hai tình huống hình trụ thẳng, đặt thẳng đứng, có tiết diện ngang không đổi. Kích thước là kích thước trong; bỏ qua độ dày thành. Trong các phép tính gần đúng ở bài này, dùng \pi\approx3{,}14.
- Thùng nước: bán kính đáy 50 cm, chiều cao 150 cm. Sau khi sử dụng, mực nước thấp hơn ban đầu 40 cm. Tính diện tích xung quanh thùng và lượng nước đã dùng.
- Xô và bể: xô bán kính đáy 12 cm, cao 25 cm; mỗi lần múc lượng nước bằng 80\% dung tích xô. Bể ban đầu rỗng, dung tích 150 lít. Cần ít nhất bao nhiêu lần múc để có đủ nước làm đầy bể?
Ở tình huống thứ hai, ta có thể dừng đổ khi bể đầy và giữ lại nước thừa trong xô cuối. Các lần trước không có nước thất thoát. Cách hiểu này quan trọng: lấy đủ nước không đồng nghĩa phải đổ toàn bộ một xô cuối vào một bể đã đầy.
Dự đoán: Không biết nước ban đầu cao bao nhiêu, liệu vẫn tính được lượng đã dùng không? Một phép chia ra 16{,}59 có thể tự trả lời câu hỏi “bao nhiêu lần” chưa?
2. Tiết diện không đổi nối chiều cao với thể tích
Với bán kính R>0, diện tích đáy là A=\pi R^2. Lớp nước dày z trong hình trụ có thể tích
V(z)=Az=\pi R^2z.
Mỗi lớp dày thêm một đơn vị có cùng diện tích đáy, nên cùng làm tăng một lượng thể tích. Đây là lí do thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao nước trong hình trụ thẳng.
Chiều cao toàn vật chứa, kí hiệu H, dùng để tính dung tích \pi R^2H. Chiều cao nước z dùng để tính nước đang có. Độ giảm mực nước \Delta z dùng để tính lượng đã rút ra. Ba đại lượng có thể khác nhau.
Diện tích xung quanh thuộc một câu hỏi khác: trải mặt bên thành hình chữ nhật có cạnh 2\pi R và H, được S_{\mathrm{xq}}=2\pi RH. Nếu tính cả hai đáy, diện tích toàn phần là 2\pi RH+2\pi R^2. Một xô không nắp chỉ có một đáy vật chất, nên diện tích vật liệu của xô lí tưởng là 2\pi RH+\pi R^2, nếu đó là điều được hỏi.
Kiểm tra bằng đơn vị: R^2z có đơn vị độ dài mũ ba, phù hợp thể tích; RH có đơn vị độ dài mũ hai, phù hợp diện tích. Không thể dùng diện tích mặt bên làm dung tích chỉ vì cả hai đều có số pi.
3. Lượng nước đã dùng không cần biết mức nước ban đầu
Gọi mực nước ban đầu là z_0, sau khi dùng là z_1. Dữ kiện cho z_0-z_1=40 cm. Cần 40\le z_0\le150 để cả hai mức nước nằm trong thùng.
Giả sử chỉ lấy nước ra, không thêm nước, không có vật được thả vào làm chiếm chỗ. Lượng nước đã dùng là hiệu hai thể tích:
\begin{aligned}V_{\text{dùng}}&=\pi\cdot50^2z_0-\pi\cdot50^2z_1\\&=\pi\cdot50^2(z_0-z_1)=100\,000\pi\text{ cm}^3.\end{aligned}
Theo quy ước gần đúng của bài:
V_{\text{dùng}}\approx3{,}14\cdot2500\cdot40=314\,000\text{ cm}^3=314\text{ lít}.
Hai mực nước riêng lẻ chưa biết nhưng hiệu của chúng đã đủ. Diện tích xung quanh toàn thùng dùng chiều cao 150 cm:
S_{\mathrm{xq}}=2\pi\cdot50\cdot150=15\,000\pi\text{ cm}^2\approx47\,100\text{ cm}^2.
Một minh họa hợp lệ chọn z_0=120 cm, z_1=80 cm; đây là lựa chọn để vẽ, không phải dữ kiện bắt buộc. Thùng và lớp nước được vẽ cùng tỉ lệ trong mặt cắt qua trục.
4. Điều chưa thể kết luận từ một độ giảm mực nước
Biết đã dùng 314 lít chưa cho biết lượng còn lại. Hai tình huống cùng phù hợp:
- Nước ban đầu cao 150 cm, sau cao 110 cm: còn khoảng 3{,}14\cdot2500\cdot110=863\,500\text{ cm}^3=863{,}5 lít.
- Nước ban đầu cao 120 cm, sau cao 80 cm: còn khoảng 628\,000\text{ cm}^3=628 lít.
Cả hai đều dùng đúng 314 lít, nhưng lượng còn lại khác nhau. Không được tự thêm giả thiết “ban đầu thùng đầy”.
Tỉ lệ nước đã dùng so với nước ban đầu là 40/z_0, không nhất thiết là 40/150. Với 40\le z_0\le150, tỉ lệ ấy nằm trong [4/15;1]. Hai đầu mút tương ứng ban đầu đầy thùng và ban đầu chỉ cao 40 cm rồi dùng hết.
Đổi đơn vị và kiểm tra độc lập
Dung tích thùng là \pi\cdot0{,}5^2\cdot1{,}5=0{,}375\pi\text{ m}^3\approx1{,}1775\text{ m}^3=1177{,}5 lít. Với 1\text{ m}=100\text{ cm}, ta có 1\text{ m}^3=1\,000\,000\text{ cm}^3, còn 1 lít =1000\text{ cm}^3. Diện tích 47\,100\text{ cm}^2 chỉ bằng 4{,}71\text{ m}^2, vì đổi đơn vị diện tích dùng hệ số 10\,000.
Công thức hiệu thể tích dựa vào tiết diện không đổi và không có vật chiếm chỗ thay đổi. Một bình loe hoặc một vật được nhấc ra khỏi nước có thể làm mực nước thay đổi mà không tương ứng với cùng phép tính “diện tích đáy nhân độ giảm”.
5. Từ dung tích xô đến lượng nước mỗi lần
Với xô R=12 cm, H=25 cm:
S_{\mathrm{xq}}=2\pi\cdot12\cdot25=600\pi\text{ cm}^2\approx1884\text{ cm}^2,V_{\text{xô}}=\pi\cdot12^2\cdot25=3600\pi\text{ cm}^3\approx11\,304\text{ cm}^3.
Mỗi lần múc 80\% dung tích, nên lượng nước một lần là
v=0{,}8V_{\text{xô}}=2880\pi\text{ cm}^3\approx9043{,}2\text{ cm}^3.
Đó là khoảng 9{,}0432 lít mỗi lần. Bể 150 lít tương đương 150\,000\text{ cm}^3. Chia hai thể tích cùng đơn vị:
\frac{150\,000}{9043{,}2}\approx16{,}59.
Từ đây trở đi, các phép tính số với 9043{,}2 dùng nhất quán quy ước \pi\approx3{,}14. Không làm tròn mỗi xô thành 9 lít trước khi đếm lần múc.
80% thể tích có phải 80% chiều cao?
Riêng hình trụ đặt thẳng đứng, câu trả lời là có: V(z)/V(H)=Az/(AH)=z/H. Vì vậy mức nước trong xô mỗi lần cao 0{,}8\cdot25=20 cm. Điều này không được suy rộng tự động cho bình có tiết diện thay đổi.
Phản ví dụ với bình hai tầng
Ví dụ độc lập: bình cao 20 cm, tầng dưới cao 10 cm có tiết diện 100\text{ cm}^2, tầng trên cao 10 cm có tiết diện 200\text{ cm}^2. Tổng dung tích 3000\text{ cm}^3. Nước cao 10 cm chỉ chiếm 1000\text{ cm}^3, tức một phần ba dung tích dù bằng nửa chiều cao. Để chứa 80\% dung tích, cần 2400\text{ cm}^3, nên nước cao 10+(2400-1000)/200=17 cm, tức 85\% chiều cao.
6. Chứng minh số lần ít nhất bằng hai bất đẳng thức
Số lần múc n phải là số nguyên không âm. Vì mỗi lần cung cấp cùng lượng v>0, để có ít nhất Q>0 nước cần nv\ge Q. Số nguyên n là nhỏ nhất khi và chỉ khi
(n-1)v<Q\le nv.
Chiều thuận: n lần đủ, còn n-1 lần thiếu. Chiều ngược: nếu n-1 lần thiếu, mọi số lần nhỏ hơn còn cung cấp ít nước hơn, nên không thể đủ. Đây là chứng minh tính tối thiểu, không chỉ là một quy tắc nhìn chữ số thập phân.
Trong bài:
16\cdot9043{,}2=144\,691{,}2<150\,000,17\cdot9043{,}2=153\,734{,}4>150\,000.
Vì vậy cần ít nhất 17 lần múc . Một chiếc xô có thể được dùng lặp lại; đây là số lần thao tác, không phải yêu cầu mua 17 chiếc xô khác nhau.
Hai thanh bắt đầu cùng một mốc và cùng tỉ lệ độ dài. Phần màu vàng là lượng nước đã múc nhiều hơn dung tích bể, không phải lượng bể có thể giữ thêm.
Nếu thương đã là một số nguyên, chẳng hạn Q=10v, chỉ cần 10 lần, không tự cộng thêm 1. Nếu Q=0, cần 0 lần; ta tách trường hợp này trước khi dùng mô tả với Q>0.
7. Xô cuối, nước thừa và điều kiện “không tràn”
Sau 16 lần, bể còn thiếu
150\,000-144\,691{,}2=5308{,}8\text{ cm}^3.
Lần thứ 17 vẫn múc 9043{,}2\text{ cm}^3, nhưng chỉ đổ 5308{,}8\text{ cm}^3 vào bể rồi dừng. Nước còn trong xô là
9043{,}2-5308{,}8=3734{,}4\text{ cm}^3.
Bể đầy mà không tràn, đúng cách hiểu đã nêu từ đầu. Nếu được phép múc ít hơn ở lần cuối, có thể chỉ múc lượng còn thiếu; số lần tối thiểu vẫn là 17.
Một mô hình khác có thể không có nghiệm: Nếu buộc mỗi lần múc và đổ hết đúng 9043{,}2\text{ cm}^3, đồng thời bể phải đầy chính xác và tuyệt đối không tràn, thì cần số nguyên n thỏa 9043{,}2n=150\,000. Thương không nguyên nên không có số lần nào thỏa cả ba điều kiện. Không thể sửa mâu thuẫn này chỉ bằng cách làm tròn.
Các từ “ít nhất”, “đầy”, “đổ hết” và “không tràn” cần được đọc cùng nhau. Ta chọn một mô hình hợp lí rồi nói rõ cách xử lí lần cuối, thay vì để phép tính che mất điều kiện thực tế.
8. Số lần thay đổi theo nấc, không thay đổi đều
Giữ cùng xô và bể, thay tỉ lệ múc \alpha, với 0<\alpha\le1. Mỗi lần múc \alpha\cdot11\,304\text{ cm}^3 theo quy ước số của bài. Số lần ít nhất được xác định bằng
(n-1)\alpha\cdot11\,304<150\,000\le n\alpha\cdot11\,304.
Nếu múc đầy 100\%:
13\cdot11\,304=146\,952<150\,000,14\cdot11\,304=158\,256>150\,000,
nên cần 14 lần. Nếu múc 75\%, mỗi lần 8478\text{ cm}^3; 17 lần được 144\,126\text{ cm}^3 còn thiếu, 18 lần được 152\,604\text{ cm}^3 thì đủ, nên cần 18 lần.
Muốn chính xác 17 là số lần tối thiểu, cần và đủ
\frac{150\,000}{17\cdot11\,304}\le\alpha<\frac{150\,000}{16\cdot11\,304}.
Đầu trái được lấy vì 17 lần vừa đủ vẫn hợp lệ. Đầu phải không lấy vì khi đó 16 lần đã đủ. Đây là một khoảng tỉ lệ, nên tăng nhẹ lượng múc không nhất thiết giảm ngay số lần nguyên.
Gợi ý kiểm tra chiều dấu
Tách yêu cầu “17 lần đủ” thành 17\alpha V\ge Q, rồi yêu cầu “16 lần thiếu” thành 16\alpha V<Q. Chia cho những số dương để thu được hai cận; không cần đoán chiều dấu từ hình vẽ.
9. Chuyển giao có thêm dữ kiện
Bể đã có nước
Bể 150 lít đã có 30 lít nước. Với mỗi lần múc vẫn bằng 80\% xô, chỉ cần bổ sung 120\,000\text{ cm}^3.
Lời giải bằng hai kiểm tra
13\cdot9043{,}2=117\,561{,}6<120\,000,14\cdot9043{,}2=126\,604{,}8\ge120\,000.
Cần 14 lần; lần cuối chỉ đổ lượng còn thiếu. Không dùng toàn bộ dung tích bể làm lượng cần bổ sung khi bể đã có nước.
Có hao hụt khi vận chuyển
Ví dụ độc lập: bể ban đầu rỗng, mỗi lần múc 80\% xô nhưng mất 10\% chính lượng vừa múc trên đường đi. Bỏ qua các loại hao hụt khác. Lượng đến bể mỗi lần là
v'=0{,}9\cdot0{,}8\cdot11\,304=8138{,}88\text{ cm}^3.
Kiểm tra tính tối thiểu
18v'=146\,499{,}84<150\,000,\qquad19v'=154\,638{,}72>150\,000.
Cần 19 lần theo cùng cách xử lí lượng dư ở lần cuối. Không lấy 80\%-10\%=70\% dung tích xô: 10\% hao hụt ở đây tính trên lượng đã múc, nên lượng đến bể bằng 72\% dung tích.
Đổi “đủ để làm đầy” thành “không vượt một lượng có sẵn”
Nếu chỉ có 150 lít để chia thành các phần đều 9{,}0432 lít, số phần đầy tối đa là 16: 16v\le150\,000<17v. Còn khi cần cung cấp đủ 150 lít bằng những lần vận chuyển ấy, phải có 17 lần. Hai câu hỏi dùng cùng phép chia nhưng khác bất đẳng thức và khác quyết định.
Tương tự, khi tổng nhu cầu bằng 12{,}3 lần sức chở của một chuyến, ít nhất 13 chuyến mới đủ, với chuyến cuối có thể chở ít hơn. Nếu chỉ có lượng vật liệu bằng 12{,}3 sức chở và muốn đếm chuyến đầy hoàn toàn, chỉ có 12 chuyến đầy.
10. Tự giải thích thay cho học thuộc chiều làm tròn
- Vì sao hiệu mực nước 40 cm đủ để tính lượng dùng nhưng chưa đủ để biết lượng còn lại?
- Chiều cao nào dùng cho mặt bên thùng, chiều cao nào dùng cho lớp nước đã dùng?
- Vì sao phần trăm thể tích bằng phần trăm chiều cao ở hình trụ, nhưng không đúng với bình hai tầng?
- Đã kiểm tra cả “n lần đủ” và “n trừ một lần thiếu” chưa?
- Điều gì xảy ra với nước ở xô cuối? Những giả thiết nào khiến số lần17 có ý nghĩa?
Cốt lõi của bài không phải luôn chọn số nguyên lớn hơn. Đó là bảo toàn thể tích, nhận diện phần cần tính, và chứng minh số nguyên được chọn thỏa đúng điều kiện của thao tác.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu