Giao điểm thứ hai: dùng hình chiếu để phân loại và dựng ngược
Phân loại giao điểm trên một đường thẳng, nhận ra biên tiếp xúc và dựng lại đúng hình trong miền cho phép.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Giao điểm thứ hai: dùng hình chiếu để phân loại và dựng ngược
Phân loại giao điểm trên một đường thẳng, nhận ra biên tiếp xúc và dựng lại đúng hình trong miền cho phép.
01. Điều gì quyết định vị trí giao điểm thứ hai?
Hai góc vuông cùng nhìn một đoạn thẳng cho ta một đường tròn. Nhưng khi một điểm dịch chuyển, câu hỏi còn có thể đi xa hơn: những đường tròn nào xuất hiện, đường nào bị bỏ sót, và khi nào giao điểm thứ hai biến mất? Muốn trả lời đủ, cần chứng minh cả chiều dựng hình lẫn chiều thu hồi hình.
Ta dùng kiến thức về trung điểm cạnh huyền, đường trung trực và phương trình bậc nhất. Phần tọa độ chỉ dùng định lí Pythagore và giải hệ; mỗi tọa độ đều được suy ra từ cách dựng.
Cho hai điểm cố định A,C phân biệt. Kẻ đường thẳng d qua A, vuông góc với AC. Với mỗi H\in d, xét đường tròn \Gamma_H có đường kính HC. Kể cả khi H=A, đường kính vẫn có độ dài dương vì C\notin d.
Mục tiêu chính là phân loại giao điểm thứ hai với một đường thẳng cố định: ở trong đoạn, ở ngoài đoạn hay trùng thành tiếp điểm. Sau đó ta dựng ngược một hình có giao điểm ở vị trí mong muốn và kiểm tra nó có thỏa miền nguồn hay không. Sự tương ứng giữa điểm H và đường tròn là công cụ cho việc dựng ngược ấy.
02. Chiều thuận, chiều đảo và tính duy nhất
Nếu H\ne A, tam giác HAC vuông tại A, nên A nằm trên đường tròn đường kính HC. Khi H=A, A chính là một đầu đường kính, nên kết luận vẫn đúng dù góc HAC không còn được định nghĩa. Điểm C luôn là đầu đường kính còn lại.
Gọi O_H là trung điểm HC, M là trung điểm AC. Trong tam giác CAH, đường nối trung điểm cho O_HM\parallel AH và O_HM=AH/2 nếu H\ne A. Vì vậy tâm nằm trên đường trung trực của AC; với H=A, tâm bằng M.
Vì sao không bỏ sót đường tròn nào?
Lấy một đường tròn bất kì đi qua A,C, có tâm O. Vì OA=OC, O nằm trên đường trung trực của AC. Lấy H đối xứng với C qua O, tức O là trung điểm CH. Nếu O\ne M, trong tam giác ACH, hai trung điểm O,M cho AH\parallel OM, nên AH\perp AC và H\in d. Nếu O=M, ta có H=A. Trong cả hai trường hợp, bán kính OC=HC/2, nên đường tròn đã cho chính là \Gamma_H.
Điểm H là ảnh đối xứng của C qua một tâm đã biết, nên duy nhất. Ngược lại, một đoạn HC có đúng một trung điểm và một độ dài, nên xác định đúng một đường tròn đường kính ấy. Đây là sự tương ứng hai chiều, không phải kết luận rút ra từ vài hình vẽ.
“Bốn điểm đồng viên” cần bốn điểm phân biệt nếu gọi đó là một tứ giác. Một đường tròn vẫn có thể tồn tại khi hai tên điểm trùng nhau, nhưng lúc ấy không được tiếp tục dùng góc có hai cạnh trùng hoặc tứ giác có hai đỉnh trùng.
03. Một đường cắt cố định và một chân vuông góc chuyển động
Chọn B\in d, B\ne A. Đặt AB=b>0, AC=c>0. Chọn hệ trục vuông góc với A=(0,0), B=(0,b), C=(c,0); khi đó H=(0,t), trong đó t là số thực có dấu, không phải luôn là độ dài AH.
Gọi D là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng BC. Điểm D luôn tồn tại duy nhất. Nếu D\ne H,C, góc HDC vuông nên D\in\Gamma_H. Nếu D=H hoặc D=C, kết luận thuộc đường tròn vẫn đúng vì đó là đầu đường kính. Ta sẽ xác định chính xác các trường hợp này.
Đường BC có phương trình bx+cy=bc. Đường qua H vuông góc BC có phương trình y=t+cx/b: hệ số góc của hai đường lần lượt là -b/c và c/b. Giải hai phương trình:
D=\left(\frac{bc(b-t)}{b^2+c^2},\frac{b^2t+bc^2}{b^2+c^2}\right).
Mẫu b^2+c^2 dương. Đặt L=BC=\sqrt{b^2+c^2} và viết
D=B+s(C-B),\qquad s=\frac{b(b-t)}{L^2}.
Kí hiệu này chỉ có nghĩa tọa độ D=(sc,b(1-s)). Nếu 0<s<1, D nằm trong đoạn BC, và BD=sL. Nếu s<0, D ở phía ngoài B; nếu s>1, D ở phía ngoài C.
Vị trí chân chiếu được phân loại đầy đủ:
\begin{cases}
D\text{ ngoài về phía }C,&t<-c^2/b,\\
D=C,&t=-c^2/b,\\
D\in BC\text{ và khác hai đầu},&-c^2/b<t<b,\\
D=B=H,&t=b,\\
D\text{ ngoài về phía }B,&t>b.
\end{cases}
Mỗi dòng là tương đương, vì thu được bằng giải bất đẳng thức bậc nhất theo s. Cũng từ t=b-sL^2/b, mỗi điểm D trên đường thẳng BC là hình chiếu của đúng một điểm H\in d. Có thể dựng bằng thước và êke: qua vị trí D đã chọn, kẻ đường vuông góc BC, lấy giao điểm với AB làm H. Hai đường không song song vì b,c>0, nên giao điểm tồn tại duy nhất. Lấy đường tròn đường kính HC hoàn tất chiều dựng.
04. Khi “giao điểm thứ hai” không còn là điểm khác
Tâm \Gamma_H là (c/2,t/2), bán kính \sqrt{c^2+t^2}/2>0. Pythagore cho phương trình đường tròn:
(x-c/2)^2+(y-t/2)^2=\frac{c^2+t^2}{4}
\iff x^2+y^2-cx-ty=0.
Thay điểm trên BC có tọa độ (sc,b(1-s)) vào vế trái:
x^2+y^2-cx-ty=(s-1)\bigl(L^2s-b(b-t)\bigr).
Vì vậy các giao điểm đúng là s=1, tức C, và s=b(b-t)/L^2, tức D. Hai giá trị trùng nhau khi và chỉ khi t=-c^2/b. Lúc này đường BC vuông góc HC tại C, cũng vuông góc bán kính O_HC; do đó BC là tiếp tuyến của \Gamma_H tại C.
Với mọi t\ne-c^2/b, hai nghiệm theo s khác nhau, nên BC thật sự cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Ở t=b, hai giao điểm là B,C; chỉ có tên H,D,B trùng nhau. Không được nhầm trường hợp này với tiếp xúc.
Tự chứng minh tiếp tuyến chỉ gặp đường tròn tại một điểm
Nếu X\in BC, X\ne C, tại giá trị tiếp xúc ta có O_HC\perp CX. Pythagore cho O_HX^2=O_HC^2+CX^2>O_HC^2. Vậy X nằm ngoài đường tròn; chỉ C thuộc cả hai hình.
05. Trở lại một cấu hình nguồn có đủ giả thiết
Chọn cấu hình: tam giác ABC vuông tại A, AB<AC; H nằm trong đoạn AB, thỏa HB>HA. Kẻ đường qua H vuông góc BC tại D. Đây là phần dữ kiện được chọn từ bài nguồn; không cần dựng thêm những giao điểm khác của bài ấy.
Với kí hiệu trên, 0<b<c và 0<t<b/2. Do đó
\frac{b^2}{2L^2}<s<\frac{b^2}{L^2}<1.
Ngược lại, chọn bất kì s trong khoảng mở vừa nêu và đặt t=b-sL^2/b, ta thu được đúng 0<t<b/2. Vậy khoảng đó là toàn bộ miền giao điểm được phép, chứ không chỉ một cận cần thiết. Hai đầu không đạt được: chúng lần lượt đòi hỏi H là trung điểm AB hoặc H=A, đều bị giả thiết nguồn loại. Suy ra D ở trong đoạn BC, khác B,C. Vì BC chỉ gặp AB tại B mà H\ne B, nên D\ne H; đồng thời A\notin BC, nên D\ne A. Bốn điểm A,H,D,C phân biệt và cùng nằm trên \Gamma_H. Bây giờ kết luận “tứ giác nội tiếp” mới có đầy đủ điều kiện.
Hình dựng với b=3,c=4,t=1, cùng tỉ lệ 50 điểm ảnh cho một đơn vị. Tâm O=(2,1/2), D=(24/25,57/25), nên BD=6/5. Hình tròn nhận HC làm đường kính.
Trong miền nguồn, BH=b-t>0, BD=sL, nên
BC\cdot BD=L\cdot\frac{b(b-t)}L=AB\cdot BH.
Đẳng thức tích này giải thích định lượng sự dịch chuyển: H tiến về B thì D cũng tiến về B. Nếu mở rộng sang t>b, phải dùng độ dài BH=|b-t|, BD=|s|L; không được gọi số âm sL là độ dài.
06. Dùng chiều đảo để thiết kế hình
Trong tam giác mới có b=3,c=4, muốn D là trung điểm BC, ta cần s=1/2. Công thức đảo cho
t=3-\frac{25}{6}=-\frac76.
Điểm H duy nhất nằm trên tia đối của tia AB, không nằm trong đoạn AB. Dựng điểm ấy rồi lấy đường tròn đường kính HC, ta thật sự có giao điểm thứ hai là trung điểm BC. Vì vậy yêu cầu trung điểm có nghiệm trong họ mở rộng, nhưng không có nghiệm trong miền của cấu hình nguồn.
Muốn đường BC tiếp xúc với một đường tròn qua A,C, điều kiện duy nhất là t=-16/3. Tâm khi ấy là (2,-8/3), bán kính 10/3. Không có đường tròn thứ hai vì điểm H được xác định duy nhất.
Chuyển giao phương pháp: khi một hình được tạo bởi tham số, hãy tìm công thức đảo trước khi khẳng định mọi vị trí đều đạt được. Sau đó giao miền cho phép của tham số với điều kiện hình học cần đạt.
07. Tự kiểm tra với đáp án đóng
Thử 1. Vẫn b=3,c=4. Khi H=A, đường tròn có còn tồn tại không? D ở đâu?
Xem lời giải
Có: đường kính là AC=4. Với t=0, s=9/25, nên D=(36/25,48/25), BD=9/5. Nhưng A=H, vì thế không gọi A,H,D,C là bốn đỉnh phân biệt của một tứ giác.
Thử 2. Có bao nhiêu đường tròn qua A,C có tâm nằm trên AC?
Xem lời giải
Đúng một. Tâm vừa nằm trên AC, vừa trên đường trung trực của AC, nên phải là trung điểm M. Đó là đường tròn đường kính AC, ứng với H=A. Bán kính bằng AC/2>0.
Thử 3. Bỏ điều kiện AB<AC, chỉ giữ b,c>0. Công thức và tiếp tuyến duy nhất còn đúng không?
Xem lời giải
Còn đúng. Mọi phép chia chỉ cần b>0,c>0,L^2>0. Nếu vẫn lấy 0<t<b/2, thì 0<s<b^2/(b^2+c^2)<1, nên tính phân biệt và đồng viên vẫn đúng. Điều kiện hai cạnh không bằng nhau không cần cho những kết luận đã chứng minh ở đây.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện