Bốn ô và tính độc lập: đếm phần giao, dựng xác suất đúng
Dùng bảng bốn nhóm để kiểm tra hai biến cố độc lập, phân biệt các trường hợp rỗng và thiết kế hộp thẻ theo xác suất cho trước.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Bốn ô và tính độc lập: đếm phần giao, dựng xác suất đúng
Dùng bảng bốn nhóm để kiểm tra hai biến cố độc lập, phân biệt các trường hợp rỗng và thiết kế hộp thẻ theo xác suất cho trước.
01. Một lần rút, hai điều kiện trên cùng kết quả
Trong một lần rút thẻ, hai biến cố có thể cùng xảy ra. Muốn biết việc biết một điều kiện có làm đổi tỉ lệ của điều kiện kia không, cần đếm phần giao, không chỉ biết xác suất riêng của từng biến cố.
Giả sử có N thẻ, N là số nguyên dương, mỗi thẻ có cùng khả năng được rút. Với biến cố A, nếu có a thẻ thỏa điều kiện thì P(A)=a/N. Mẫu số đếm các thẻ vật lí, không tự động đếm các tên nhóm. Nếu nhiều thẻ mang cùng một nhãn, mỗi thẻ vẫn là một kết quả của phép rút đều.
Trong mô hình hữu hạn này, ta gọi hai biến cố A,B là độc lập khi
P(A\cap B)=P(A)P(B).
Đó là một đẳng thức về xác suất, không phải khẳng định hai điều kiện không liên quan về ngôn ngữ hoặc không có phần giao.
02. Bốn ô giữ lại toàn bộ thông tin cần đếm
Gọi a là số thẻ thỏa A, b là số thẻ thỏa B, c là số thẻ thỏa cả hai. Mỗi thẻ nằm trong đúng một trong bốn nhóm:
- Thỏa cả A,B: có c thẻ.
- Thỏa A, không thỏa B: có a-c thẻ.
- Thỏa B, không thỏa A: có b-c thẻ.
- Không thỏa A, cũng không thỏa B: có N-a-b+c thẻ.
Các số đếm phải là số nguyên không âm. Với 0\le a,b\le N, điều kiện cần và đủ cho một bảng bốn ô như vậy là
\boxed{\max(0,a+b-N)\le c\le\min(a,b),\qquad c\text{ nguyên}.}
Chiều cần theo từ bốn số không âm. Với chiều đủ, tạo đúng bốn nhóm thẻ có các số lượng ấy, rồi gắn hai dấu hiệu A,B theo tên nhóm. Tổng bốn nhóm bằng N, tổng hàng và cột lần lượt cho đúng a,b. Vì vậy mọi số c trong khoảng nguyên đều dựng được nếu ta được quyền gắn dấu hiệu cho thẻ.
Đối với các thẻ có nhãn số đã cố định và các điều kiện chia hết đã cố định, c phải được đếm từ những nhãn ấy. Công thức cho biết những bảng nào có thể được thiết kế, không cho phép tự thay đổi phần giao của một hộp đã cho.
03. Tiêu chuẩn đếm để kiểm tra độc lập
Trong phép rút đều một thẻ,
P(A)=\frac aN,\quad P(B)=\frac bN,\quad P(A\cap B)=\frac cN.
Vì N>0, điều kiện độc lập tương đương
\boxed{Nc=ab}.
Nếu b>0, biết rằng thẻ rút được thỏa B nghĩa là chỉ còn xét b thẻ trong nhóm ấy. Chúng vẫn đồng khả năng, và có c thẻ thỏa A. Tỉ lệ mới là c/b. Ta có
\frac cb=\frac aN\iff Nc=ab.
Vậy khi B có thể xảy ra, độc lập chính xác là việc biết B không làm đổi tỉ lệ của A. Nếu a>0, đổi vai trò cũng cho c/a=b/N. Độc lập là quan hệ đối xứng, không cần kiểm tra hai lần.
Còn khi 0<b<N, tỉ lệ A trong nhóm không thỏa B là (a-c)/(N-b). Hai độ lệch so với tỉ lệ chung:
\frac cb-\frac aN=\frac{Nc-ab}{Nb},
\frac{a-c}{N-b}-\frac aN=\frac{ab-Nc}{N(N-b)}.
Chúng có dấu ngược nhau, trừ khi đều bằng 0. Nếu một nhóm có tỉ lệ A cao hơn tỉ lệ chung, nhóm còn lại phải có tỉ lệ thấp hơn. Bảng bốn ô giúp giải thích điều này bằng số đếm, không cần giả sử điều gì về nguyên nhân.
04. Ví dụ nguồn: số chia hết cho ba và số chẵn
Hộp nguồn có 8 thẻ cùng loại, ghi các số khác nhau từ 1 đến 8. Rút đều một thẻ. Gọi A là biến cố số ghi trên thẻ chia hết cho 3. Các thẻ thuận lợi là 3,6, nên P(A)=2/8=1/4.
Để xét hai điều kiện cùng lúc, thêm biến cố B: số ghi trên thẻ là số chẵn. Khi ấy B gồm 2,4,6,8, và phần giao chỉ có thẻ 6. Vậy N=8,a=2,b=4,c=1.
Mỗi số xuất hiện đúng một lần. Hai ô trên hợp thành A, hai ô bên trái hợp thành B. Phần giao chỉ có thẻ 6.
Ta có Nc=8\cdot1=2\cdot4=ab, nên hai biến cố độc lập. Trong các thẻ chẵn, tỉ lệ chia hết cho 3 là 1/4; trong các thẻ lẻ cũng là 1/4. Hai biến cố có phần giao mà vẫn độc lập.
Giữ nguyên xác suất riêng, đổi phần giao
Vẫn hộp ấy, thay B bằng biến cố mới B': số chia hết cho 3 hoặc cho 4. Khi ấy B'=\{3,4,6,8\}, vẫn có 4 thẻ, nhưng cả 3,6 đều ở trong B'. Do đó phần giao có 2 thẻ và 8\cdot2\ne2\cdot4.
Hai xác suất riêng vẫn là 1/4,1/2, nhưng hai biến cố không độc lập. Biết B' xảy ra làm tỉ lệ A tăng thành 2/4=1/2. Các xác suất riêng không xác định được phần giao.
05. Trường hợp rỗng, chắc chắn và không thể cùng xảy ra
Nếu B rỗng, b=c=0, đẳng thức Nc=ab vẫn đúng: theo định nghĩa tích xác suất, biến cố rỗng độc lập với mọi biến cố. Nhưng không được tính c/b=0/0; việc “biết biến cố không thể xảy ra đã xảy ra” không tạo một nhóm điều kiện hợp lệ.
Nếu B là toàn bộ hộp, b=N,c=a, hai biến cố cũng độc lập. Tỉ lệ A khi đã biết B vẫn chính là tỉ lệ chung; còn nhóm không thỏa B rỗng nên không dùng công thức chia cho N-b.
Nếu A,B đều không rỗng nhưng không có thẻ chung, thì c=0, trong khi ab>0. Vì vậy chúng không độc lập . “Không thể cùng xảy ra” khác với “biết một biến cố không làm đổi xác suất của biến cố kia”. Thực tế, biết B trong trường hợp này làm xác suất A giảm về 0.
06. Thiết kế hộp thẻ: tính nguyên tạo thêm điều kiện
Xét một mô hình mới: được quyền đánh dấu hai thuộc tính A,B lên N thẻ đồng khả năng. Muốn P(A)=1/4, P(B)=1/2 và hai biến cố độc lập, cần
a=\frac N4,\qquad b=\frac N2,\qquad c=\frac{ab}{N}=\frac N8.
Do c là số nguyên, N phải chia hết cho 8. Điều kiện này cũng đủ: với N=8k, k\ge1 nguyên, chia bốn ô thành k,k,3k,3k thẻ theo thứ tự ở mục 02. Mọi số đều nguyên không âm, có đúng các xác suất và phần giao yêu cầu.
Với N=12, hai xác suất riêng vẫn có thể đạt bằng a=3,b=6, nhưng độc lập sẽ cần c=3/2, không phải số thẻ. Vì thế không thể làm đúng cả ba yêu cầu, dù các xác suất riêng trông hoàn toàn hợp lệ.
Nếu chấp nhận sai lệch nhỏ nhất ở hộp mười hai thẻ?
Giữ a=3,b=6,N=12. Miền phần giao là các số nguyên c=0,1,2,3. Độ lệch giữa tỉ lệ A trong nhóm B và tỉ lệ chung là
\left|\frac c6-\frac14\right|=\frac{|2c-3|}{12}.
Vì 2c-3 lẻ, trị tuyệt đối nhỏ nhất là 1, đạt đúng ở c=1,2. Sai lệch nhỏ nhất là 1/12, không phải 0. Hai bảng bốn ô đạt được lần lượt là (1,2,5,4) và (2,1,4,5); chúng đều có tổng 12, đúng các số a=3,b=6. Vậy cận sai lệch đã được chứng minh và dựng được.
07. Quy tắc dựng cho hai xác suất hữu tỉ bất kì
Muốn hai biến cố độc lập có xác suất p,q\in[0,1], số thẻ của bốn ô phải lần lượt là
Npq,\quad Np(1-q),\quad N(1-p)q,\quad N(1-p)(1-q).
Chúng tự không âm và có tổng N. Điều kiện cần và đủ để tạo được hộp là Np,Nq,Npq đều nguyên: chiều cần vì chúng là hai tổng nhóm và số ở ô giao; chiều đủ vì ba số nguyên ấy làm cả bốn ô nguyên, và cách dựng bốn nhóm hoàn tất thiết kế.
Nếu p,q hữu tỉ, viết p,q,pq dưới dạng phân số tối giản. Số thẻ nhỏ nhất là bội chung nhỏ nhất của ba mẫu số; mọi bội dương của số ấy đều dùng được. Lí do: một phân số tối giản m/n khi nhân với N là số nguyên đúng khi n là ước của N.
Ví dụ mới: p=2/3,q=3/4, nên pq=1/2. Ba mẫu là 3,4,2, bội chung nhỏ nhất bằng 12. Chọn N=12, bốn ô có 6,2,3,1 thẻ. Khi ấy a=8,b=9,c=6, và 12\cdot6=8\cdot9, đúng tiêu chuẩn độc lập.
Quy tắc vẫn áp dụng cho xác suất 0 hoặc 1, viết với mẫu 1; một số ô có thể rỗng. Điều này không cho phép chia điều kiện cho một nhóm rỗng: tiêu chuẩn tích xác suất và công thức tỉ lệ có phạm vi dùng khác nhau.
08. Tự kiểm tra
Thử 1. Muốn hai biến cố độc lập đều có xác suất 1/2, hộp 6 thẻ có đủ không? Số thẻ nhỏ nhất là bao nhiêu?
Xem lời giải
Phần giao cần có N/4 thẻ. Với N=6, số này bằng 3/2, nên không thể. Số nhỏ nhất là 4, chia bốn ô mỗi ô một thẻ. Độc lập không tự theo từ hai nhóm đều chiếm một nửa.
Thử 2. Một hộp 10 thẻ có a=4,b=5,c=3. Hai biến cố có độc lập không, và tỉ lệ A ngoài nhóm B là bao nhiêu?
Xem lời giải
Nc=30\ne20=ab, nên không độc lập. Trong B, tỉ lệ A là 3/5; ngoài B, còn a-c=1 thẻ thuận lợi trên N-b=5 thẻ, nên tỉ lệ là 1/5. Tỉ lệ chung 2/5 nằm giữa hai số ấy. Bốn ô (3,1,2,4) đều không âm, nên bảng hợp lệ.
Thử 3. Có thể thiết kế hai biến cố độc lập với p=q=3/4 bằng ít nhất bao nhiêu thẻ?
Xem lời giải và cách dựng
pq=9/16; bội chung nhỏ nhất của 4,4,16 là 16. Bốn ô có 9,3,3,1 thẻ. Nhóm nào cũng có 12 thẻ, phần giao có 9; 16\cdot9=12\cdot12. Ít hơn 16 thẻ không thể làm ô giao có đúng tỉ lệ 9/16.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện