Nước dâng do vật chìm: bảo toàn thể tích và giới hạn mô hình
Chuyên đề hình học THCS về thể tích phần chìm, cốc hình trụ, điều kiện không tràn và số nguyên; phân biệt giới hạn thể tích với khả năng xếp vật, kèm mô hình…
THCS · TOÁN · MÔ HÌNH THỂ TÍCH
Nước dâng do vật chìm: bảo toàn thể tích và giới hạn mô hình
Không thêm nước, vì sao mặt nước vẫn cao hơn? Hãy xác định phần chiếm chỗ trước khi dùng công thức.
Mục tiêu: tự dựng quan hệ thể tích, chọn đúng điều kiện ở miệng cốc và biết điều gì phép tính chưa chứng minh. Dữ kiện minh họa được tự biên soạn.
1. Mực nước tăng không có nghĩa thể tích nước tăng
Xét cốc hình trụ đứng có bán kính trong R>0, chiều cao trong H>0. Nước ban đầu cao h_0, với 0\le h_0\le H. Khi chưa có vật, thể tích nước là diện tích đáy nhân chiều cao:
S=\pi R^2,\qquad V_{\text{nước}}=Sh_0.
Đưa một vật không thấm nước vào, phần vật nằm dưới mặt nước chiếm chỗ. Nếu không thêm nước, không lấy nước ra và chưa tràn, thể tích nước giữ nguyên; vùng từ đáy đến mặt nước mới chứa cả nước và phần vật chìm.
Sh=Sh_0+V_{\text{chìm}},\qquad h-h_0=\frac{V_{\text{chìm}}}{S}.
Đây là quan hệ về thể tích không gian được lấp đầy, không phải phép cộng lượng nước. Phần khí trên mặt nước không thuộc Sh. Nước giữa các vật đã thuộc lượng nước ban đầu, không được cộng thêm lần nữa.
Dự đoán: một vật có thể tích lớn luôn làm nước dâng nhiều hơn mọi vật nhỏ?
Chưa đủ điều kiện. Nước dâng phụ thuộc thể tích phần chìm, không chỉ tổng thể tích vật. Khi hai vật đều chìm hoàn toàn trong cùng cốc và mô hình giữ nguyên, vật có thể tích lớn hơn mới chiếm chỗ nhiều hơn.
Giả thiết làm việc: cốc đứng yên, tiết diện ngang không đổi; vật không hút nước; bỏ qua bọt khí mắc kẹt, biến dạng và hiệu ứng mặt nước. Xét mức nước cân bằng, không xét sóng do thả vật nhanh. Khi nước đã tràn, Sh_0 không còn là thể tích nước còn trong cốc.
2. Chìm hoàn toàn là điều kiện để dùng cả thể tích hình cầu
Viên bi hình cầu đặc có bán kính a>0, thể tích:
v=\frac43\pi a^3.
Nếu viên bi ngập hoàn toàn, V_{\text{chìm}}=v. Nếu chỉ một phần ngập, phần chiếm chỗ nhỏ hơn v; không thể thay toàn bộ v vào phương trình rồi gọi đó là mực nước thực tế. Việc “bi chìm” về tính chất vật liệu cũng không tự bảo đảm cả viên nằm dưới mặt nước trong mọi cốc và lượng nước.
Với n viên giống nhau, không chồng lấn, đều ngập hoàn toàn và có thể đặt trong cốc, tổng thể tích phần chìm là nv. Khi chưa tràn:
h_n=h_0+\frac{nv}{\pi R^2}=h_0+\frac{4na^3}{3R^2}.
Các độ dài phải cùng đơn vị. Tử nv có đơn vị thể tích, mẫu \pi R^2 có đơn vị diện tích, nên thương có đơn vị độ dài. Nếu dùng đường kính d của viên bi, cần thay a=d/2, không lấy d làm bán kính.
Kiểm tra giới hạn: công thức cho biết hệ quả nếu các giả thiết được thỏa mãn. Nó không tự chứng minh có một cách xếp n viên, cũng không tự chứng minh tất cả chúng ngập hoàn toàn.
3. Một mô hình có vị trí thật để kiểm tra
Cốc giả định có R=3\,\mathrm{cm}, H=8\,\mathrm{cm}, nước ban đầu h_0=4\,\mathrm{cm}. Dùng hai viên bi đặc bán kính a=1\,\mathrm{cm}. Đặt hai viên chạm nhau theo trục cốc: tâm viên dưới cao 1 cm, tâm viên trên cao 3 cm tính từ đáy. Hai viên nằm trong cốc vì bán kính ngang 1 nhỏ hơn 3; đỉnh viên trên cao 4 cm, không vượt chiều cao 8 cm.
Với hai viên ngập hoàn toàn, ta có:
S=9\pi\,\mathrm{cm^2},\qquad 2v=\frac{8\pi}{3}\,\mathrm{cm^3},\qquad h_2=4+\frac{8}{27}=\frac{116}{27}\,\mathrm{cm}.
Mức này lớn hơn 4 cm, nên đỉnh viên trên nằm dưới mặt nước mới. Quan hệ thể tích, vị trí hai viên và điều kiện ngập cùng nhất quán. Một viên có thể đặt trên đáy với tâm cao 1 cm, cho h_1=4+4/27 cm và cũng ngập hoàn toàn.
Hình là tiết diện qua trục, không phải toàn bộ thể tích. Mỗi centimet ứng với 40 đơn vị hình vẽ. Mực nước mới được tính từ thể tích hình cầu ba chiều, không lấy diện tích hai hình tròn trong hình làm thể tích.
Tự thử: vì sao không lấy 2 cm chiều cao viên dưới cộng 2 cm viên trên làm độ nước dâng?
Chiều cao chồng bi xác định vị trí đỉnh; độ nước dâng xác định bởi thể tích bi chia diện tích đáy cốc. Chúng là hai đại lượng khác nhau. Nước vẫn lấp các khoảng quanh bi.
4. Từ không tràn đến một giới hạn nguyên
Phần dung tích chưa bị nước ban đầu chiếm là S(H-h_0). Trong mô hình bi ngập hoàn toàn, yêu cầu nước không vượt miệng cốc là:
Sh_0+nv\le SH\quad\Longleftrightarrow\quad nv\le S(H-h_0).
Vì v>0, chia cho v không đổi chiều. Đặt tỉ số không có đơn vị:
K=\frac{S(H-h_0)}{v}=\frac{3R^2(H-h_0)}{4a^3},\qquad n\in\mathbb Z_{\ge0},\qquad n\le K.
Số nguyên lớn nhất thỏa riêng giới hạn thể tích là \lfloor K\rfloor, trong đó ký hiệu phần nguyên dưới là số nguyên lớn nhất không vượt K. Không làm tròn thông thường: nếu K=6{,}8, lấy 7 sẽ vượt giới hạn.
Với cốc minh họa ở mục 3, K=27. Điều này nói số viên ngập hoàn toàn mà không tràn không thể vượt 27 theo thể tích; chưa kết luận xếp được 27 viên. Ta đã kiểm tra vị trí của hai viên, không phải của 27 viên.
Giới hạn và sự tồn tại: mọi cách xếp hợp lệ phải thỏa giới hạn thể tích. Chiều ngược lại cần kiểm tra hình học và ngập hoàn toàn. Không đổi một điều kiện cần thành điều kiện đủ.
Phản ví dụ tự biên soạn: cốc R=0{,}4\,\mathrm{cm}, H=10\,\mathrm{cm}, h_0=5\,\mathrm{cm}, bi a=0{,}5\,\mathrm{cm}. Tỉ số thể tích là K=4{,}8, nhưng đường kính bi 1 cm lớn hơn đường kính trong cốc 0,8 cm. Không đặt lọt ngay một viên hình cầu cứng, dù phép chia thể tích cho cận 4.
5. Dấu bằng, dự trữ và kiểm tra số nguyên kế tiếp
Trong mô hình lý tưởng, “không vượt miệng” nhận h=H, dùng dấu \le. “Phải thấp hơn miệng” dùng h<H, dẫn đến n<K. Nếu K>0, số nguyên lớn nhất thỏa bất đẳng thức nghiêm ngặt là \lceil K\rceil-1; phần nguyên trên \lceil K\rceil là số nguyên nhỏ nhất không thấp hơn K.
Tỉ số giả định K · Cho phép n ≤ K · Yêu cầu n < K
6{,}8 · 6 · 6
6 · 6 · 5
0 · 0 · Không có n nguyên không âm thỏa
Bảng chỉ xét giới hạn số học. Nếu nước ban đầu đã ở miệng, K=0: chưa thêm vật thì nhận điều kiện không vượt, nhưng không thỏa yêu cầu thấp hơn. Không dùng công thức nghiêm ngặt để trả lời “âm một viên”.
Để bảo đảm mực nước cách miệng ít nhất \delta\ge0, lập điều kiện h\le H-\delta, với 0\le\delta\le H. Cần h_0\le H-\delta ngay từ đầu; nếu không, ngay n=0 đã không hợp lệ. Khi các giả thiết khác giữ nguyên:
nv\le S(H-\delta-h_0).
Muốn chứng minh một số là lớn nhất theo giới hạn thể tích, đặt m=\lfloor K\rfloor, rồi kiểm tra:
mv\le S(H-h_0)<(m+1)v.
Vế trái xác nhận m thỏa giới hạn, vế phải loại số nguyên kế tiếp. Vì thể tích tăng khi thêm bi giống nhau, mọi số lớn hơn cũng vượt. Muốn gọi m là số viên thực sự đặt được lớn nhất, còn phải xác nhận có cách bố trí m viên và điều kiện ngập.
6. Chuyển mô hình: đơn vị, bán kính và vật không giống nhau
Đổi đơn vị trước phép tính. Nếu cốc đo bằng centimet còn bi đo bằng milimet, đổi các độ dài về một đơn vị rồi lập phương. Vì 1\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{mm}, nên 1\,\mathrm{cm^3}=1000\,\mathrm{mm^3}, không phải 10.
Thay bán kính. Khi bán kính bi giảm một nửa, thể tích còn 1/8; tỉ số dung tích trống chia thể tích bi tăng 8 lần nếu cốc và nước giữ nguyên. Nhưng phần nguyên không nhất thiết tăng đúng 8 lần. Với tỉ số giả định K=6{,}8, cận nguyên ban đầu là 6; tỉ số mới 54{,}4 cho cận 54, không phải 6\cdot8=48. Cận này vẫn cần kiểm tra khả năng bố trí.
Bi hỗn hợp. Với những viên đều ngập hoàn toàn có bán kính a_1,\ldots,a_n, thay nv bằng tổng thể tích từng viên:
S(h-h_0)=\sum_{i=1}^{n}\frac43\pi a_i^3.
Không dùng bán kính trung bình rồi lập phương để thay tổng. Hai viên có bán kính 1 cm và 2 cm có tổng hệ số lập phương 1^3+2^3=9; dùng trung bình 1,5 cm cho 2(1{,}5)^3=6{,}75, khác 9.
Cốc không hình trụ. Nếu tiết diện ngang thay đổi theo độ cao, không giữ một S cố định để viết S(h-h_0). Cần quan hệ thể tích theo chiều cao phù hợp với hình cốc. Vật chỉ ngập một phần. Phải dùng phần thể tích dưới mặt nước, phần này có thể thay đổi khi nước dâng; không sửa bằng một tỉ lệ tùy ý.
Khi mô hình dự báo vượt miệng. Một giá trị tính theo giả thiết giữ nguyên nước nhưng lớn hơn H là dấu hiệu mô hình “chưa tràn” không còn hợp lệ. Nó không phải một mực nước cân bằng có thể giữ trong cốc hở.
7. Tự kiểm tra: nói rõ phép tính chứng minh điều gì
A. Không thêm nước mà mực nước tăng. Đại lượng nào giữ nguyên, đại lượng nào tăng?
Gợi ý A
Phân biệt lượng nước với vùng không gian từ đáy đến mặt nước.
Kiểm tra A
Thể tích nước giữ nguyên nếu không thêm, bớt, hút nước hoặc tràn. Vùng dưới mặt nước chứa thêm phần vật chìm, nên chiều cao mặt nước tăng trong cốc hình trụ.
B. Một viên có một phần nhô lên mặt nước. Dùng 4\pi a^3/3 làm thể tích chiếm chỗ?
Kiểm tra B
Không. Đó là thể tích toàn viên; chỉ phần dưới mặt nước chiếm chỗ trong quan hệ Sh=Sh_0+V_{\text{chìm}}.
C. Chia dung tích trống cho thể tích bi được 6,8, rồi làm tròn 7?
Kiểm tra C
Không. Số nguyên không được vượt 6,8 nên cận thể tích là 6. Kiểm tra 6 thỏa và 7 vượt, rồi xem có thể bố trí 6 viên ngập hoàn toàn hay không.
D. Tỉ số K bằng 6, yêu cầu mặt nước thấp hơn miệng. Nhận 6?
Kiểm tra D
Không. Điều kiện là n<6; cận nguyên là 5. Nếu cho phép vừa chạm miệng thì dấu bằng được nhận.
E. Cận thể tích là 4 nên chắc xếp được 4 viên?
Kiểm tra E
Không. Phản ví dụ ở mục 4 có bi rộng hơn cốc. Thể tích chỉ cho điều kiện cần; hình học bố trí và mức ngập phải được xác nhận.
F. Bán kính giảm một nửa, lấy cận nguyên cũ nhân 8?
Kiểm tra F
Hãy nhân tỉ số chưa lấy phần nguyên rồi mới lấy phần nguyên. Mất phần lẻ ở bước trước có thể làm đáp số nhân 8 quá nhỏ.
G. Hai bán kính khác nhau: dùng bán kính trung bình cho hai viên?
Kiểm tra G
Không. Thể tích phụ thuộc lập phương bán kính; tổng các lập phương không bằng số viên nhân lập phương trung bình nói chung. Cộng thể tích từng viên.
H. Nước ban đầu đã cao hơn mức dự trữ yêu cầu. Có thể trả lời “thêm 0 viên là hợp lệ”?
Kiểm tra H
Không. Ngay trạng thái ban đầu không thỏa điều kiện dự trữ, nên không có số viên thêm không âm đáp ứng nếu giữ nguyên lượng nước và chỉ thêm vật ngập.
Phiếu rà: tiết diện có cố định? nước có giữ nguyên? phần nào ngập? bán kính hay đường kính? cùng đơn vị? dấu bằng được nhận? cận nguyên đã kiểm tra kế tiếp? cách bố trí đã chứng minh hay mới có giới hạn thể tích?
THCS · Hiểu mô hình trước khi thay số · Dữ kiện minh họa tự biên soạn.