Điều kiện và quy tắc quyết định kết quả
Hiểu miền hợp lệ, chiều ngược của phép biến đổi và cách chọn đồng khả năng qua ba mô hình tương phản; kiểm tra kết quả nào thật sự đạt được.
TOÁN THCS · MÔ HÌNH VÀ TÍNH ĐẠT ĐƯỢC
Điều kiện và quy tắc quyết định kết quả
Hiểu miền hợp lệ, chiều ngược của phép biến đổi và cách chọn đồng khả năng qua ba mô hình tương phản; kiểm tra kết quả nào thật sự đạt được.
1. Một quy tắc luôn đi cùng những trường hợp được phép
Cùng một phép tính có thể cho một con số đúng mà chưa trả lời đúng câu hỏi. Một nghiệm có thể bị mẫu số loại; một xác suất có thể đếm sai vì các trường hợp không đồng khả năng; một số câu đúng có thể không đạt mục tiêu vì quy tắc chấm điểm đã đổi.
Muốn hiểu một mô hình, cần tách rõ hai phần: những đối tượng hoặc trường hợp nào được phép , và quy tắc tính hoặc chọn trên những trường hợp ấy là gì . Có thể kí hiệu tập đầu vào hợp lệ là D, quy tắc cho kết quả là f. Viết f(x)=a chỉ có nghĩa khi x\in D.
Ba việc khác nhau cần ba cách chứng minh: tính kết quả của một đầu vào; tìm đầu vào cho một kết quả; và xác định kết quả nào thật sự có thể xảy ra. Tìm được một biểu thức đại số chưa tự giải quyết cả ba việc.
Bài học dùng ba ứng dụng tương phản để kiểm tra nguyên tắc này: một biểu thức có căn và phép chia; một cách chọn học sinh; và một mô hình tính điểm. Chúng cùng đặt câu hỏi: khi thay đổi điều kiện hoặc quy tắc, tập kết quả thay đổi thế nào?
2. Biến đổi tương đương phải đi được cả hai chiều
Cộng cùng một biểu thức xác định vào hai vế là phép biến đổi có thể đảo lại bằng phép trừ. Nhân hai vế với một số khác không có thể đảo lại bằng phép chia. Nhưng chia cho một biểu thức chứa biến cần kiểm tra biểu thức ấy khác không ở những giá trị đang xét.
Ví dụ, từ x(x-2)=0, chia cho x sẽ làm mất nghiệm x=0. Cách đầy đủ là dùng quy tắc tích bằng không:
x(x-2)=0\Longleftrightarrow x=0\ \text{hoặc}\ x=2.
Bình phương cũng cần chiều ngược. Từ \sqrt{x}=x-2 suy ra x=(x-2)^2, nhưng phương trình đầu còn buộc x\ge0 và x-2\ge0. Phương trình sau cho x=1 hoặc x=4; chỉ x=4 thỏa điều kiện và thế lại đúng. Nghiệm x=1 xuất hiện do bình phương đã xóa thông tin về dấu.
Vì sao điều kiện không âm khôi phục được chiều ngược?
Nếu x\ge0, x-2\ge0 và x=(x-2)^2, thì lấy căn bậc hai không âm hai vế được \sqrt{x}=|x-2|=x-2. Như vậy chính điều kiện dấu làm phép biến đổi trở thành tương đương.
Vì thế, mỗi phép biến đổi cần được đọc kèm miền đang dùng. Sau khi tìm ứng viên, quay lại miền ban đầu và dựng hoặc thế lại một trường hợp hợp lệ là cách hoàn tất chiều ngược.
3. Rút gọn giữ nguyên giá trị, nhưng không mở rộng miền ban đầu
Xét biểu thức được chọn làm ví dụ:
P=\left(\frac1{\sqrt{x}-3}+\frac1{\sqrt{x}+3}\right):\frac{2\sqrt{x}}{x+9}.
Để biểu thức xác định, căn bậc hai cần x\ge0; hai mẫu trong ngoặc cần x\ne9, còn \sqrt{x}+3>0. Mẫu x+9 dương trên miền này. Cuối cùng, ta đang chia cho 2\sqrt{x}/(x+9), nên phân thức chia phải khác không: x\ne0. Do đó
\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}:x>0,\ x\ne9\}}.
Trên miền ấy, mọi phép khử sau đây đều hợp lệ:
\frac1{\sqrt{x}-3}+\frac1{\sqrt{x}+3}=\frac{2\sqrt{x}}{x-9},P=\frac{2\sqrt{x}}{x-9}\cdot\frac{x+9}{2\sqrt{x}}=\frac{x+9}{x-9}.
Phân thức cuối xác định thêm tại x=0, nhưng biểu thức gốc không xác định ở đó vì phép chia cho không. Vì vậy không được kết luận biểu thức gốc nhận giá trị -1 tại x=0. Ta đã tìm một công thức đơn giản hơn trên cùng miền , không đổi miền của bài toán.
Dự đoán. Một giá trị bị loại ở đầu vào có thể làm mất một giá trị ở đầu ra không? Ví dụ này cho thấy có: công thức mở rộng nhận -1, còn biểu thức ban đầu thì không.
4. Muốn biết tất cả kết quả có thể nhận, phải chứng minh cả sự tồn tại
Tách công thức vừa có:
P=1+\frac{18}{x-9}.
Nếu x>9, phân số dương nên P>1. Nếu 0<x<9, ta có
P+1=\frac{2x}{x-9}<0\quad\Rightarrow\quad P<-1.
Đây mới là một chiều: mọi đầu vào hợp lệ đều cho kết quả ngoài đoạn từ -1 đến 1. Muốn khẳng định mọi số ở ngoài đoạn ấy đều đạt được, hãy giải ngược. Gọi giá trị mong muốn là p:
\frac{x+9}{x-9}=p\quad\Rightarrow\quad(p-1)x=9(p+1).
Với p<-1 hoặc p>1, ta có p\ne1, nên chọn
x=\frac{9(p+1)}{p-1}.
Tử và mẫu cùng dấu, nên x>0. Đồng thời x-9=18/(p-1)\ne0, nên x\ne9. Đầu vào này thuộc đúng miền ban đầu; thế lại công thức cho P=p. Vì vậy
\boxed{P\text{ nhận đúng các giá trị }p<-1\text{ hoặc }p>1}.
Màu xanh biểu diễn các giá trị được phép trên mỗi trục. Mũi tên cho biết phần tô còn kéo dài. Một lỗ trong miền đầu vào có thể loại một giá trị ở đầu ra.
Chẳng hạn p=2 cho x=27, còn p=-2 cho x=3, đều hợp lệ. Nếu yêu cầu p=0, phương trình đại số cho x=-9, nhưng giá trị này không thuộc miền nên không có nghiệm. Với p=-1, ứng viên là x=0, cũng bị loại. Với p=1, phương trình dẫn đến 9=-9, không thể xảy ra.
Điều học được. Chặn kết quả vào một miền là điều kiện cần. Tạo được một đầu vào hợp lệ cho từng kết quả trong miền ấy mới chứng minh điều kiện đủ. Hai đầu mút -1,1 bị loại bởi những lí do khác nhau, nên cần xét rõ từng đầu mút.
5. Trong xác suất, quy tắc chọn quan trọng như tập kết quả
Với một tập hữu hạn gồm n kết quả đồng khả năng , mỗi kết quả có xác suất 1/n. Một sự kiện gồm k kết quả như vậy có xác suất k/n, vì ta cộng k xác suất bằng nhau. Điều kiện đồng khả năng là phần của mô hình, không được suy ra chỉ từ việc có thể liệt kê các kết quả.
Xét dữ liệu điểm của 30 học sinh:
Điểm · Số học sinh
2 · 1
3 · 3
4 · 2
5 · 4
6 · 3
7 · 5
8 · 6
9 · 4
10 · 2
Chọn đều một học sinh. Mỗi người có xác suất 1/30. Có 6+4+2=12 học sinh đạt trên 7 điểm, nên xác suất là 12/30=2/5.
Chọn đều một trong chín mức điểm đang có, rồi chọn đều một người ở mức ấy. Bây giờ có ba mức điểm trên 7, nên xác suất chọn được người trên 7 điểm là 3/9=1/3. Tuy cùng dùng bảng dữ liệu, quy tắc chọn đã khác.
Ta còn thấy rõ sự thiên lệch ở cấp từng người: học sinh duy nhất được 2 điểm có xác suất 1/9, còn mỗi học sinh trong nhóm 8 điểm có xác suất (1/9)(1/6)=1/54. Một người ở nhóm nhỏ được chọn với xác suất gấp sáu lần một người ở nhóm lớn.
Hai thanh biểu diễn xác suất của một cá nhân, không phải xác suất của cả nhóm. Độ dài tỉ lệ với các xác suất 1/9 và 1/54.
Quy luật chung của việc chọn nhóm trước
Giả sử có g nhóm không rỗng; nhóm đang xét có n người. Chọn đều một nhóm, rồi chọn đều một người trong nhóm ấy, thì xác suất của từng người ở nhóm ấy là 1/(gn). Bước thứ hai là lựa chọn có điều kiện theo nhóm đã chọn, không phải một lần chọn độc lập từ toàn bộ mọi người.
Tất cả người có cùng xác suất theo cách này khi và chỉ khi các nhóm có cùng số người: nếu kích thước nhóm bằng nhau, công thức giống nhau; ngược lại, hai xác suất 1/(gn_1)=1/(gn_2) với các số dương buộc n_1=n_2. Muốn chọn đều mọi người khi nhóm khác cỡ, có thể chọn nhóm với xác suất tỉ lệ số người trong nhóm, rồi chọn đều trong nhóm đó. Nếu tổng số người là T, xác suất của từng người trong nhóm có n người sẽ là \frac{n}{T}\cdot\frac1n=\frac1T.
6. Một giả thiết về hành vi có thể đổi miền các phương án
Trước khi dùng ví dụ số, hãy lập quy tắc chung. Có N câu hỏi, với N là số nguyên dương; trả lời đúng được u>0 điểm, sai bị trừ v>0 điểm, bỏ trống được 0 điểm, và có b điểm ban đầu. Gọi c,w,z lần lượt là số câu đúng, sai, bỏ trống. Các biến là số nguyên không âm và
c+w+z=N,\qquad S=uc-vw+b.
Nếu phải trả lời tất cả, z=0,w=N-c, nên
S=(u+v)c+b-vN.
Nếu được bỏ trống, thay w=N-c-z cho
S=(u+v)c+vz+b-vN,\qquad 0\le z\le N-c.
Với một số câu đúng c cố định, điểm lớn nhất đạt được khi không có câu sai, tức z=N-c: S_{\max}=uc+b. Đây là một tối ưu có trường hợp đạt dấu bằng rõ ràng, không chỉ là một cận trên.
Ví dụ chọn lọc. Có 30 câu, đúng được 2 điểm, sai bị trừ 1 điểm, ban đầu có 6 điểm. Mục tiêu là ít nhất 27 điểm.
Nếu phải trả lời cả 30 câu:
S=3c-24\ge27\Longleftrightarrow c\ge17.
Phương án c=17,w=13,z=0 cho đúng 27 điểm, nên số câu đúng ít nhất là 17.
Nếu được bỏ trống, với c câu đúng ta có S\le2c+6. Muốn S\ge27, cần 2c+6\ge27, tức c\ge10{,}5. Vì c nguyên, phải có c\ge11. Phương án c=11,w=0,z=19 đạt 28 điểm, nên 11 là đủ và là ít nhất.
Hai kết quả không mâu thuẫn. Chúng trả lời hai mô hình có miền phương án khác nhau. Không được dùng công thức S=3c-24 sau khi đã cho phép z>0.
7. Kiểm tra tính đạt được trước khi kết luận
Miền số nguyên còn tạo ra những khoảng trống mà một bất đẳng thức không nhìn thấy. Trong mô hình trả lời cả 30 câu, các điểm có thể nhận là
-24,-21,-18,\ldots,66.
Vì thế, đạt đúng 28 điểm là không thể: phương trình 3c-24=28 cho c=52/3, không phải số nguyên. Nhưng trong mô hình cho bỏ trống, phương án 11 câu đúng và 19 câu bỏ trống đã cho 28 điểm.
Nếu đổi mục tiêu thành hơn 27 điểm, mô hình trả lời tất cả cần 3c-24>27, tức c>17, nên ít nhất 18 câu đúng. Mô hình cho bỏ trống vẫn chỉ cần 11 câu đúng. Nếu yêu cầu ít nhất 67 điểm thì cả hai mô hình đều không có phương án, vì điểm lớn nhất là 2\cdot30+6=66.
Tự thực hiện một chiều ngược đầy đủ
Trong mô hình cho bỏ trống, muốn đúng 27 điểm với 11 câu đúng thì cần 22-w+6=27, nên w=1, z=18. Ba số đều nguyên không âm, tổng bằng 30, và thế lại cho 27. Đó là một phương án thật, không chỉ là một nghiệm của phương trình chưa kiểm tra.
Những kiểm tra này cùng một kiểu với biểu thức có căn: x=-9 có thể giải một phương trình đã biến đổi nhưng bị miền loại; c=52/3 có thể giải phương trình điểm nhưng bị tính nguyên loại. Với xác suất, kiểm tra thêm quy tắc chọn bảo đảm các trọng số dùng để đếm là đúng.
Khi một kết quả thay đổi sau khi thêm hoặc bỏ điều kiện, hãy xác định phần nào đã đổi: tập trường hợp được phép, quy tắc tính, hay quy tắc chọn. Sau đó chứng minh cả hai việc: mọi trường hợp hợp lệ đều thỏa kết luận, và mỗi kết quả được khẳng định là đạt được đều có một trường hợp hợp lệ tạo ra nó.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu