Kiểm chứng mô hình: miền hợp lệ, giả thiết và giá trị đạt được
Phân biệt nghiệm phương trình với kết luận đúng; kiểm tra giả thiết vật ngập, sửa mô hình phần chìm và chứng minh cận kèm điều kiện đạt được bằng những ví dụ…
TOÁN THCS · LẬP LUẬN, KIỂM TRA VÀ PHẢN VÍ DỤ
Kiểm chứng mô hình: miền hợp lệ, giả thiết và giá trị đạt được
Phân biệt nghiệm phương trình với kết luận đúng; kiểm tra giả thiết vật ngập, sửa mô hình phần chìm và chứng minh cận kèm điều kiện đạt được bằng những ví dụ tương phản.
1. Tìm được một con số khác với chứng minh một kết luận
Một phép giải có thể tạo ra ứng viên : một nghiệm, một chiều cao, một giá trị có vẻ nhỏ nhất. Muốn kết luận, ta cần xác nhận ứng viên trả lời đúng câu hỏi trong đúng miền và đúng mô hình.
Ba kiểu kiểm tra không thay thế cho nhau:
- Kiểm tra miền: số tìm được có được phép làm độ dài, vận tốc, số lượng hoặc mẫu số không?
- Kiểm tra giả thiết mô hình: kết quả có phù hợp với giả thiết đã dùng, chẳng hạn vật ngập hoàn toàn hoặc nước không tràn?
- Kiểm tra tính tối ưu: đã chứng minh mọi trường hợp đều không tốt hơn ứng viên, và ứng viên có thật sự đạt được chưa?
Thay số vào một phương trình chỉ kiểm tra phương trình ấy. Nó không tự xác nhận các điều kiện chưa được đưa vào phương trình. Bài học dùng những tình huống tương phản để thấy rõ chỗ cần bổ sung lý do.
2. Nghiệm đại số phải được lọc bằng ý nghĩa của ẩn
Một hình chữ nhật có diện tích 12\,\mathrm{cm}^2, chiều dài lớn hơn chiều rộng 1 cm. Gọi chiều rộng là x cm, nên x>0; chiều dài là x+1 cm.
Phương trình diện tích là x(x+1)=12. Giải trên số thực:
x^2+x-12=(x-3)(x+4)=0
\Rightarrow x=3\text{ hoặc }x=-4.
Cả hai số đều thỏa phương trình tích. Nhưng x=-4 cho hai “kích thước” -4,-3, không phải độ dài hợp lệ. Chỉ nhận x=3, chiều dài 4 cm.
Kiểm tra toàn bộ dữ kiện, không chỉ một phần
- Hai kích thước 3,4 đều dương.
- Diện tích 3\cdot4=12\,\mathrm{cm}^2.
- Hiệu chiều dài và chiều rộng 4-3=1 cm.
Ngược lại, hai kích thước 2,6 cũng có tích 12, nhưng không thỏa hiệu 1. Đó là ví dụ một kết quả qua được một phép kiểm tra mà vẫn sai mô hình đầy đủ.
Tự hỏi: nghiệm -4 là do tính sai hay do giải phương trình trên một miền rộng hơn miền hình học?
Giải thích
Nó là nghiệm đúng của phương trình đại số. Miền hình học chỉ cho x>0, nên phải lọc. Không nên sửa phép tính để “làm mất” nghiệm âm; cần nêu đúng lý do loại nó.
Viết điều kiện trước giúp nhớ phải lọc gì; kiểm tra sau giúp xác nhận ứng viên đã qua đủ các điều kiện.
3. Kết quả phải quay lại kiểm tra giả thiết đã dùng
Xét một cốc hình trụ có bán kính trong 5 cm, cao trong 10 cm, nước ban đầu cao 6 cm. Thả nhẹ một viên bi sắt đặc bán kính 3 cm xuống đáy. Giả sử bi chìm, không thấm nước, không có nước bắn ra; bỏ qua độ dày thành cốc.
Đặt giả thiết làm việc, rồi tìm ứng viên
Nếu bi ngập hoàn toàn và không tràn, không gian dưới mặt nước mới gồm nước ban đầu và toàn bộ bi. Khi đó:
V_{\text{nước}}=\pi\cdot5^2\cdot6=150\pi,
V_{\text{bi}}=\frac43\pi\cdot3^3=36\pi.
Đơn vị hai thể tích là \mathrm{cm}^3. Gọi h là chiều cao mực nước mới, tính bằng cm:
25\pi h=150\pi+36\pi\quad\Rightarrow\quad h=7{,}44.
Đây là ứng viên của mô hình “bi ngập hoàn toàn, không tràn”. Phải kiểm tra chính hai điều đó trước khi kết luận.
Mặt cắt được vẽ cùng tỉ lệ cho cốc, bi và mực nước. Mặt nước nằm trên đỉnh bi và dưới miệng cốc, xác nhận hai điều kiện đã dùng.
Ba kiểm tra vật lý và hình học
- Bi có vừa cốc? Đường kính bi 6 cm nhỏ hơn đường kính trong cốc 10 cm.
- Bi có ngập hết? Nằm trên đáy, đỉnh bi ở độ cao 6 cm. Ta tìm được h=7{,}44>6, nên giả thiết ngập hoàn toàn tự phù hợp.
- Nước có tràn? 7{,}44<10, nên mặt nước ở dưới miệng cốc.
Vậy trong các giả thiết đã nêu, mực nước mới là 7{,}44 cm. Không gọi 186\pi là thể tích nước: nước vẫn có thể tích 150\pi; phần còn lại là thể tích bi chiếm chỗ.
Một thay đổi làm mô hình thất bại
Nếu cùng cốc và bi nhưng nước ban đầu chỉ cao 1 cm, công thức cộng toàn bộ bi cho h=1+36/25=2{,}44 cm. Giá trị này thấp hơn đỉnh bi 6 cm, trái giả thiết ngập hoàn toàn.
Điều đó không chứng minh tình huống thực tế không có mực nước. Nó chứng minh mô hình ngập hoàn toàn không dùng được . Phải thay thể tích cả bi bằng thể tích phần bi nằm dưới mặt nước.
4. Khi một giả thiết sai, sửa mô hình thay vì sửa đáp số
Để thấy cách sửa rõ hơn, xét một ví dụ mới có hình dạng đơn giản. Bể hộp có đáy trong 10 cm nhân 10 cm, cao 8 cm; nước ban đầu cao 3 cm. Một khối hộp đặc, không thấm nước được đặt và giữ trên đáy bể. Đáy khối 4 cm nhân 5 cm, chiều cao 5 cm; các mặt song song thành bể. Không thêm hoặc mất nước.
Thử mô hình ngập hoàn toàn
Diện tích đáy bể 100\,\mathrm{cm}^2, thể tích nước 300\,\mathrm{cm}^3. Khối hộp có thể tích 4\cdot5\cdot5=100\,\mathrm{cm}^3. Nếu ngập hết, ứng viên là h=(300+100)/100=4 cm. Nhưng khối cao 5 cm, nên h=4 mâu thuẫn với giả thiết ngập hết.
Dùng thể tích phần chìm
Khi 0<h<5, phần khối dưới nước có thể tích 20h, vì diện tích đáy khối bằng 20\,\mathrm{cm}^2. Không gian dưới mặt thoáng chứa nước và phần khối chìm:
100h=300+20h
80h=300\quad\Rightarrow\quad h=3{,}75\text{ cm}.
Mặt cắt cho thấy phần vật còn nhô lên. Trong phép tính thể tích, dùng diện tích đáy bể và đáy vật đã cho, không suy ra thể tích chỉ từ diện tích hình vẽ.
Kiểm tra: 0<3{,}75<5, đúng miền phần chìm; 3{,}75<8, không tràn; đáy 4\times5 vừa trong đáy 10\times10. Thể tích phần chìm 20\cdot3{,}75=75, cộng nước 300 bằng 375=100\cdot3{,}75. Mô hình mới tự phù hợp.
Điểm chuyển phương pháp: không sửa 4 cm thành 3{,}75 cm bằng phỏng đoán. Ta đổi quan hệ thể tích từ “toàn vật” sang “phần chìm”, rồi giải và kiểm tra lại.
Nếu chưa biết vật có ngập hết hay không, một cách làm hợp lý là xét từng chế độ, giải trong chế độ ấy và loại ứng viên không nằm trong miền của nó.
5. Một ứng viên cực trị cần cả cận và dấu bằng
Cho x,y>0, x+y=4. Xét P=xy. Tính đối xứng gợi ý thử x=y=2, cho P=4. Nhưng thử một cặp chưa nói được đó là lớn nhất hay nhỏ nhất.
Chứng minh một cận đúng với mọi cặp
Từ (x-y)^2\ge0, suy ra (x+y)^2\ge4xy. Vì x+y=4:
16\ge4xy\quad\Rightarrow\quad P\le4.
Dấu bằng xảy ra khi x=y. Cặp (2,2) thuộc miền và có tổng 4, nên đạt cận. Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 .
Cận dưới có nhất thiết là giá trị nhỏ nhất?
Vì hai biến dương, P>0. Có thể chọn x dương rất nhỏ, y=4-x, làm tích tiến gần 0. Nhưng P=0 đòi hỏi một biến bằng 0, bị loại.
Để chứng minh không có giá trị nhỏ nhất mà không chỉ dựa vào lời “rất nhỏ”, xét một cặp bất kỳ có tích p>0. Do p\le4, chọn x'=p/8, y'=4-p/8. Cả hai dương và có tổng 4; tích mới thỏa:
x'y'=\frac p8\left(4-\frac p8\right)<\frac p2<p.
Mỗi giá trị đang có đều bị thay bởi một giá trị nhỏ hơn hợp lệ. Vì vậy không có giá trị nhỏ nhất; 0 chỉ là cận dưới không đạt.
Đổi miền: nếu cho x,y\ge0 thay vì dương, điều gì thay đổi?
Giải thích
Giá trị lớn nhất vẫn là 4 tại (2,2). Bây giờ (0,4) và (4,0) được phép, nên giá trị nhỏ nhất bằng 0 và đã đạt được. Chỉ một dấu bằng trong điều kiện làm thay đổi sự tồn tại của cực trị.
6. Thiết kế phép kiểm tra trước khi tính
Kiểm tra kết quả phụ thuộc giả thiết
Một bạn cộng thể tích toàn bộ vật vào thể tích nước rồi tìm được mực nước thấp hơn đỉnh vật. Em nên kết luận điều gì?
Đáp án
Mô hình “vật ngập hoàn toàn” không phù hợp. Cần mô hình thể tích phần chìm hoặc một giả thiết khác được chứng minh. Không được giữ đáp số chỉ vì phép tính chia thể tích cho diện tích đáy đúng.
Kiểm tra một nghiệm hình học
Hai số -3,-4 có tích 12. Chúng có thể là kích thước của hình chữ nhật diện tích 12 không? Còn 2,6 có thể trả lời ví dụ chiều dài hơn chiều rộng 1 cm không?
Đáp án
Không cho cả hai câu hỏi. Cặp âm vi phạm miền độ dài; cặp 2,6 thỏa diện tích nhưng vi phạm chênh lệch 1. Hai phép kiểm tra phát hiện hai lỗi khác nhau.
Kiểm tra một lời tuyên bố “nhỏ nhất”
Với x>0, biểu thức Q=x+1 luôn lớn hơn 1. Có thể kết luận giá trị nhỏ nhất là 1 không?
Đáp án
Không. Q=1 cần x=0, không hợp lệ. Với bất kỳ x>0, chọn x/2>0 thì giá trị mới nhỏ hơn. 1 là cận dưới không đạt, không phải giá trị nhỏ nhất.
Bốn dòng nên có trong một lời kết luận
- Ứng viên thu được bằng quan hệ nào?
- Nó thuộc miền của ẩn và đúng đơn vị không?
- Nó có xác nhận các giả thiết đã dùng để lập quan hệ không?
- Nếu nói “duy nhất”, “lớn nhất” hoặc “nhỏ nhất”, đã có lý do cho phần khẳng định thêm ấy chưa?
Kiểm chứng là một phần của lời giải. Nó giúp phân biệt nghiệm của phương trình, nghiệm của mô hình và kết luận thật sự mà câu hỏi yêu cầu.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải