Hai tiếp tuyến và bán kính nội tiếp: dựng chiều đảo, đếm số hình
Từ diện tích suy ra miền bán kính khả thi, xác định độ dài hình chiếu lớn nhất và giải thích vì sao cùng một phép đo có thể cho hai tam giác khác nhau.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hai tiếp tuyến và bán kính nội tiếp: dựng chiều đảo, đếm số hình
Từ diện tích suy ra miền bán kính khả thi, xác định độ dài hình chiếu lớn nhất và giải thích vì sao cùng một phép đo có thể cho hai tam giác khác nhau.
01 · Bán kính nội tiếp được tính bằng diện tích
Với một tam giác không suy biến có diện tích S, nửa chu vi p>0, bán kính đường tròn nội tiếp r thỏa S=rp. Để thấy vì sao, nối tâm nội tiếp với ba đỉnh. Ba tam giác nhỏ có chiều cao đến các cạnh đều bằng r; tổng diện tích của chúng là r nhân tổng ba cạnh rồi chia 2. Vì thế r=S/p.
Chẳng hạn tam giác cân có đáy 2b>0, chiều cao h>0, cạnh bên \ell=\sqrt{b^2+h^2}. Khi ấy
r=\frac{bh}{\ell+b}.
Công thức này cho phép chuyển từ một hình có đường tròn nội tiếp khó nhìn sang các độ dài tính được. Nhưng một công thức còn phải đi cùng miền giá trị và câu hỏi ngược: với một bán kính được yêu cầu, có tam giác nào thực sự tạo ra nó?
02 · Một họ tam giác được tạo bởi hai tiếp tuyến
Cho đường tròn (O;R), R>0, và điểm M bên ngoài, OM=d>R. Hai tiếp tuyến từ M tiếp xúc tại A,B. Gọi r là bán kính nội tiếp tam giác MAB. Kẻ đường kính AC, và BH\perp AC tại H. Đây là phần cấu hình được chọn để nghiên cứu quan hệ giữa r,R và độ dài hình chiếu BH.
Hai tam giác vuông OAM,OBM có chung cạnh huyền và OA=OB, nên bằng nhau. Do đó MA=MB, hai tiếp điểm đối xứng qua OM. Gọi Q=AB\cap OM; đường OM vuông góc và chia đôi AB.
Đặt u=R/d, nên 0<u<1; đặt v=\sqrt{1-u^2}>0. Có thể hiểu u,v là cosin và sin của góc nhọn AOM. Trong tam giác vuông OAM, hình chiếu hoặc đồng dạng cho OA^2=OQ\cdot OM. Suy ra
OQ=Ru,\quad AQ=BQ=Rv,\quad MQ=\frac{Rv^2}{u},\quad MA=MB=\frac{Rv}{u}.
Cụ thể, AQ=\sqrt{R^2-R^2u^2}=Rv, MQ=d-OQ=R/u-Ru, và MA=\sqrt{d^2-R^2}. Các căn lấy nhánh dương vì tam giác thật sự có các cạnh dương.
03 · Một bán kính nhỏ xác định duy nhất hình dạng
Diện tích tam giác cân MAB bằng AQ\cdot MQ=R^2v^3/u. Nửa chu vi là MA+AQ=Rv(1+u)/u. Các thừa số dùng để chia đều dương, nên
r=\frac{R^2v^3/u}{Rv(1+u)/u}=R\frac{v^2}{1+u}=R(1-u).
Quan hệ và miền khả thi: r=R\left(1-\frac Rd\right),\qquad 0<r<R. Chiều ngược là d=\frac{R^2}{R-r}.
Với bất kỳ 0<r<R, công thức ngược cho d>R. Từ điểm cách tâm d, có đúng hai tiếp tuyến phân biệt; chúng tạo tam giác không suy biến và công thức đã chứng minh trả lại bán kính đúng bằng r. Do đó mọi bán kính trong khoảng ấy đều đạt. Với R cố định, nó xác định duy nhất d và hình dạng tam giác, kể cả khi xoay hoặc phản chiếu cả hình.
Có thể kiểm chiều dựng ngược bằng tọa độ. Đặt O=(0,0), M=(R/u,0), A=(Ru,Rv), B=(Ru,-Rv). Hai điểm A,B nằm trên đường tròn vì u^2+v^2=1. Hệ số góc của OA và AM lần lượt là v/u, -u/v, có tích -1; tương tự với OB,BM. Vì vậy các đường dựng được đúng là tiếp tuyến.
Ở biên r=0, công thức cho d=R, hai tiếp điểm co về M, không còn tam giác. Ở biên r=R, không có d hữu hạn; mẫu R-r bằng 0. Với d_2>d_1>R, hiệu bán kính là R^2(d_2-d_1)/(d_1d_2)>0: đưa M ra xa làm r tăng, nhưng không bao giờ đạt R.
04 · Tính hình chiếu bằng hai cách tính diện tích
Diện tích tam giác OAB tính theo đáy AB=2Rv, chiều cao OQ=Ru, là R^2uv. Tính theo đáy OA=R, chiều cao từ B xuống đường thẳng AC, cũng là đường thẳng OA, nó bằng R\cdot BH/2. Bởi vậy
BH=2Ruv=\frac{2(R-r)\sqrt{r(2R-r)}}{R}.
Phép thế dùng u=(R-r)/R>0 và v=\sqrt{r(2R-r)}/R>0. Không cần công thức góc gấp đôi để có quan hệ này.
Điểm H luôn nằm trong đường kính AC. Thật vậy B khác A,C, nên BH>0. Nếu H\ne O, tam giác OBH vuông cho OH<OB=R; nếu H=O thì kết luận cũng đúng trực tiếp. Một điểm trên đường AC cách O nhỏ hơn R nằm trong đoạn AC.
Mẫu mới: R=5,r=1, nên u=4/5,v=3/5,d=25/4. Hình dùng cùng tỉ lệ 15 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài. Tọa độ thật: A=(4,3), B=(4,-3), C=(-4,-3), H=(28/25,21/25). Đường tròn nhỏ nội tiếp tam giác có tâm (5,0), bán kính 1.
05 · Bán kính tăng không có nghĩa hình chiếu luôn tăng
Từ u^2+v^2=1, ta có
1-4u^2v^2=(u^2-v^2)^2\ge0.
Vì u,v>0, suy ra BH=2Ruv\le R. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u=v=1/\sqrt2, tương đương
r=R\left(1-\frac1{\sqrt2}\right),\qquad d=R\sqrt2.
Các giá trị này thuộc miền, nên R thực sự là độ dài BH lớn nhất và chỉ có một hình dạng đạt được. Khi ấy H=O vì OH^2=R^2-BH^2=0.
Để xét thứ tự, đặt z=u^2\in(0;1). Khi r tăng thì z giảm; bình phương độ dài chuẩn hóa là 4z(1-z). Với 0<x<y<1,
4y(1-y)-4x(1-x)=4(y-x)(1-x-y).
Hàm tăng trên (0;1/2] và giảm trên [1/2;1), do dấu của 1-x-y. Kết hợp việc z giảm theo r, độ dài BH tăng khi r tăng từ 0 tới bán kính đặc biệt ở trên, rồi giảm khi r tiếp tục tiến về R. Không suy tính đơn điệu của một đại lượng từ tính đơn điệu của một đại lượng khác.
06 · Một độ dài hình chiếu có thể cho hai hình dạng
Cho trước R>0 và muốn BH=\eta>0. Đặt w=\eta/R, z=u^2. Do hai vế độ dài đều dương, bình phương là phép tương đương:
w=2\sqrt{z(1-z)}\iff z^2-z+\frac{w^2}{4}=0.
Nếu 0<\eta<R, thì 0<w<1, hai nghiệm phân biệt là
z_1=\frac{1+\sqrt{1-w^2}}2,\qquad z_2=\frac{1-\sqrt{1-w^2}}2.
Cả hai nằm trong (0;1). Mỗi nghiệm cho u=\sqrt z, r=R(1-\sqrt z), d=R/\sqrt z; chiều dựng ngược ở phần 03 bảo đảm có tam giác phù hợp. Thế vào công thức dương của BH trả lại đúng \eta, nên không có nghiệm ngoại lai do bình phương.
Vì phương trình bậc hai có đúng hai nghiệm và mỗi nghiệm cho đúng một r, có đúng hai hình dạng. Nếu \eta=R, hai nghiệm trùng z=1/2, chỉ còn một hình dạng. Nếu \eta>R, không có. Nếu yêu cầu \eta=0, các nghiệm hình thức z=0,1 đều bị loại khỏi miền nên cũng không có tam giác hợp lệ.
Ví dụ R=5, \eta=24/5: w=24/25, \sqrt{1-w^2}=7/25. Ta được z_1=16/25, z_2=9/25, tức
(r,d)=\left(1,\frac{25}{4}\right)\quad\text{hoặc}\quad\left(2,\frac{25}{3}\right).
Cả hai có BH=24/5. Phép đo hình chiếu riêng lẻ không xác định duy nhất bán kính nội tiếp. Hai bán kính khả dĩ còn thỏa (R-r_1)^2+(R-r_2)^2=R^2, vì z_1+z_2=1.
07 · Tự kiểm điều kiện và chiều đảo
Bán kính nội tiếp bằng nửa R có cho OM bằng hai R không?
Có: d=R^2/(R-R/2)=2R, hợp điều kiện ngoài đường tròn. Khi đó u=1/2, v=\sqrt3/2, nên BH=R\sqrt3/2<R. Bán kính nội tiếp này không tạo hình chiếu lớn nhất.
Trong ví dụ R bằng5, vì sao hình r bằng2 có M xa hơn mà BH vẫn như cũ?
Hai giá trị u là 4/5 và 3/5, còn hai giá trị v hoán đổi tương ứng. Tích uv=12/25 giữ nguyên nên BH=2Ruv giữ nguyên, dù d=R/u khác nhau. Đây là một kiểm tra độc lập của hai nghiệm.
Có thể dùng công thức này cho mọi tam giác cân với một đường tròn tùy ý không?
Không. Công thức r=S/p đúng cho mọi tam giác không suy biến; quan hệ r=R(1-R/d) dùng đúng họ được tạo bởi hai tiếp tuyến từ M tới cùng đường tròn (O;R). Khi thay đường tròn hoặc bỏ tiếp xúc, quan hệ hình chiếu OA^2=OQ\cdot OM không còn được bảo đảm.
Đọc một công thức hình học đầy đủ nghĩa là biết nó được suy ra từ đâu, miền nào cho hình thật, dữ kiện nào xác định duy nhất và dữ kiện nào có nhiều cách dựng. Chứng minh chiều đảo là cách biến một kết quả tính toán thành một phương pháp thiết kế.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện