Miền xác định và giá trị tuyệt đối: biến đổi đúng, lọc nghiệm đủ
Phân biệt công thức với miền gốc, hiểu hai điều kiện dấu của giá trị tuyệt đối, xét mẫu đổi dấu và lọc nghiệm nguyên bằng các ví dụ độc lập trước khi ghép…
TOÁN 9 · ĐIỀU KIỆN, DẤU VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI
Miền xác định và giá trị tuyệt đối: biến đổi đúng, lọc nghiệm đủ
Phân biệt công thức với miền gốc, hiểu hai điều kiện dấu của giá trị tuyệt đối, xét mẫu đổi dấu và lọc nghiệm nguyên bằng các ví dụ độc lập trước khi ghép công cụ.
1. Một biểu thức gồm cả công thức và miền được phép
Khi biến đổi đại số, hai công thức có thể cho cùng giá trị ở mọi điểm đang được phép, nhưng không có cùng miền xác định. Vì vậy, rút gọn một biểu thức không đồng nghĩa xóa điều kiện của biểu thức ban đầu.
Một ví dụ độc lập về điểm bị loại
Xét R(x)=(x^2-9)/(x-3). Mẫu số đòi hỏi x\ne3. Trên miền đó, phân tích tử rồi khử nhân tử khác 0:
R(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,\qquad x\ne3.
Công thức x+3 tính được tại x=3, nhưng R ban đầu thì không. Con số 6 ở điểm ấy thuộc một công thức mở rộng, không phải giá trị của biểu thức gốc.
Cách ghi an toàn: viết công thức rút gọn cùng miền cũ. Khi giải một yêu cầu từ biểu thức gốc, các điểm bị loại vẫn phải được kiểm tra sau cùng.
Nhân tử khác số hạng
Ta khử x-3 vì nó nhân với toàn bộ phần còn lại ở tử và mẫu. Không được xóa một chữ x trong (x+2)/(x+3) để được 2/3. Chỉ cần thử x=1: 3/4\ne2/3.
2. Phép chia trong phương trình cần kiểm tra riêng
Xét phương trình (x-3)(x+2)=0. Quy tắc tích bằng 0 cho x=3 hoặc x=-2. Nếu chia ngay hai vế cho x-3, ta sẽ chỉ còn x+2=0, làm mất nghiệm 3.
Khác với mẫu số trong biểu thức ở phần trước, ở đây đề không hề cấm x=3. Muốn chia cho x-3, phải xét hai trường hợp: x=3 và x\ne3. Trường hợp đầu cho một nghiệm; trong trường hợp sau mới được chia.
Dự đoán: vì sao cùng thao tác “khử x-3” lại hợp lệ trong biểu thức có miền x\ne3, nhưng có thể làm mất nghiệm trong phương trình tích?
Giải thích
Ở biểu thức, điều kiện mẫu khác 0 đã loại x=3. Ở phương trình tích, giá trị 3 vẫn thuộc miền và chính là một cách làm tích bằng 0. Phải đọc điều kiện có sẵn, không tự mang điều kiện từ bài khác sang.
Căn bậc hai cũng cần giữ đúng nghĩa
Với mọi số thực u, u^2\ge0, và căn số học luôn không âm. Vì vậy:
\sqrt{u^2}=|u|,
không phải luôn bằng u. Chẳng hạn u=-4 thì \sqrt{u^2}=4, còn u=-4. Đây là lý do giá trị tuyệt đối xuất hiện tự nhiên khi căn và bình phương gặp nhau.
3. Giá trị tuyệt đối chọn phía của một số
|u| là khoảng cách từ u đến 0 trên trục số: |u|=u nếu u\ge0, và |u|=-u nếu u<0. Từ định nghĩa, ta có hai công cụ dấu:
|u|+u=0\Longleftrightarrow u\le0,
|u|-u=0\Longleftrightarrow u\ge0.
Với u<0, tổng |u|+u=-u+u=0, còn hiệu |u|-u=-2u>0. Với u>0, tổng bằng 2u>0, hiệu bằng 0. Khi u=0, cả hai đều bằng 0. Dấu bằng ở biên phải được giữ trong cả hai kết luận.
Dùng ba trường hợp âm, bằng không và dương sẽ không bỏ sót điểm biên. Các biểu thức bằng không ở hai phía đối nhau của mốc.
Giá trị tuyệt đối còn biểu diễn khoảng cách đến một điểm khác
Phương trình |x-2|=|x+1| nói rằng x cách đều hai vị trí 2 và -1. Ta dự đoán trung điểm x=1/2. Kiểm tra bằng đại số: hai vế không âm, nên bình phương là phép biến đổi tương đương:
(x-2)^2=(x+1)^2\Longleftrightarrow-6x=-3
\Longleftrightarrow x=\frac12.
Thay lại, hai khoảng cách đều là 3/2. Ví dụ này dùng ý nghĩa khoảng cách của giá trị tuyệt đối, chứ không chỉ áp một mẹo đổi dấu.
Đẳng thức |u|+u=0 không buộc u=0. Mọi số âm đều thỏa; chẳng hạn u=-7 cho 7-7=0.
4. Xét dấu trước khi nhân với mẫu, lọc số nguyên sau cùng
Cho U=(x-2)/(x+1), x\ne-1. Muốn |U|+U=0, công cụ trên cho U\le0. Không được nhân ngay với x+1 rồi giữ chiều bất đẳng thức, vì chưa biết mẫu dương hay âm.
Chia miền tại các điểm làm tử hoặc mẫu bằng không
- x<-1: tử x-2<0, mẫu x+1<0, nên U>0, không nhận.
- -1<x<2: tử âm, mẫu dương, nên U<0, nhận.
- x=2: tử bằng 0, mẫu bằng 3, nên U=0, nhận.
- x>2: tử và mẫu dương, nên U>0, không nhận.
Điểm x=-1 bị loại từ miền gốc. Vậy nghiệm thực là -1<x\le2.
Tử bằng không có thể cho một nghiệm; mẫu bằng không luôn bị loại. Khoảng nghiệm thực được xác định trước khi chọn các điểm nguyên.
Tách điều kiện số nguyên khỏi phép giải bất đẳng thức
Nếu yêu cầu thêm x nguyên, ta chọn các số nguyên nằm trong khoảng đã chứng minh, được x\in\{0;1;2\}. Không làm tròn một đầu mút rồi tự nhận nó; phải kiểm tra dấu nghiêm ngặt và các điểm bị loại.
Quy trình lọc tổng quát: giải yêu cầu trên số thực trong miền hợp lệ; giữ lại mọi lỗ của miền gốc; sau đó lấy các số nguyên thuộc tập còn lại. “Số nguyên” tự nó không có nghĩa là dương.
Nếu đổi yêu cầu thành |U|-U=0, ta cần U\ge0, nên lấy x<-1 hoặc x\ge2. Đây là thay đổi về dấu, không phải thay đổi miền xác định x\ne-1.
5. Một ứng dụng ngắn với căn thức và miền đã cho
Xét công thức P=4-8/\sqrt x trên miền đã quy định x>0,\ x\ne1. Tìm các số nguyên x để |P|+P=0. Miền này là một phần của dữ kiện; không tự bỏ x\ne1 chỉ vì công thức hiện tại tính được tại đó.
Trên miền này, \sqrt x>0. Do đó:
|P|+P=0\Longleftrightarrow P\le0
\Longleftrightarrow4\sqrt x-8\le0\Longleftrightarrow\sqrt x\le2.
Cả hai vế của \sqrt x\le2 đều không âm, nên bình phương giữ tương đương: x\le4. Kết hợp miền gốc được 0<x\le4,\ x\ne1. Các số nguyên hợp lệ là 2,3,4.
Để kiểm tra chiều ngược, x=4 cho P=0; x=2,3 cho P<0. Cả ba đều thuộc miền, nên đều thỏa yêu cầu. Ứng dụng này kết hợp ba công cụ đã học: đọc miền, đổi giá trị tuyệt đối thành điều kiện dấu, rồi lọc số nguyên.
6. Tự chuyển giao sang cấu trúc khác
Ứng viên rơi đúng vào điểm bị loại
Giải (x^2-4)/(x-2)=4, với biểu thức gốc phải xác định.
Gợi ý
Ghi x\ne2 trước khi khử nhân tử. Sau khi giải công thức rút gọn, kiểm tra ứng viên.
Lời giải
Trên miền x\ne2, vế trái bằng x+2. Phương trình cho x=2, nhưng đó là điểm bị loại. Vậy phương trình gốc vô nghiệm; không thể thay vào một phân thức có mẫu bằng 0.
Căn của một bình phương
Tìm các số thực x thỏa \sqrt{(x-5)^2}=5-x.
Gợi ý
Vế trái bằng |x-5|. Vế phải là số đối của x-5.
Lời giải
Đặt u=x-5. Điều kiện là |u|=-u, tương đương u\le0, nên x\le5. Nếu x>5, vế trái dương còn vế phải âm, không thể bằng nhau. Biểu thức dưới căn là một bình phương nên xác định với mọi số thực trước khi xét phương trình.
Lọc số nguyên qua một khoảng và một lỗ
Một bài toán đã cho nghiệm thực -5/2<x\le2, x\ne0. Nếu thêm yêu cầu x nguyên thì nhận những giá trị nào?
Lời giải
Các số nguyên trong khoảng là -2,-1,0,1,2. Loại 0 theo điều kiện gốc, còn \{-2;-1;1;2\}. Không loại số âm khi đề chỉ yêu cầu số nguyên.
Thẻ tự kiểm trước khi kết luận
- Tôi đã ghi đủ điều kiện của căn và mẫu số chưa?
- Phần được khử là nhân tử, và có chắc khác 0 không?
- Tôi dùng \sqrt{u^2}=|u| hay vô tình viết bằng u?
- Điểm u=0 có được nhận trong điều kiện dấu không?
- Mẫu có đổi dấu trên miền đang xét không?
- Tôi đã giữ điểm bị loại rồi mới chọn nghiệm nguyên chưa?
Câu chốt: miền cho phép biết được làm gì; giá trị tuyệt đối cho biết phải xét dấu thế nào; bước lọc cuối bảo đảm không nhận thêm hoặc bỏ mất nghiệm.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải