Tiếp tuyến và trung điểm dây: dựng quan hệ trước khi tính
Chuyên đề Toán 9 về tiếp tuyến, dây và trung điểm, đường tròn phụ, vị trí góc nội tiếp, cực trị diện tích; xử lí dây là đường kính và điều kiện đạt dấu bằng…
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 · CÔNG CỤ HÌNH HỌC ĐƯỜNG TRÒN
Tiếp tuyến và trung điểm dây: dựng quan hệ trước khi tính
Một góc vuông có thể mở đường cho tam giác bằng nhau, một trung điểm có thể tạo đường vuông góc, và một chiều cao có thể biến diện tích thành khoảng cách. Hãy hiểu vì sao từng công cụ đúng, điều kiện nào cần giữ và lúc nào một điểm đặc biệt làm lập luận phải tách trường hợp.
Mục tiêu: dùng quan hệ bán kính–tiếp tuyến đúng chiều; giải thích hai tiếp tuyến bằng nhau; xử lí dây không phải đường kính và dây là đường kính; tìm đường tròn phụ từ góc vuông; kiểm tra dấu bằng trong cực trị. Các hình và ví dụ dưới đây tự biên soạn để học công cụ, không giải lại một đề thi.
1. Tiếp tuyến: điểm tiếp xúc phải nằm trên đường tròn
Cho đường tròn tâm O, bán kính R>0, và điểm A thuộc đường tròn. Nếu đường thẳng t tiếp xúc với đường tròn tại A, thì OA\perp t. Chiều ngược cũng đúng: đường thẳng qua A, vuông góc với OA, là tiếp tuyến tại A.
Điều kiện “A thuộc đường tròn” không được bỏ. Một đường thẳng vuông góc với một đường qua tâm nhưng cắt đường tròn ở hai điểm không phải tiếp tuyến.
A\in(O;R),\quad t\text{ qua }A,\quad OA\perp t\quad\Longrightarrow\quad t\text{ tiep xuc tai }A.
Để hiểu chiều ngược, lấy điểm X\ne A trên t. Tam giác OAX vuông tại A, nên OX^2=OA^2+AX^2>R^2. Mọi điểm khác A trên t đều ở ngoài đường tròn; đường chỉ có một điểm chung.
Đường thẳng và đoạn thẳng là hai đối tượng khác nhau. Khi nói khoảng cách tới tiếp tuyến, ta nói tới đường thẳng chứa tiếp tuyến; chân đường vuông góc có thể không nằm trên một đoạn tiếp tuyến được vẽ.
2. Hai tiếp tuyến tạo hai tam giác vuông bằng nhau
Cho M ngoài đường tròn, nghĩa là OM>R. Kẻ hai tiếp tuyến MA,MB, trong đó A,B là hai tiếp điểm phân biệt. Hai tam giác OAM,OBM vuông tại A,B, có cạnh huyền OM chung và OA=OB=R. Chúng bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông.
MA=MB,\qquad \widehat{AMO}=\widehat{OMB},\qquad \widehat{AOM}=\widehat{MOB}.
Như vậy OM chia đôi góc AMB và góc AOB nhỏ trong cấu hình hai tiếp điểm. Độ dài tiếp tuyến không phải một dữ kiện ngẫu nhiên:
MA^2=OM^2-R^2,\qquad MA=\sqrt{OM^2-R^2}.
Hình được dựng với R=3,OM=6, theo tỉ lệ 40 điểm ảnh cho một đơn vị. Hai tiếp điểm đối xứng qua OM; bán kính đến tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến. Công thức cho MA=3\sqrt3, không bằng OM-R=3. Hiệu khoảng cách từ tâm và bán kính là khoảng cách ngắn nhất từ M tới đường tròn, không phải độ dài tiếp tuyến.
3. Trung điểm dây: phải tách riêng đường kính
Cho dây CD có hai đầu phân biệt, E là trung điểm. Nếu dây không phải đường kính, E\ne O. Hai tam giác OEC,OED có OC=OD, EC=ED, OE chung, nên bằng nhau. Hai góc OEC,OED bằng nhau và kề bù; mỗi góc bằng 90^\circ. Vì vậy OE\perp CD.
Nếu dây là đường kính: E=O. “Đường thẳng OE” không được xác định bởi hai điểm trùng nhau, nên không nói OE\perp CD. Đường qua O vuông góc với đường kính vẫn đi qua trung điểm, nhưng phải gọi một đường thẳng thực sự, không dùng đoạn có độ dài bằng không.
Chiều ngược: đường qua tâm vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây. Nếu dây không qua tâm, dùng hai tam giác vuông có cạnh huyền OC=OD và cạnh góc vuông từ tâm tới dây chung để chứng minh. Nếu dây là đường kính, tâm O chính là trung điểm vì OC=OD=R; không dựng hai tam giác có cạnh bằng không.
Ví dụ độc lập: bán kính 5, khoảng cách từ tâm đến dây 3. Trong tam giác vuông OEC, EC^2=5^2-3^2=16, nên nửa dây dài 4 và cả dây dài 8. Khoảng cách phải nằm trong 0\le OE<R nếu dây có hai đầu phân biệt; khi bằng R, “dây” co lại thành một điểm tiếp xúc.
4. Góc vuông gợi một đường tròn phụ có đường kính cố định
Với hai tiếp tuyến ở phần 2, \widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^\circ. Theo định lí góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và chiều ngược, A,B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Nhờ đó O,A,M,B đồng viên.
Nếu một cát tuyến qua M cắt đường tròn ban đầu ở hai điểm phân biệt C,D, gọi E là trung điểm dây. Khi cát tuyến không qua O, ta có OE\perp CD; vì M,E cùng thuộc cát tuyến, \widehat{OEM}=90^\circ. Vậy E cũng thuộc đường tròn đường kính OM.
Nếu cát tuyến qua O: dây CD là đường kính và E=O. Điểm E vẫn thuộc đường tròn phụ vì nó chính là một đầu đường kính OM; không chứng minh bằng “góc OEM vuông”, vì góc này không xác định.
Một kết luận đúng vẫn có thể đi kèm một lời chứng minh sai ở trường hợp đặc biệt. Khi hai điểm trùng nhau, tách trường hợp trước khi gọi tên góc, tam giác hoặc đường thẳng.
Cách chọn công cụ: nếu nhiều điểm tạo góc vuông cùng nhìn đoạn cố định OM, thử đường tròn đường kính OM. Nếu chỉ có một góc vuông không gắn với đoạn chung, chưa có lí do đưa tất cả điểm vào cùng một đường tròn.
5. Từ đồng viên đến quan hệ góc: giữ đúng vị trí
Trên một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một dây có thể bằng nhau hoặc bù nhau tùy vị trí hai đỉnh. Khi hai đỉnh nằm cùng phía đối với dây, các góc nội tiếp tương ứng bằng nhau. Khi hai đỉnh ở hai phía, chúng bù nhau. Do đó đừng chỉ ghi “cùng chắn dây” rồi bỏ qua vị trí.
Trong một tứ giác nội tiếp lồi P,Q,S,T được gọi theo thứ tự quanh đường tròn, hai góc đối bù nhau:
\widehat{PQS}+\widehat{PTS}=180^\circ.
Hai đỉnh Q,T nằm ở hai phía dây PS. Nếu thay bằng hai đỉnh nằm trên cùng một cung của dây PS, ta dùng quan hệ bằng nhau. Sơ đồ nào cũng cần được kiểm tra theo thứ tự điểm thực tế.
Muốn dùng góc–góc để chứng minh đồng dạng, hãy ghi rõ hai góc tương ứng và kiểm tra các tia đang xét có trùng nhau hay đối nhau. Từ “ba điểm thẳng hàng” không tự cho phép thay mọi tia bằng nhau.
Phản ví dụ về tia: nếu C,E,D thẳng hàng và E nằm giữa C,D, thì tia EC và tia ED đối nhau. Hai góc có chung một cạnh và hai cạnh còn lại là hai tia ấy thường bù nhau, không tự bằng nhau. Với góc đối đỉnh, phải chỉ rõ hai cặp tia đối nhau.
6. Cực trị diện tích: khóa đáy rồi tối ưu khoảng cách
Với tam giác có đáy cố định UV dài L>0, đỉnh X thay đổi, diện tích là nửa tích đáy và khoảng cách từ X tới đường thẳng UV :
S_{\triangle UVX}=\frac12 L\,d(X,UV).
Chân đường vuông góc có thể nằm ngoài đoạn UV; công thức vẫn đúng với khoảng cách tới đường thẳng. Nếu đáy thay đổi theo X, không được tối ưu chiều cao riêng rồi kết luận diện tích lớn nhất.
Giả sử đường thẳng UV là tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O, bán kính R, còn X chạy trên toàn bộ đường tròn. Ở vị trí X=A, hình suy biến và diện tích bằng 0; công thức khoảng cách vẫn cho giá trị này. Gọi H là hình chiếu của X lên tiếp tuyến. Vì A cũng thuộc đường thẳng ấy, khoảng cách vuông góc là ngắn nhất:
XH\le XA\le 2R.
Dấu bằng XH=XA xảy ra khi H=A; dấu bằng XA=2R xảy ra khi AX là đường kính. Hai dấu bằng đồng thời đạt tại điểm đối diện A qua O. Vì OA\perp UV, đường kính ấy vuông góc tiếp tuyến. Vậy chiều cao lớn nhất là 2R, và diện tích lớn nhất là LR.
Nếu X chỉ chạy trên một cung hoặc bị ràng buộc thêm, kiểm tra điểm đối diện A có được phép không. Chặn trên LR vẫn đúng, nhưng chưa chắc đạt được trong miền cho phép. Một giá trị lớn nhất cần cả bất đẳng thức và một cấu hình hợp lệ đạt dấu bằng.
7. Tự kiểm tra điều kiện và chuyển công cụ sang hình mới
Trước khi mở gợi ý, hãy dự đoán công cụ và nêu một điều kiện có thể bị quên. Các tình huống sau dùng dữ kiện tự biên soạn.
A. Một điểm M cách tâm 10, bán kính 6. Hai tiếp tuyến từ M dài bao nhiêu và vì sao có thể kẻ hai tiếp tuyến?
Kiểm tra A
OM>R, nên M ngoài đường tròn. Tam giác bán kính–tiếp tuyến vuông cho MA=\sqrt{10^2-6^2}=8. Hai tiếp tuyến bằng nhau nên MB=8. Nếu OM=R, điểm ở trên đường tròn, không còn cấu hình hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm phân biệt.
B. Một dây đi qua tâm có trung điểm E. Có thể viết OE\perp CD không?
Kiểm tra B
Không: E=O, hai điểm không xác định đường thẳng OE. Có thể nói đường qua O vuông góc với CD đi qua trung điểm. Khi tìm đường tròn phụ đường kính OM, E=O thuộc đường tròn vì là đầu đường kính, không vì góc OEM.
C. Một tam giác có đáy cố định dài 7 trên tiếp tuyến của đường tròn bán kính 4. Đỉnh chạy trên toàn bộ đường tròn. Dự đoán vị trí đạt diện tích lớn nhất trước khi tính.
Kiểm tra C
Điểm đối diện tiếp điểm qua tâm xa tiếp tuyến nhất, có khoảng cách 8. Diện tích lớn nhất là \frac12\cdot7\cdot8=28 đơn vị diện tích. Nếu đề bỏ điểm ấy khỏi miền di chuyển, kết luận đạt 28 cần được xét lại; không chỉ chép công thức.
D. Một bạn nói “hai góc nội tiếp cùng chắn dây nên luôn bằng nhau”. Hãy sửa phát biểu.
Kiểm tra D
Nêu vị trí: hai đỉnh cùng phía dây cho góc bằng nhau; ở hai phía cho góc bù nhau. Khi hai góc đều vuông, chúng có thể vừa bằng vừa bù; điều đó không cứu được từ “luôn” trong câu cũ.
Phiếu rà: điểm tiếp xúc đã thuộc đường tròn chưa? Điểm ngoài đã được xác lập chưa? Dây có phải đường kính không? Các điểm có trùng nhau không? Hai tia có cùng hướng không? Đáy có thực sự cố định không? Điểm đạt dấu bằng có nằm trong miền cho phép không?
Điều quan trọng không phải số đường phụ đã vẽ, mà là mỗi đường phụ tạo ra quan hệ nào. Một lời chứng minh tốt giữ được điều kiện từ đầu đến cuối và xử lí riêng cấu hình đặc biệt.