Kiểm tra lập luận: tương ứng, trường hợp biên và dấu
Một bộ công cụ đọc và sửa chứng minh: ghép đúng đỉnh đồng dạng, tách suy biến, giữ miền xác định và xét vị trí khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
TOÁN 9 · ĐỌC HIỂU MỘT CHỨNG MINH
Kiểm tra lập luận: tương ứng, trường hợp biên và dấu
Một bộ công cụ đọc và sửa chứng minh: ghép đúng đỉnh đồng dạng, tách suy biến, giữ miền xác định và xét vị trí khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
1. Một kết quả đúng chưa chắc là một chứng minh đúng
Mỗi dòng trong một lập luận cần hai thứ: một quy tắc và những điều kiện cho phép dùng quy tắc ấy. Nếu các điều kiện mất đi, kết quả đôi khi vẫn đúng, nhưng phải tìm cách chứng minh khác. Bài học này xây một cách kiểm tra dùng được cho cả hình học và đại số.
- Đối tượng: các điểm, tam giác, căn và phân thức đang xét có được xác định không?
- Tương ứng: những cạnh, góc hoặc biểu thức nào thật sự đóng cùng vai trò?
- Điều kiện: có chia cho không, làm suy biến tam giác hoặc bỏ quên dấu không?
- Chiều suy ra: bước vừa làm chỉ tạo điều kiện cần, hay có thể đi ngược để được điều kiện đủ?
Khi kiểm một lời giải, hãy đặt câu “vì sao được phép?” cạnh từng phép chia, phép lấy căn, kết luận đồng dạng và bước đảo. Sau đó thử một giá trị bị loại hoặc một vị trí biên. Mục tiêu là xác định chính xác chỗ cần sửa, không chỉ tìm ra đáp số khác.
Chẳng hạn từ u=v suy ra u^2=v^2, nhưng chiều đảo chỉ cho u=v hoặc u=-v. Hai số 2,-2 có cùng bình phương. Muốn lấy căn để khẳng định hai số bằng nhau, ta cần biết chúng cùng không âm.
2. Kiểm đồng dạng bằng thứ tự đỉnh, không bằng hình dáng
Nếu đã chứng minh \triangle ABC\sim\triangle PQR, thứ tự viết nói rõ A\leftrightarrow P, B\leftrightarrow Q, C\leftrightarrow R. Bởi vậy:
\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}.
Mỗi tỉ số đều lấy một cạnh của tam giác thứ nhất chia cho cạnh tương ứng của tam giác thứ hai. Đảo tất cả các tỉ số cùng lúc vẫn đúng; đảo riêng một tỉ số thì nói chung sai. Trước khi nhân chéo, tìm cạnh đối diện góc vuông hoặc góc đã biết để kiểm thứ tự.
Ví dụ hình học: một tam giác, hai vai trò của cùng một đỉnh
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=3, BC=4. Gọi H là hình chiếu của B lên AC. Theo Pythagore, AC=5; H nằm trong cạnh huyền. Xét \triangle AHB và \triangle ABC: góc A chung, góc H của tam giác nhỏ và góc B của tam giác lớn cùng vuông.
A\leftrightarrow A,\qquad H\leftrightarrow B,\qquad B\leftrightarrow C.
Chữ B xuất hiện ở cả hai tam giác nhưng không tương ứng với chính nó . Ở tam giác nhỏ, AB là cạnh huyền; ở tam giác lớn, cạnh huyền là AC. Tỉ số đúng:
\frac{AH}{AB}=\frac{AB}{AC}\quad\Longrightarrow\quad AH=\frac{AB^2}{AC}=\frac95.
Hình vẽ đúng tỉ lệ. Cạnh huyền của tam giác nhỏ là (AB), còn cạnh huyền của tam giác lớn là (AC).
Lập luận “AH/AC=AB/AB, vì cùng có góc A” ghép sai cạnh. Nó buộc AH=AC=5, trái với H nằm trong AC. Không cần tính lại toàn bài mới thấy lỗi.
Kiểm độc lập: BH^2=AB^2-AH^2=9-81/25=144/25, nên BH=12/5. Với HC=5-9/5=16/5, ta được BH^2+HC^2=144/25+256/25=16=BC^2. Phép kiểm này xác nhận độ dài; lí do tổng quát cho công thức vẫn là đồng dạng đã ghi đúng.
3. Ở biên: giữ công thức, đổi cách chứng minh
Giữ A,C cố định, cho B chạy trên nửa đường tròn đường kính AC. Khi B\ne A,C, tam giác ABC vuông tại B, và lập luận trên cho AB^2=AH\cdot AC.
Nếu cho phép vị trí B=A, hình chiếu vẫn xác định và H=A. Đẳng thức trở thành 0=0\cdot AC, đúng trực tiếp. Nhưng AHB không còn là tam giác, và tỉ số AH/AB trở thành 0/0, không xác định.
Nếu B=C, ta có H=C; đẳng thức trở thành AC^2=AC\cdot AC, cũng đúng trực tiếp. Lần này hai đỉnh của tam giác lớn trùng nhau, nên không thể dùng định lí đồng dạng của tam giác.
Hãy tách hai câu: “công thức có đúng ở biên không?” và “chứng minh cũ có dùng được ở biên không?”. Một câu trả lời có thể là có, câu kia là không. Kiểm riêng bằng định nghĩa hoặc phép thế trực tiếp sẽ tránh cả việc suy rộng sai lẫn loại bỏ một kết quả vẫn đúng.
Điều tương tự xảy ra trong đại số: đẳng thức x^2=x\cdot x đúng tại x=0, nhưng chia cả hai vế cho x ở chính giá trị đó không hợp lệ.
4. Kiểm miền và dấu trước khi rút gọn căn
Căn bậc hai số học luôn không âm. Vì vậy với mọi số thực u:
\sqrt{u^2}=|u|=\begin{cases}u,&u\ge0,\\-u,&u<0.\end{cases}
Hai vế không âm và có cùng bình phương, nên bằng nhau. Từ này suy ra \sqrt{u^2}=u chỉ khi u\ge0. Ví dụ u=-3 cho căn bằng 3, không bằng -3.
Ví dụ đại số: một phép khử thay đổi theo miền
Xét F(x)=\sqrt{(x-2)^2}/(x-2), với x thực. Biểu thức dưới căn luôn không âm, nhưng mẫu số loại x=2. Vì thế miền xác định là x\ne2. Trên miền này:
F(x)=\frac{|x-2|}{x-2}=\begin{cases}1,&x>2,\\-1,&x<2.\end{cases}
Ở miền x>2, tử đúng là x-2, nên phép khử hợp lệ. Ở miền x<2, tử là 2-x=-(x-2), nên kết quả là -1. Tại x=2, không được tự gán giá trị nào từ hai công thức bên cạnh.
Một bạn kết luận phương trình F(x)=1 đúng với mọi x\ne2, vì “tử và mẫu giống nhau”. Hãy chỉ đúng bước sai rồi tìm tập nghiệm.
Sửa dòng sai, giữ phần đúng
Miền x\ne2 đúng. Sai ở việc thay \sqrt{(x-2)^2} bằng x-2 trên cả miền. Tập nghiệm chính xác là x>2. Mọi x>2 đều thỏa, mọi x<2 cho F=-1, và x=2 không thuộc miền. Thử x=1 cho -1, bác bỏ kết luận cũ.
Chuyển giao ngắn: với G(x)=(x^2-4)/(x-2), ta được G(x)=x+2 khi x\ne2. Phương trình G(x)=4 dẫn tới ứng viên x=2, nhưng ứng viên bị loại. Vì thế phương trình không có nghiệm, dù phương trình x+2=4 riêng lẻ có nghiệm. Luôn giữ miền từ biểu thức gốc đến kết luận cuối.
5. Giá trị tuyệt đối là khoảng cách: kiểm vị trí rồi mới cộng
Với hai mốc thực a\le b, biểu thức |t-a|+|t-b| là tổng khoảng cách từ t đến hai mốc. Tách đúng ba miền:
|t-a|+|t-b|=\begin{cases}a+b-2t,&t<a,\\b-a,&a\le t\le b,\\2t-a-b,&t>b.\end{cases}
Khi a\le t\le b, hai khoảng cách là t-a và b-t, cộng lại bằng b-a. Khi t<a, cả hai mốc đều ở bên phải, nên tổng là (a-t)+(b-t). Trường hợp t>b tương tự. Ba miền này phủ toàn bộ trục số và không bỏ sót hai đầu mút.
Tổng hai khoảng cách bằng khoảng cách giữa hai mốc khi và chỉ khi a\le t\le b. Một cách kiểm không cần giải từng vị trí là (t-a)(t-b)\le0. Ngoài đoạn, hai thừa số cùng dấu nên tích dương.
Ví dụ vị trí: cùng hai mốc, khác kết luận
Cho hai mốc a=-1,b=4. Với t=2, tổng là 3+2=5=b-a; tích (2+1)(2-4)=-6<0 xác nhận điểm ở giữa. Với t=6, tổng là 7+2=9, lớn hơn 5; tích 7\cdot2>0 báo điểm ở ngoài. Không được dùng hình ảnh “hai đoạn ghép thành một đoạn” mà không kiểm điểm chung nằm giữa.
Điều này còn cho một kết luận tổng quát: giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách là b-a, đạt tại mọi t\in[a,b], không chỉ tại trung điểm. Nếu a=b, tổng bằng 2|t-a|, nhỏ nhất bằng 0 chỉ tại t=a; công thức vẫn nhất quán.
6. Chuyển giao: chẩn đoán trước, sửa sau
Một bước bình phương. Có thể kết luận từ \sqrt{x+1}=x-1 rằng mọi nghiệm của x+1=(x-1)^2 đều là nghiệm ban đầu không?
Điều kiện khôi phục chiều đảo
Vế trái không âm, nên cần x-1\ge0, tức x\ge1; điều kiện này cũng bảo đảm x+1\ge0. Bình phương cho x^2-3x=0, có ứng viên 0,3. Chỉ 3 nằm trong miền cần có; thế lại cho 2=2. Với 0, phương trình gốc là 1=-1, sai. Bình phương trên miền x\ge1 là phép tương đương; bình phương mà quên miền chỉ tạo điều kiện cần.
Một tổng khoảng cách. Với hai mốc 1,7, tìm tất cả t sao cho |t-1|+|t-7|=10.
Chọn miền thay vì đoán một nghiệm
Trong đoạn [1,7], tổng chỉ bằng 6, nên không có nghiệm. Với t<1, 8-2t=10 cho t=-1, đúng miền. Với t>7, 2t-8=10 cho t=9, đúng miền. Hai nghiệm đều cho tổng 10; không có miền nào còn chưa xét.
Kiểm chứng và chứng minh khác nhau. Một phản ví dụ hợp lệ đủ bác bỏ mệnh đề “đúng với mọi giá trị”. Nhiều phép thử số đúng vẫn không thay thế một lập luận tổng quát. Sau khi tìm lỗi, hãy sửa giả thiết hoặc phép biến đổi, rồi chứng minh trên toàn miền mới.
Một bản kiểm tốt chỉ ra rõ: điều kiện nào đang có, quy tắc nào được dùng, trường hợp nào phải tách riêng, và vì sao kết luận cuối vừa không thừa vừa không thiếu.
Toán THCS · Hiểu điều kiện, tự dựng lập luận, kiểm tra kết quả