Tam giác nội tiếp: vì sao đáy dài nhất chưa cho diện tích lớn nhất?
Chứng minh cận diện tích với một dây đáy cố định, tìm cận sắc cho mọi tam giác trong cùng đường tròn và dựng đầy đủ các trường hợp đạt dấu bằng.
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Tam giác nội tiếp: vì sao đáy dài nhất chưa cho diện tích lớn nhất?
Chứng minh cận diện tích với một dây đáy cố định, tìm cận sắc cho mọi tam giác trong cùng đường tròn và dựng đầy đủ các trường hợp đạt dấu bằng.
1. Đáy dài nhất chưa chắc cho diện tích lớn nhất
Giữ một đường tròn tâm O, bán kính R>0. Lấy ba điểm phân biệt A,B,C trên đường tròn để tạo tam giác không suy biến. Ta muốn tìm diện tích lớn nhất của tam giác khi cả ba đỉnh được phép thay đổi.
Cấu hình hình học trong nguồn dùng tam giác nội tiếp và một đường kính phụ. Bài học này giữ đường tròn cố định rồi cho cả ba đỉnh thay đổi, để tìm cận diện tích cùng hình đạt được cận ấy.
Dự đoán. Vì đường kính là dây dài nhất, chọn một cạnh làm đường kính có chắc làm diện tích tam giác lớn nhất không? Diện tích là nửa tích đáy với chiều cao; khi đáy thay đổi, chiều cao lớn nhất có thể đạt cũng thay đổi.
Ta sẽ làm hai bước: giữ đáy để tìm đúng chiều cao lớn nhất, rồi cho đáy thay đổi. Cuối cùng phải dựng được tam giác đạt cận và xác định đủ mọi trường hợp dấu bằng.
2. Giữ một dây đáy: khoảng cách từ tâm quyết định chiều cao
Giữ B,C phân biệt, gọi a=BC, M là trung điểm của BC, k=OM\ge0. Đường từ tâm tới trung điểm dây vuông góc dây khi O\ne M. Pythagore trong tam giác OMB cho
\left(\frac a2\right)^2+k^2=R^2.
Nếu O=M, dây là đường kính, a=2R; đẳng thức vẫn đúng trực tiếp với k=0, không cần gọi một tam giác có hai đỉnh trùng là tam giác vuông. Vì a>0, ta có 0\le k<R.
Chọn hệ trục có M=(0,0), đường đáy là trục hoành. Hướng dương thẳng đứng được chọn về phía tâm, nên O=(0,k); khi k=0, có thể chọn một trong hai phía. Khi ấy
B=(-a/2,0),\qquad C=(a/2,0).
Một điểm A=(x,y) trên đường tròn thỏa x^2+(y-k)^2=R^2. Vì vậy k-R\le y\le k+R. Chiều cao của tam giác theo đáy BC là |y|, nên
\boxed{h_A\le R+k.}
Đây là cận cho khoảng cách tới cả đường thẳng đáy, dù A nằm ở phía nào của nó.
3. Cận với đáy cố định phải đi kèm cách dựng dấu bằng
Chọn A=(0,k+R), tức điểm trên đường tròn nằm xa đường đáy nhất về phía tâm. Điểm ấy thỏa phương trình đường tròn và cho h_A=R+k, nên
\boxed{S_{ABC}\le\frac a2\left(R+\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\right).}
Mọi dây có 0<a\le2R đều dùng được, và cách chọn A vừa nêu chứng minh cận đạt được.
Có bao nhiêu đỉnh đạt cận khi đáy đã cố định?
Nếu k>0, chỉ có A=(0,k+R). Thật vậy, muốn |y|=R+k, hoặc y=R+k, hoặc y=-R-k. Khả năng thứ hai nhỏ hơn k-R khi k>0, nằm ngoài đường tròn; khả năng thứ nhất buộc x=0.
Nếu k=0, đáy là đường kính; cả A=(0,R) và A=(0,-R) đều đạt cùng chiều cao R. Chúng ở hai nửa đường tròn đối nhau. Nếu chỉ cho phép một nửa mặt phẳng thì chỉ nhận đỉnh ở phía được cho phép.
Ví dụ độc lập: R=5, dây BC=8, cùng đơn vị độ dài. Khi ấy k=\sqrt{25-16}=3, chiều cao lớn nhất là 8, và diện tích lớn nhất với riêng đáy ấy là 8\cdot8/2=32.
Các kích thước dùng cùng tỉ lệ. OM=3,OA=OB=5, nên AM=8. Đỉnh A được chọn ở phía xa đường đáy hơn; M là trung điểm dây.
4. Cho đáy thay đổi: một tích bốn thừa số xuất hiện
Từ cận chiều cao và a^2/4=R^2-k^2,
S_{ABC}^2\le\frac{a^2}{4}(R+k)^2=(R-k)(R+k)^3.
Đặt p=R-k>0, q=(R+k)/3>0. Khi ấy
p+q+q+q=2R,\qquad(R-k)(R+k)^3=27pq^3.
Ta đã chuyển sự đánh đổi giữa đáy và chiều cao thành tích của bốn số dương có tổng cố định.
Công cụ bốn số, chứng minh từ bình phương
Với a,b,c,d>0, bất đẳng thức ab\le((a+b)/2)^2 đến từ (a-b)^2\ge0. Áp dụng cho hai cặp, rồi cho hai trung bình:
abcd\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\left(\frac{c+d}{2}\right)^2
\le\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4.
Dấu bằng ở bước đầu cần a=b,c=d; ở bước sau cần a+b=c+d. Vì thế cả chuỗi đạt dấu bằng khi và chỉ khi a=b=c=d.
Áp dụng cho p,q,q,q, có tổng 2R:
pq^3\le\left(\frac R2\right)^4,\qquad S_{ABC}^2\le\frac{27R^4}{16}.
Vì diện tích và bán kính đều dương, lấy căn cho cận toàn cục
\boxed{S_{ABC}\le\frac{3\sqrt3}{4}R^2.}
5. Dấu bằng xác định một tam giác đều
Để cận cuối đạt được, cả hai bước đều phải đạt dấu bằng: đỉnh A phải xa đáy nhất, và p=q. Điều kiện sau cho
R-k=\frac{R+k}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad k=\frac R2.
Khi ấy
a=2\sqrt{R^2-k^2}=\sqrt3R,\qquad h_A=R+k=\frac{3R}{2}.
Trong hệ trục của bài, các đỉnh là
B=(-\sqrt3R/2,0),\quad C=(\sqrt3R/2,0),\quad A=(0,3R/2).
Hai cạnh còn lại có bình phương độ dài 3R^2/4+9R^2/4=3R^2, nên cả ba cạnh cùng bằng \sqrt3R. Dấu bằng buộc tam giác đều.
Chiều dựng và sự đạt được
Ngược lại, các tọa độ trên với tâm O=(0,R/2) có OA=OB=OC=R, nên dựng được một tam giác đều trên đường tròn đã cho sau khi tịnh tiến, xoay hình phù hợp. Diện tích của nó là
\frac12\cdot\sqrt3R\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}R^2.
Mọi tam giác đều nội tiếp cùng bán kính đều có kích thước ấy. Có thể kiểm tra bằng dây: ba cạnh bằng nhau chia đường tròn thành ba cung bằng nhau, mỗi cung có góc ở tâm 120^\circ. Chia tam giác tạo bởi hai bán kính theo trung trực dây cho nửa cạnh bằng R\sin60^\circ=\sqrt3R/2.
Giá trị lớn nhất đạt khi và chỉ khi tam giác đều. Kích thước cạnh được xác định bởi R, nhưng vị trí của tam giác trên đường tròn chưa duy nhất: có thể xoay tam giác quanh tâm.
Cấu hình đạt cận với R=2: OM=1, AM=3, cả ba cạnh bằng 2\sqrt3. Hình dùng một tỉ lệ độ dài chung; ba vạch trên cạnh đánh dấu ba độ dài bằng nhau.
6. Vì sao đường kính không phải lựa chọn tốt nhất cho một cạnh?
Nếu đáy là đường kính, a=2R,k=0, cận với đáy cố định chỉ là
S\le\frac{2R\cdot R}{2}=R^2.
Cận toàn cục lớn hơn, vì 3\sqrt3/4>1: hai số dương ấy có bình phương 27/16>1. Tam giác đều có đáy \sqrt3R<2R, nhưng chiều cao 3R/2>R. Đáy ngắn hơn được bù bởi chiều cao lớn hơn.
Với R=2, mọi tam giác lấy đường kính làm đáy có diện tích không quá 4. Tam giác đều nội tiếp cùng đường tròn lại có diện tích 3\sqrt3\approx5{,}196. Chỉ tối đa hóa một thừa số của tích không đủ để tối đa hóa tích khi thừa số còn lại bị ràng buộc.
Với dây đáy cố định, cứ chọn tam giác cân là đạt cận cao nhất?
Chưa đủ nếu chưa chọn đúng phía. Với k>0, hai điểm trên đường tròn nằm trên trung trực dây là (0,k+R) và (0,k-R); cả hai tạo tam giác cân. Chiều cao của chúng lần lượt là R+k và R-k. Chỉ điểm xa hơn đạt cận lớn nhất. Khi k=0, hai chiều cao bằng nhau, đúng trường hợp đáy là đường kính.
7. Giới hạn, miền và tỉ lệ phải được giữ
Ba đỉnh phải phân biệt; nếu B=C, thì a=0, không có tam giác và không thể dùng các góc hay đường cao của một tam giác thật. Trong cách đặt biến, a>0 tương đương k<R, bảo đảm p=R-k>0.
Tam giác có thể vuông hoặc tù: cận chiều cao dùng |y|, không yêu cầu hình chiếu của A nằm trong đoạn BC. Vì vậy chứng minh trên áp dụng cho mọi tam giác nội tiếp không suy biến, không chỉ cho tam giác nhọn trong ứng dụng nguồn.
Nếu nhân mọi độ dài với c>0, bán kính và cạnh cùng nhân c, chiều cao cũng nhân c, nên diện tích nhân c^2. Công thức cực đại theo R^2 phản ánh đúng quy luật ấy.
Ngược lại, nếu biết một tam giác có diện tích S>0 và bán kính ngoại tiếp R, cận đã chứng minh cho
R\ge\sqrt{\frac{4S}{3\sqrt3}}.
Đây là cận dưới của bán kính để chứa một tam giác có diện tích ấy trên đường tròn. Cận đạt được bằng tam giác đều; không phải mọi tam giác cùng diện tích đều có bán kính nhỏ nhất đó.
8. Tự kiểm: cận đúng và cận đạt là hai việc
Gợi ý. Với một đáy đã cho, tìm khoảng cách từ tâm tới đường đáy. Khi đáy được thay đổi, kiểm tra điều kiện dấu bằng của cả bước chiều cao lẫn bước tích bốn số.
Đường tròn bán kính 5, dây đáy dài 6
Ta có k=\sqrt{25-9}=4. Chiều cao lớn nhất là 5+4=9, nên diện tích lớn nhất với đáy này là 6\cdot9/2=27. Đỉnh đạt cận nằm trên trung trực dây ở phía xa đáy hơn. Đỉnh cân phía đối diện chỉ có chiều cao 5-4=1, diện tích 3.
Đường tròn bán kính 3, cả ba đỉnh đều được thay đổi
Giá trị lớn nhất là 27\sqrt3/4, đơn vị diện tích. Tam giác đạt cận có cạnh 3\sqrt3, chiều cao 9/2. Nhân đáy với chiều cao rồi chia đôi cho đúng 27\sqrt3/4.
Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4 thì so sánh ra sao?
Cạnh huyền là 5, tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền, nên R=5/2. Diện tích thật là 6, trong khi cận toàn cục là 75\sqrt3/16\approx8{,}119. Tam giác này hợp lệ nhưng không đều, nên không đạt cận. Riêng với đáy cố định là đường kính 5, cận còn chặt hơn: R^2=25/4=6{,}25; tam giác vuông cân mới đạt cận cố định ấy.
Nếu chỉ được chọn A ở nửa mặt phẳng không chứa tâm?
Với dây không phải đường kính, k>0, phía ấy có y\le0. Các điểm trên đường tròn ở đó thỏa k-R\le y\le0, nên chiều cao không quá R-k, đạt tại (0,k-R). Cận phù hợp là a(R-k)/2, không phải a(R+k)/2. Thêm giới hạn vị trí có thể loại chính điểm làm dấu bằng xảy ra trong bài không giới hạn.
Muốn tối ưu một hình trong đường tròn, hãy mô tả đủ vị trí của đỉnh và cách các độ dài phụ thuộc nhau. Một cận đại số chỉ trở thành giá trị lớn nhất khi có cấu hình hợp lệ đạt đồng thời mọi dấu bằng.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu