Đảo điều kiện, vì sao xác suất thay đổi?
Đếm đúng phần giao và tập được giữ lại để phân biệt xác suất đồng thời, xác suất điều kiện và dữ liệu không thể tạo thành một bảng số lượng hợp lệ.
TOÁN THCS · TẬP CHỌN VÀ BẢNG HAI CHIỀU
Đảo điều kiện, vì sao xác suất thay đổi?
Đếm đúng phần giao và tập được giữ lại để phân biệt xác suất đồng thời, xác suất điều kiện và dữ liệu không thể tạo thành một bảng số lượng hợp lệ.
1. Cùng một nhóm thuận lợi, vì sao có ba phân số?
Xét ví dụ tự xây dựng gồm 20 thẻ phân biệt: 12 thẻ xanh và 8 thẻ cam. Có 3 thẻ xanh mang dấu chấm và 6 thẻ cam mang dấu chấm. Các thẻ còn lại không có dấu.
Nếu chọn đều một thẻ từ toàn bộ 20 thẻ, nhóm “xanh và có dấu” có xác suất 3/20. Nếu chỉ chọn đều trong các thẻ xanh, xác suất nhận thẻ có dấu là 3/12. Nếu chỉ chọn đều trong các thẻ có dấu, xác suất nhận thẻ xanh là 3/9.
Cả ba câu đều nhắc đến đúng 3 thẻ xanh có dấu. Đại lượng nào đã đổi để các xác suất khác nhau?
Các ô ghi số lượng, không biểu diễn xác suất bằng diện tích. Tổng hàng và tổng cột cho biết mỗi tập chọn lớn đến đâu.
Điều thay đổi là tập các thẻ có thể được chọn. Trong một bài có điều kiện, cần đọc rõ “chọn trong nhóm nào” trước khi đếm “thuận lợi là những thẻ nào”.
2. Lọc một tập không rỗng rồi mới tính tỉ lệ
Cho một tập gồm N\ge1 đối tượng phân biệt, mỗi đối tượng có cơ hội như nhau khi chọn một. Gọi A,B là hai tính chất; cũng dùng A,B để chỉ các tập đối tượng có các tính chất ấy. Viết |A| cho số phần tử của A, và A\cap B cho nhóm có cả hai tính chất.
Xác suất đồng thời có cả hai tính chất là
P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{N}.
Nếu biết đối tượng được chọn thuộc B, ta chỉ xét những khả năng còn lại trong B. Khi |B|>0, mỗi phần tử trong nhóm này vẫn được đối xử như nhau. Xác suất có thêm tính chất A, trong điều kiện đã thuộc B, được viết là
\boxed{P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.}
Có thể kiểm tra phép chuẩn hóa: ban đầu nhóm thuận lợi chiếm |A\cap B|/N, toàn nhóm được giữ lại chiếm |B|/N. Chia hai tỉ lệ ấy cho nhau thu được đúng |A\cap B|/|B|.
Nếu |B|=0, không có đối tượng nào trong tập đã lọc, nên xác suất điều kiện này không được xác định bằng công thức trên. Nó không bằng 0. Ngược lại, nếu |B|>0 nhưng |A\cap B|=0, xác suất điều kiện bằng 0 hoàn toàn hợp lệ.
Mô hình ở đây cần việc chọn đều trong tập ban đầu hoặc trong tập đã lọc. Nếu các đối tượng có cơ hội khác nhau, chỉ đếm số lượng chưa đủ để tính xác suất.
3. Đảo điều kiện không giữ nguyên mẫu số
Trong ví dụ thẻ, gọi X là tính chất “xanh”, D là “có dấu”. Ta có |X|=12,\ |D|=9,\ |X\cap D|=3. Vì vậy
P(D\mid X)=\frac3{12}=\frac14,\qquad
P(X\mid D)=\frac39=\frac13.
Câu thứ nhất hỏi về dấu chấm trong nhóm thẻ xanh. Câu thứ hai hỏi về màu xanh trong nhóm thẻ có dấu. Việc đảo câu hỏi đã đổi tập chọn.
Ba tử số đều đếm cùng nhóm thẻ xanh có dấu. Mỗi mẫu số đếm một tập chọn khác, đúng theo điều kiện của câu hỏi.
Khi nào hai chiều tình cờ bằng nhau?
Đặt a=|A|>0,\ b=|B|>0,\ k=|A\cap B|. Vì ab>0,
\frac{k}{a}=\frac{k}{b}
\quad\Longleftrightarrow\quad k(b-a)=0.
Do đó hai xác suất điều kiện đảo chiều bằng nhau khi và chỉ khi k=0 hoặc a=b. Trường hợp đầu là không có phần tử chung; trường hợp sau là hai tập chọn có cùng số phần tử. Không được mặc định hai phân số bằng nhau trong các trường hợp khác.
Một phản ví dụ cho việc chỉ so tử số
Hai phân số 3/12 và 3/9 có cùng tử nhưng khác mẫu. Trên cùng nhóm thuận lợi, lọc xuống một tập nhỏ hơn làm tỉ lệ thuận lợi lớn hơn. Điều đó không có nghĩa số thẻ xanh có dấu đã tăng.
4. Ghép hai bước phải dùng đúng loại xác suất
Từ công thức đếm, với |B|>0,
P(B)\,P(A\mid B)
=\frac{|B|}{N}\cdot\frac{|A\cap B|}{|B|}
=P(A\cap B).
Nếu |A|>0 nữa, ta cũng có
P(B)\,P(A\mid B)=P(A)\,P(B\mid A).
Đây là một đẳng thức được chứng minh bằng số lượng, không phải quy tắc “cứ nhân hai tỉ lệ bất kì”. Với các thẻ ở đầu bài,
P(X)\,P(D)=\frac{12}{20}\cdot\frac9{20}=\frac{27}{100},
trong khi P(X\cap D)=3/20=15/100. Tỉ lệ thẻ có dấu trong nhóm xanh là 1/4, khác tỉ lệ 9/20 trong toàn bộ các thẻ. Vì vậy thay P(D\mid X) bằng P(D) đã đổi thông tin.
Khi biết một xác suất điều kiện và muốn đảo chiều, trước hết khôi phục số lượng hoặc xác suất của phần giao. Mẫu số mới phải đến từ nhóm mà câu hỏi mới đã giữ lại.
5. Ứng dụng chọn lọc: học sinh thuộc tổ nào?
Một bộ dữ liệu trong tài liệu nguồn cho bốn tổ, với số nam và nữ lần lượt như sau: tổ 1 có 6 nam, 5 nữ; tổ 2 có 4 nam, 6 nữ; tổ 3 có 5 nam, 5 nữ; tổ 4 có 6 nam, 4 nữ. Giả sử chọn ngẫu nhiên một học sinh sao cho mỗi học sinh có cơ hội như nhau.
Tổng cộng có 41 học sinh, gồm 21 nam và 20 nữ. Tổ 1 có 11 học sinh; ba tổ còn lại có 30, trong đó 15 nữ và 15 nam. Gọi W là tính chất “nữ”, K là “không thuộc tổ 1”. Khi đó
|W\cap K|=6+5+4=15,\quad |W|=20,\quad |K|=30.
Ba câu hỏi khác nhau cho ba phép chia:
P(W\cap K)=\frac{15}{41},
P(W\mid K)=\frac{15}{30}=\frac12,\qquad
P(K\mid W)=\frac{15}{20}=\frac34.
Trong câu đầu, học sinh vẫn được chọn từ toàn bộ 41 người và phải đồng thời thỏa hai tính chất. Trong câu thứ hai, đã giữ lại 30 học sinh ngoài tổ 1. Trong câu thứ ba, đã giữ lại 20 học sinh nữ.
So sánh “biết là nữ, xác suất thuộc tổ 1” với “biết thuộc tổ 1, xác suất là nữ”. Tử số chung bằng bao nhiêu, hai mẫu là gì?
Đối chiếu
P(\text{tổ }1\mid W)=\frac5{20}=\frac14,\qquad
P(W\mid\text{tổ }1)=\frac5{11}.
Hai mẫu 20 và 11 khác nhau, nên hai kết quả khác nhau. Dữ liệu không thay đổi; chỉ câu hỏi được đảo chiều.
6. Khôi phục bảng từ một xác suất điều kiện
Ví dụ độc lập: có 50 thẻ, 20 thẻ xanh và 15 thẻ có dấu. Biết 2/5 số thẻ có dấu là thẻ xanh. Có bao nhiêu thẻ xanh có dấu, và xác suất có dấu trong nhóm xanh bằng bao nhiêu?
Gợi ý
Điều kiện đang giữ nhóm 15 thẻ có dấu. Nhân tỉ lệ 2/5 với 15 để tìm số thẻ ở phần giao trước.
Dựng đầy đủ bốn ô
Số thẻ xanh có dấu là 15\cdot2/5=6. Số thẻ xanh không dấu là 20-6=14; số thẻ không xanh nhưng có dấu là 15-6=9. Số thẻ không xanh và không dấu là 50-6-14-9=21. Bốn ô đều là số nguyên không âm, tổng đúng 50.
Đảo điều kiện, ta được P(\text{có dấu}\mid\text{xanh})=6/20=3/10, không phải 2/5. Kiểm tra lại theo chiều ban đầu: 6/15=2/5.
Không phải mọi tỉ lệ nằm giữa 0 và 1 đều tương thích với một bảng hữu hạn đã cho. Nếu vẫn có đúng 15 thẻ có dấu mà nói 1/4 trong số ấy là xanh, số thẻ xanh có dấu phải bằng 15/4, không nguyên. Những dữ kiện ấy không thể đồng thời đúng.
7. Điều kiện cần và đủ để dựng được bảng
Cho tổng số N\ge1, hai tổng nhóm a=|A|,\ b=|B| là các số nguyên từ 0 đến N, và giả sử b>0. Nếu P(A\mid B)=p, thì số phần tử chung phải là k=pb.
Bốn ô của bảng bắt buộc có các số lượng
k,\qquad a-k,\qquad b-k,\qquad N-a-b+k.
Chúng là số nguyên không âm khi và chỉ khi
\boxed{k=pb\text{ là số nguyên},\qquad
\max(0,a+b-N)\le k\le\min(a,b).}
Chiều cần: phần giao không thể âm hoặc lớn hơn một trong hai nhóm; ô không thuộc nhóm nào cũng không thể âm, nên k\ge a+b-N. Chiều đủ: nếu các điều kiện trên đúng, dùng chính bốn số trong công thức làm số thẻ của bốn nhóm rời nhau. Tổng bằng N, các tổng hàng và cột đúng a,b; vì b>0, tỉ lệ phần giao trong B đúng bằng p.
Ví dụ phản bác việc chỉ kiểm tra tính nguyên: với N=20,\ a=15,\ b=12,\ p=1/4, ta có k=3, là số nguyên. Nhưng a+b-N=7>3; ô ngoài cả hai nhóm sẽ bằng 20-15-12+3=-4. Vì vậy bảng không tồn tại.
Khôi phục dữ liệu từ một tỉ lệ cần hai loại kiểm tra: số lượng phải nguyên, và mọi ô phải không âm. Một phân số có vẻ hợp lí chưa bảo đảm có một tập đối tượng thật thỏa mãn nó.
8. Trước khi chia, hãy nói tên tập ở mẫu số
Hãy hoàn thành câu “trong số những đối tượng nào?” trước khi tính. Nếu chọn từ toàn bộ, mẫu là tổng toàn bộ; nếu đã biết một điều kiện, mẫu là số đối tượng thỏa điều kiện đó. Phần thuận lợi phải đồng thời nằm trong tập được giữ lại và thỏa yêu cầu còn lại.
Khi đảo điều kiện, khôi phục phần giao rồi đổi mẫu. Khi kiểm tra một bộ dữ liệu, dựng đủ bốn ô và kiểm tra số nguyên không âm. Các bước này phân biệt được xác suất đồng thời, xác suất sau khi lọc và một tỉ lệ được nêu nhưng không thể xảy ra với các số lượng đã cho.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu