Góc hạ chưa cho hướng tàu: tìm đủ khoảng cách có thể
Chuyển góc hạ thành đường tròn vị trí trong mặt phẳng biển, chứng minh khoảng cách có thể có và dựng đủ các vị trí đối xứng khi biết thêm một độ dài.
TOÁN 9 · GÓC NHÌN, PHƯƠNG HƯỚNG VÀ VỊ TRÍ
Góc hạ chưa cho hướng tàu: tìm đủ khoảng cách có thể
Chuyển góc hạ thành đường tròn vị trí trong mặt phẳng biển, chứng minh khoảng cách có thể có và dựng đủ các vị trí đối xứng khi biết thêm một độ dài.
1. Góc hạ cho khoảng cách đến chân tháp, chưa cho hướng
Hải đăng có điểm quan sát A, chân tháp B, chiều cao AB=H>0. Mặt biển là một mặt phẳng ngang, tháp thẳng đứng. Với một tàu tại C, góc hạ so với phương ngang qua A là \alpha, với 0<\alpha<90^\circ.
Trong mặt phẳng đứng chứa A,B,C, hai phương ngang song song cho góc nâng tại tàu bằng góc hạ. Tam giác vuông có
\tan\alpha=\frac{H}{BC},\qquad BC=\frac{H}{\tan\alpha}.
Nhưng nhìn từ trên xuống, mọi điểm trên đường tròn tâm B, bán kính H/\tan\alpha, đều cách chân tháp đúng khoảng ấy. Chúng đều tạo cùng góc hạ, dù ở các hướng khác nhau.
Dự đoán. Hai tàu có góc hạ bằng nhau có bắt buộc ở cùng một vị trí không? Điều đó đúng nếu đã biết chúng ở trên cùng một tia từ chân tháp, nhưng còn khi chưa biết hướng?
Bài nguồn có thêm thông tin chân tháp và hai tàu thẳng hàng, hai tàu cùng phía. Bài học này phát triển một tình huống mới: giữ chiều cao và các góc hạ, bỏ giả thiết cùng một đường thẳng trên mặt biển . Ta tìm đúng mức thông tin còn suy ra được.
2. Chuyển bài toán sang mặt phẳng nhìn từ trên
Gọi các góc hạ tới C,D là \alpha,\beta, đều nhọn, và đặt
u=BC=\frac{H}{\tan\alpha}>0,\qquad v=BD=\frac{H}{\tan\beta}>0.
Các góc và chiều cao xác định hai bán kính u,v. Khi chưa có dữ kiện về hướng, C và D có thể ở trên hai đường tròn đồng tâm B. Mô hình không đặt thêm giới hạn về bờ biển hoặc vùng vị trí được phép.
Ta có thể xoay hệ trục trong mặt phẳng biển để B=(0,0), C=(u,0). Điều này chỉ chọn hướng nhìn của bản vẽ, không đổi khoảng cách. Viết D=(p,q). Khi ấy
p^2+q^2=v^2.
Các tọa độ này đều nằm trong mặt phẳng biển; q là một độ lệch ngang sang bên, không phải độ cao của tàu. Độ cao H đã được dùng để tìm u,v.
Ví dụ độc lập với u=3,v=5, cùng tỉ lệ trên hai phương ngang. C được giữ cố định; các điểm D_1,D_2,D_3 đều có cùng khoảng cách đến B, nhưng khoảng cách tới C khác nhau.
3. Khoảng cách hai tàu nằm trong khoảng nào?
Đặt \ell=CD\ge0. Theo Pythagore trong mặt phẳng biển,
\ell^2=(p-u)^2+q^2=u^2+v^2-2up.
Do p^2+q^2=v^2, ta có -v\le p\le v. Vì u>0, thay hai cận của p cho
(u-v)^2\le\ell^2\le(u+v)^2.
Lấy căn với các độ dài không âm:
\boxed{|u-v|\le CD\le u+v.}
Cận dưới đạt tại D=(v,0): hai tàu nằm cùng một tia từ B. Cận trên đạt tại D=(-v,0): hai tàu nằm ở hai tia đối nhau. Nếu u=v, cận dưới bằng không và vị trí đạt cận là D=C; cần loại trường hợp ấy nếu yêu cầu hai vị trí tàu phân biệt.
Lấy hiệu hoặc tổng hai khoảng cách là hai trường hợp biên có hướng đặc biệt. Khi hướng của hai tàu không được xác định, hai góc hạ thường chỉ cho một khoảng giá trị của khoảng cách giữa tàu.
Đến đây ta mới có điều kiện cần và hai cấu hình biên. Để biết khoảng này có thiếu giá trị nào bên trong không, phải dựng chiều đảo.
4. Mọi khoảng cách ở giữa đều dựng được
Cho một độ dài yêu cầu \ell\ge0 thỏa |u-v|\le\ell\le u+v. Từ công thức khoảng cách, hoành độ của D bắt buộc là
\boxed{p=\frac{u^2+v^2-\ell^2}{2u}.}
Mẫu khác không vì u>0. Hai cận của \ell cho -v\le p\le v, nên v^2-p^2\ge0. Dựng
\boxed{D=\left(p,\ \pm\sqrt{v^2-p^2}\right).}
Các điểm dựng được thỏa BD^2=p^2+(v^2-p^2)=v^2. Đồng thời
CD^2=(p-u)^2+v^2-p^2=u^2+v^2-2up=\ell^2.
Vì khoảng cách không âm, BD=v và CD=\ell. Đặt tháp cao H tại B; hai khoảng cách ngang u,v trả lại đúng góc hạ đã cho theo tang. Vậy mọi giá trị trong khoảng đều có cấu hình hợp lệ, không chỉ hai đầu mút.
Vì sao thường có hai vị trí đối xứng?
Nếu |u-v|<\ell<u+v, ta có -v<p<v, nên căn dương. Hai dấu cho hai điểm phân biệt, đối xứng qua đường BC. Không còn điểm khác, vì phương trình đã xác định duy nhất p và chỉ có hai khả năng cho q.
Nếu \ell bằng một đầu mút, căn bằng không và hai dấu cho cùng một điểm trên đường BC. Khi chỉ cho phép tàu ở một nửa mặt phẳng mở xác định bởi BC, mỗi giá trị bên trong cho đúng một điểm, còn hai cấu hình biên không thuộc nửa mặt phẳng mở ấy.
Một đẳng thức cho thấy hai điều kiện biên cùng xuất hiện
Thay công thức của p, ta có
4u^2q^2=\bigl((u+v)^2-\ell^2\bigr)\bigl(\ell^2-(u-v)^2\bigr).
Trong khoảng hợp lệ, hai thừa số bên phải không âm; ở bên trong cả hai dương, nên có hai vị trí. Tại một đầu, một thừa số bằng không, nên hai vị trí nhập lại. Đẳng thức được kiểm tra bằng hiệu hai bình phương.
5. Một ví dụ dựng ngược với các độ dài nguyên
Xét mô hình độc lập trong mặt phẳng biển: B=(0,0), C=(3,0), BD=5, muốn CD=4, cùng một đơn vị độ dài. Ta có 2<4<8, nên phải có hai vị trí. Công thức cho
p=\frac{3^2+5^2-4^2}{2\cdot3}=3,\qquad q=\pm\sqrt{25-9}=\pm4.
Hai vị trí là D_1=(3,4) và D_2=(3,-4). Từ B, cả hai cách 5; từ C, cả hai cách 4. Đây cũng là hai giao điểm của đường tròn tâm B, bán kính 5, với đường tròn tâm C, bán kính 4.
Hình nhìn từ trên xuống, mỗi đơn vị độ dài dùng cùng một tỉ lệ. Hai đường tròn có tâm khác nhau: đường xanh giữ BD=5, đường nâu giữ CD=4. Hai giao điểm là hai vị trí cần tìm.
Nếu yêu cầu CD=1, nhỏ hơn 5-3=2, không có vị trí nào. Nếu yêu cầu CD=2, chỉ có D=(5,0). Nếu yêu cầu CD=8, chỉ có D=(-5,0). Ba khả năng không, một, hai điểm đều được giải thích bằng cùng một phương trình và miền của căn.
6. Dữ kiện hải đăng nguồn xác định điều gì?
Giữ chiều cao nguồn H=200\,\mathrm m, hai góc hạ 40^\circ,30^\circ. Các khoảng cách ngang là
u=\frac{200}{\tan40^\circ}\approx238{,}3507\,\mathrm m,\qquad v=\frac{200}{\tan30^\circ}=200\sqrt3\approx346{,}4102\,\mathrm m.
Vì tang tăng trên khoảng góc nhọn và 40^\circ>30^\circ, ta có u<v. Nếu chỉ biết chiều cao và hai góc, nhưng không biết hướng trong mặt phẳng biển, khoảng cách hai tàu có thể nhận mọi giá trị trong đoạn
\left[200\sqrt3-\frac{200}{\tan40^\circ},\quad200\sqrt3+\frac{200}{\tan40^\circ}\right]\,\mathrm m,
có hai đầu xấp xỉ 108{,}0594 và 584{,}7609 mét. Khoảng này đến từ thiếu thông tin về hướng, không phải từ sai số đo góc.
Bài nguồn có thêm thứ tự cùng phía B,C,D (hoặc đọc ngược là D,C,B). Điều đó chọn đúng cận dưới: CD=v-u, làm tròn đến mét được 108\,\mathrm m. Kết quả nguồn không mâu thuẫn với khoảng rộng hơn; nó dùng một giả thiết bổ sung mà tình huống mới đã bỏ.
Không tự dùng hiệu hai khoảng cách khi chỉ biết góc hạ. Phép tính tang xác định bán kính của vị trí; thông tin về hướng ngang mới quyết định vị trí nào trên đường tròn và khoảng cách giữa hai tàu.
7. Một hướng bổ sung có thể làm kết quả duy nhất
Nếu biết hai hướng BC,BD vuông góc nhau trong mặt phẳng biển, thì p=0. Khi đó
\boxed{CD=\sqrt{u^2+v^2}.}
Ví dụ độc lập, tháp cao 120\,\mathrm m, góc hạ tới hai tàu là 45^\circ,30^\circ. Ta có u=120, v=120\sqrt3 mét. Nếu hướng vuông góc, CD=\sqrt{120^2+3\cdot120^2}=240\,\mathrm m. Nếu cùng phía trên một đường thẳng thì khoảng cách là 120(\sqrt3-1); nếu đối phía thì là 120(\sqrt3+1). Ba cấu hình dùng cùng hai góc nhưng khác dữ kiện về hướng.
Biết hướng vuông góc cho một độ dài duy nhất, nhưng nếu không chỉ định phía nào của BC, tàu D vẫn có hai vị trí đối xứng. “Khoảng cách duy nhất” và “vị trí duy nhất” là hai yêu cầu riêng.
Hai góc hạ bằng nhau có buộc hai tàu trùng nhau?
Không, nếu chưa biết hướng. Chẳng hạn H=5, hai góc đều 45^\circ, nên u=v=5. Chọn C=(5,0), D=(-5,0), hai tàu cách nhau 10. Chỉ khi thêm điều kiện cùng một tia từ B, hai khoảng cách bằng nhau mới buộc hai vị trí trùng nhau.
8. Kiểm tra trường hợp biên và thông tin còn thiếu
Gợi ý. Trước khi tìm một đáp số, xác định bài cho bán kính vị trí, hướng, một phía của đường thẳng hay khoảng cách bổ sung. Mỗi loại thông tin loại những cấu hình nào?
Giữ u bằng 3, v bằng 5; khoảng cách hai tàu bằng căn 34
Công thức cho p=(9+25-34)/6=0, q=\pm5. Hai hướng vuông góc và có hai vị trí đối xứng. Khoảng cách \sqrt{34} nằm giữa 2 và 8, phù hợp phân loại.
Nếu các tàu phải ở hai vị trí khác nhau và hai bán kính bằng nhau?
Với u=v>0, khoảng đầy đủ là [0,2u], nhưng giá trị 0 làm D=C. Nếu hai vị trí phải phân biệt, miền khoảng cách là (0,2u]. Mọi giá trị dương bên trong vẫn dựng được bằng công thức; không được tự giữ cận không nếu bài loại vị trí trùng.
Một góc hạ bằng 90 độ thì sao?
Công thức tang không dùng được tại 90^\circ. Xét riêng hình học: tàu ấy nằm ngay dưới điểm quan sát, tức tại B, nên bán kính vị trí bằng không. Nếu tàu kia có bán kính v>0, khoảng cách giữa hai tàu luôn bằng v, còn vị trí tàu kia vẫn chạy trên cả một đường tròn. Công thức dựng có mẫu 2u không áp dụng khi u=0. Nếu cả hai tàu cùng ở B, hai vị trí trùng nhau.
Một góc hạ bằng không có cho bán kính vô cùng lớn trong bài này không?
Tia nhìn ngang từ điểm cao H>0 song song mặt biển, không gặp mặt phẳng biển tại một điểm hữu hạn. Vì vậy không có vị trí tàu hữu hạn đáp ứng trong mô hình. Không coi phép chia cho \tan0^\circ=0 là một công thức tạo ra một khoảng cách thật.
Góc hạ xác định một khoảng cách ngang, còn khoảng cách ngang xác định một đường tròn vị trí. Muốn tìm vị trí hay khoảng cách giữa các vật, cần giữ thêm thông tin về hướng hoặc chấp nhận một tập cấu hình có thể có, được mô tả bằng cả điều kiện cần lẫn cách dựng chiều đảo.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu