Cổng parabol: từ trục đối xứng đến quan hệ giữa độ cao và bề rộng
Dựng phương trình từ chân và đỉnh; dây ngang, cao độ và chiều cao tam giác; tỉ số bình phương/lập phương, phóng hình và dữ kiện biên. Ví dụ riêng, SVG đúng…
THCS · TOÁN · MÔ HÌNH PARABOL
Cổng parabol: từ trục đối xứng đến quan hệ giữa độ cao và bề rộng
Mục tiêu: tự dựng phương trình từ dữ kiện hình học, phân biệt cao độ với khoảng cách tới đỉnh, kiểm tra dữ liệu và biết giới hạn của mô hình.
Cần biết: tọa độ điểm, đồ thị hàm bậc hai, căn bậc hai và diện tích tam giác. Các kích thước dưới đây là ví dụ tự biên soạn; không cần bản đề thi bên ngoài.
1. Mô hình bắt đầu bằng giả thiết, không bắt đầu bằng thế số
Ta xét đường viền một cổng được giả thiết là một parabol , có trục đối xứng thẳng đứng, hai chân cùng nằm trên mặt đất ngang. Chiều rộng chân cổng là 2a, độ cao đỉnh là H, với a>0,H>0. Tất cả độ dài dùng cùng một đơn vị.
Chọn gốc tọa độ O tại trung điểm hai chân, trục Ox nằm trên mặt đất, chiều dương Oy hướng lên. Khi đó hai chân là A(-a,0),B(a,0); đỉnh là V(0,H). Kí hiệu đỉnh là V để không nhầm với gốc O.
Một hình vòm đối xứng chưa đủ chứng minh nó là parabol: cung tròn và nhiều đường cong khác cũng đối xứng. Công thức của bài này áp dụng khi hình dạng parabol và các giả thiết hình học đã được cho hoặc được chấp nhận như một mô hình gần đúng.
Nếu hai chân không cùng cao độ hoặc trục không thẳng đứng, không tự dùng lại sơ đồ này. Cần xác định lại hệ trục và phương trình phù hợp. Đường cong trên bản vẽ cũng không phải thông tin về độ dày khung hay độ bền kết cấu.
2. Dựng phương trình bằng hai điều kiện
Với trục đối xứng là Oy và đỉnh cao H, phương trình có dạng y=H-kx^2, trong đó k>0 vì cổng mở xuống. Thay chân B(a,0): 0=H-ka^2, nên k=H/a^2. Do đó
y=H\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right),\qquad -a\le x\le a.
Khoảng [-a,a] là phần đường cong dùng để mô tả cổng phía trên mặt đất. Hàm bậc hai còn xác định ở ngoài khoảng này, nhưng phần đó không thuộc đường viền cổng đang xét. Kiểm tra ba điểm: y(0)=H, y(-a)=y(a)=0.
Cách chọn gốc khác: nếu đặt gốc mới tại đỉnh và giữ chiều dương hướng lên, gọi tung độ mới là Y=y-H, ta được Y=-(H/a^2)x^2. Hai phương trình mô tả cùng đường cong bằng hai mốc cao độ. Không lấy tung độ tính từ đỉnh để gọi là độ cao so với mặt đất.
Biểu thức x^2/a^2 không có đơn vị, vì tử và mẫu cùng là bình phương độ dài. Vì vậy vế phải có đơn vị của H, đúng với y. Hệ số k có đơn vị nghịch đảo độ dài nếu các tọa độ được hiểu là đại lượng có đơn vị.
3. Dây ngang biến chiều dài thành hai hoành độ
Xét đoạn ngang MN có hai đầu trên cổng ở cao độ h, với 0<h<H. Hai giao điểm đối xứng qua Oy. Nếu MN=2b, thì M(-b,h),N(b,h), với 0<b<a. Hoành độ mỗi đầu có độ lớn nửa chiều dài dây, không phải cả chiều dài.
Thay N(b,h) vào phương trình:
\frac hH=1-\left(\frac ba\right)^2,\qquad H-h=H\frac{b^2}{a^2}.
Nếu biết a,b,h, với a>0,0<b<a,h>0, có thể suy ra H=h/[1-(b/a)^2]. Mẫu dương nên H>h, đúng với dây nằm thấp hơn đỉnh. Nếu kết quả ngược lại, cần kiểm tra số đo, đơn vị hoặc mô hình.
Dự đoán trước: dây dài bằng một nửa chân cổng thì nằm ở một nửa chiều cao? Hãy dùng tỉ số b/a, chưa cần thay kích thước cụ thể.
Mở gợi ý rồi kiểm tra dự đoán
Gợi ý: chiều dài dây chia chiều rộng chân là (2b)/(2a)=b/a.
Giải thích: nếu b/a=1/2, thì h/H=1-1/4=3/4. Quan hệ là bình phương, không tuyến tính. Dây có nửa bề rộng chân nằm ở ba phần tư chiều cao trong mô hình này.
4. Một mô hình cụ thể và hình vẽ đúng tọa độ
Chọn cổng tự biên soạn rộng 6\,\mathrm m, cao 6\,\mathrm m: a=3,H=6. Khi các tọa độ tính bằng mét, y=6-(2/3)x^2. Dây có nửa chiều dài b=2 nằm ở h=6-(2/3)\cdot4=10/3\,\mathrm m. Hai đầu là M(-2,10/3),N(2,10/3).
Ánh xạ sang hình: X=400+60x, Y=450-60y. Đỉnh ở (400;90); hai đầu dây ở (280;250) và (520;250). Đường cong là parabol, không phải một cung tròn vẽ gần đúng.
Ở ví dụ này, cao độ của dây là 10/3\,\mathrm m, còn khoảng cách vuông góc từ đỉnh đến dây là 6-10/3=8/3\,\mathrm m. Cả hai đều là độ dài thẳng đứng nhưng dùng mốc khác nhau. Diện tích tam giác VMN dùng khoảng cách thứ hai:
S_{VMN}=\frac12\cdot4\cdot\frac83=\frac{16}{3}\,\mathrm m^2.
Hình vẽ giúp nhận ra đúng đáy và chiều cao; kết quả được kiểm tra bằng tọa độ và công thức, không bằng đo pixel trên màn hình.
5. Chuẩn hóa để thấy quy luật thay vì nhớ một đáp số
Đặt r=b/a, tức tỉ số chiều dài dây với chiều rộng chân cổng. Với 0<r<1, ta có h/H=1-r^2 và (H-h)/H=r^2. Hai tỉ số cao độ cộng lại bằng 1.
r · Cao độ dây: h/H · Khoảng cách đỉnh–dây: (H-h)/H
1/2 · 3/4 · 1/4
2/3 · 5/9 · 4/9
\sqrt{2}/2 · 1/2 · 1/2
Đọc chiều ngược lại: tại cao độ h, bề rộng cổng là 2a\sqrt{1-h/H}, với 0\le h\le H. Chọn căn không âm vì bề rộng không âm. Ở nửa chiều cao, bề rộng bằng \sqrt{2}/2 lần chiều rộng chân, không phải một nửa.
Tam giác có đỉnh V, đáy dây ngang dài 2b có diện tích S=b(H-h)=Hb^3/a^2=aHr^3. Vì thế S/(aH)=r^3. Đây là quy luật của tam giác theo dây ngang trong cùng cổng; không phải công thức diện tích miền cong bên dưới cả vòm.
Nếu phóng to toàn bộ cổng và dây theo cùng hệ số t>0, các độ dài nhân t, tỉ số r giữ nguyên và diện tích nhân t^2. Đừng dùng quy luật lập phương r^3 để kết luận diện tích nhân t^3: r và hệ số phóng toàn hình là hai đại lượng khác nhau.
6. Những dữ liệu không được chia máy móc
Dữ kiện · Kiểm tra trong mô hình · Kết luận phù hợp
b=a,h=0 · Dây chính là đoạn chân cổng. · Phù hợp với mọi H>0; dữ kiện này không xác định riêng chiều cao.
b=a,h>0 · Ở hoành độ hai chân, cao độ phải bằng 0. · Không phù hợp; không chia cho mẫu bằng 0 để tạo kết quả.
b=0 · Hai giao điểm nhập lại ở đỉnh, h=H. · Không còn dây có độ dài dương; tam giác suy biến.
b>a,h\ge0 · Dây rộng hơn chân cổng, vượt miền cổng phía trên đất. · Không phù hợp với mô hình đã chọn.
Cùng biết chiều rộng chân nhưng chưa biết đỉnh hoặc một điểm thích hợp khác thì có nhiều cổng parabol cao khác nhau. Một dây ở độ cao dương, có chiều dài nằm giữa 0 và chiều rộng chân, cung cấp thêm dữ kiện để xác định H.
Đối với số đo thực, nên giữ đơn vị thống nhất và không làm tròn quá sớm. Khi b/a gần 1, mẫu 1-(b/a)^2 nhỏ; kết quả chiều cao có thể nhạy với sai số của bề rộng. Một kết quả nhiều chữ số không tự chứng minh mô hình hay phép đo chính xác.
7. Tự kiểm tra mô hình và chuyển sang dữ kiện mới
Dự đoán bằng lời trước, rồi tìm điều kiện hoặc công thức phù hợp. Không cần nhớ các kích thước của ví dụ.
1. Đã biết cổng đối xứng: có đủ để dùng phương trình parabol?
Gợi ý: có đường cong đối xứng nào khác?
Giải thích: chưa đủ. Cần giả thiết hình dạng parabol; tính đối xứng riêng lẻ không loại trừ cung tròn hay những dạng vòm khác.
2. Dây dài 4 m: hoành độ hai đầu là −4 và 4?
Gợi ý: hai điểm ấy cách nhau bao nhiêu?
Giải thích: hai điểm ấy cách nhau 8 m. Trong hệ trục đối xứng, dây 4 m có hai hoành độ −2 và 2, khi đơn vị là mét.
3. Dây có nửa bề rộng chân: có ở nửa chiều cao?
Gợi ý: bình phương tỉ số 1/2.
Giải thích: cao độ bằng 3H/4; khoảng cách tới đỉnh bằng H/4. Hai đại lượng khác mốc không được đổi chỗ.
4. Tam giác lấy dây làm đáy: dùng H hay H − h làm chiều cao?
Gợi ý: đường thẳng chứa đáy nằm ở đâu?
Giải thích: dùng H-h, vì đó là khoảng cách vuông góc từ đỉnh tới đường ngang chứa dây. H đo từ đỉnh tới mặt đất.
5. Dây nằm trên đất và dài đúng bằng chân cổng: tìm được H?
Gợi ý: dữ kiện có bổ sung điểm mới ngoài hai chân không?
Giải thích: không. b=a,h=0 chỉ nhắc lại hai chân; nhiều giá trị H>0 đều phù hợp.
6. Dây ngắn đi một nửa trong cùng cổng: diện tích tam giác đổi thế nào?
Gợi ý: giữ a,H, thay b bằng b/2.
Giải thích: S=Hb^3/a^2 giảm còn 1/8. Dây ngắn hơn cũng nằm cao hơn, làm khoảng cách tới đỉnh còn 1/4; đáy còn 1/2, nên tích còn 1/8.
7. Phóng to cả cổng và dây gấp đôi: diện tích cũng gấp tám?
Gợi ý: lúc này a và H có được giữ nguyên không?
Giải thích: không giữ nguyên. Tất cả độ dài gấp đôi, diện tích gấp bốn. Tỉ số r=b/a không đổi; không nhầm với thay riêng dây trong cùng cổng.
8. Một điểm kiểm tra không nằm trên parabol đã dựng: bỏ qua được không?
Gợi ý: tách số đo, đơn vị và giả thiết hình dạng.
Giải thích: cần kiểm tra cách đo, mốc tọa độ và đơn vị trước. Nếu dữ kiện vẫn không khớp, mô hình parabol hoặc giả thiết đối xứng/cùng cao độ có thể không phù hợp; không sửa dữ kiện chỉ để giữ công thức.
Quy trình: xác nhận mô hình → chọn mốc và đơn vị → biểu diễn chân/đỉnh/dây → dựng phương trình → kiểm tra miền → phân biệt cao độ với chiều cao tam giác → đối chiếu dữ kiện và độ hợp lí.
THCS · Mô hình hình học tự biên soạn · Đúng giả thiết trước, tính toán sau.