Xác suất theo phần dư: đếm khối đầy đủ và phần còn lại
Chứng minh khi nào các số dư có cùng xác suất, đếm chính xác trên khoảng nguyên và kiểm tra lại mô hình khi thay cách chọn túi rồi chọn viên.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Xác suất theo phần dư: đếm khối đầy đủ và phần còn lại
Chứng minh khi nào các số dư có cùng xác suất, đếm chính xác trên khoảng nguyên và kiểm tra lại mô hình khi thay cách chọn túi rồi chọn viên.
1. Vì sao có ba loại chưa chắc mỗi loại có xác suất một phần ba?
Khi chia một số nguyên cho 3, số dư chỉ có thể là 0,1,2. Nhưng từ việc có ba số dư, ta chưa được kết luận rằng ba loại xuất hiện như nhau. Xác suất còn phụ thuộc vào những số nào được chọn và cách chọn chúng.
Bài học này xây dựng cách đếm bằng các khối liên tiếp, rồi dùng nó để phân biệt hai việc: chia tập kết quả thành các loại và chứng minh các loại có cùng số phần tử. Công cụ ấy dùng được khi đếm số chia hết, khi khoảng nhãn không bắt đầu từ một, và khi cách lấy mẫu thay đổi.
Trong mô hình hữu hạn mà mọi kết quả ban đầu có cùng khả năng, xác suất của một sự kiện bằng số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả. Không được thay “kết quả ban đầu” bằng các loại do mình tự gộp nếu chưa kiểm tra khả năng của từng loại.
Ví dụ: chọn đều một thẻ trong ba thẻ ghi 1,2,4. Số dư 1 có hai thẻ, số dư 2 có một thẻ, số dư 0 không có thẻ. Ba xác suất lần lượt là 2/3,1/3,0, dù phép chia vẫn có ba số dư có thể có nói chung.
2. Một khối đầy đủ chứa mỗi số dư đúng một lần
Với số nguyên dương d, phép chia có dư viết duy nhất mỗi số nguyên không âm k thành
k=dq+r,\qquad q\text{ nguyên không âm},\quad 0\le r<d.
Tính duy nhất là điều quan trọng: nếu dq+r=dq'+r', thì r-r'=d(q'-q). Mà |r-r'|<d, nên bội duy nhất của d có thể xuất hiện ở đây là 0; do đó r=r' và q=q'.
Bây giờ xét d số nguyên liên tiếp. Không có hai số khác nhau nào trong khối có cùng số dư: nếu có, hiệu của chúng phải là bội khác không của d, trong khi độ lớn của hiệu chỉ từ 1 đến d-1. Có đúng d số và đúng d loại số dư, nên mỗi loại xuất hiện đúng một lần.
Vì vậy, mỗi khối ba số liên tiếp có đúng một bội của 3; mỗi khối bảy số liên tiếp có đúng một bội của 7. Khối không cần bắt đầu ở một bội: 8,9,10 vẫn là một khối đầy đủ theo phép chia cho 3.
Tự kiểm: trong năm số liên tiếp, vì sao có đúng một số chia hết cho năm?
Nếu hai số cùng chia hết cho 5, hiệu của chúng ít nhất là 5, trái với việc hai số trong khối chỉ cách nhau nhiều nhất 4. Năm số có năm số dư khác nhau nên phải dùng hết 0,1,2,3,4, trong đó có đúng một số dư 0.
3. Một ví dụ nguồn: ba mươi viên bi
Một hộp có 30 viên bi giống nhau về khả năng được lấy, được ghi lần lượt các số từ 1 đến 30, mỗi số đúng một viên. Trộn đều và lấy một viên theo mô hình mỗi viên có xác suất 1/30. Sự kiện cần xét là “số trên viên được lấy chia hết cho 3”.
Chia các nhãn thành mười khối: 1,2,3; 4,5,6; tiếp tục đến 28,29,30. Mỗi khối có đúng một bội của 3. Có mười viên thuận lợi, nên
P=\frac{10}{30}=\frac13.
Cũng có thể viết các nhãn thuận lợi thành 3j. Điều kiện 1\le3j\le30 tương đương 1\le j\le10, nên có đúng mười giá trị nguyên của j. Hai cách đếm kiểm tra lẫn nhau.
Mỗi hàng là một khối ba số liên tiếp. Cột xanh có đúng mười bội của ba; các cột còn lại cũng có mười nhãn.
Điều làm ba số dư có cùng xác suất ở đây là ba mươi nhãn tạo thành mười khối đầy đủ, cùng với giả thiết chọn đều từng viên. Việc các số trên bi đều khác nhau chỉ giúp nhận diện viên; giá trị nhãn lớn hơn không làm viên ấy có xác suất lớn hơn.
4. Khi còn một phần khối, đếm cả phần còn lại
Xét các nhãn 1,2,\ldots,N, trong đó N nguyên dương. Chia N cho d:
N=dq+s,\qquad 0\le s<d.
Phần đầu có q khối đủ d số. Phần cuối là dq+1,\ldots,dq+s, nếu s>0. Vì vậy:
- Số dư 0 có q nhãn.
- Các số dư 1,\ldots,s có q+1 nhãn mỗi loại.
- Các số dư từ s+1 đến d-1 có q nhãn mỗi loại.
Nếu s=0, không có phần cuối và mọi loại đều có q nhãn. Nếu N<d, thì q=0: một số loại không xuất hiện. Quy tắc vẫn đúng, không cần giả sử mỗi loại đều có ít nhất một nhãn.
Chọn đều từ một khoảng gồm N số nguyên liên tiếp cho các số dư theo d cùng xác suất khi và chỉ khi N chia hết cho d.
Chiều đủ: chia khoảng thành các khối đầy đủ. Chiều cần: nếu mỗi loại có cùng c nhãn thì N=dc, nên N phải chia hết cho d. Lập luận này đúng với mọi điểm bắt đầu của khoảng; phần dư cuối có thể rơi vào các loại khác nhau.
Chuyển sang 32 viên ghi 1 đến 32: 32=3\cdot10+2. Số dư 1,2 có 11 viên mỗi loại, số dư 0 có 10 viên. Xác suất chia hết cho 3 là 10/32=5/16, không còn bằng 1/3.
5. Khoảng không bắt đầu từ một: hai đầu mút đều quan trọng
Với các nhãn nguyên từ a đến b, 1\le a\le b, tổng số nhãn là b-a+1. Muốn đếm bội của d>0, có thể lấy số bội không vượt b trừ số bội không vượt a-1. Cần dùng a-1 để giữ lại chính a nếu a chia hết cho d.
Ta kí hiệu q_d(t) là thương nguyên khi chia số nguyên không âm t cho d. Các bội dương không vượt t là d,2d,\ldots,q_d(t)d; nếu thương bằng không thì không có bội nào. Vậy
\text{Số bội của }d\text{ trong }[a,b]=q_d(b)-q_d(a-1).
Chọn đều một số từ 8 đến 32: có 25 kết quả. Có q_3(32)-q_3(7)=10-2=8 bội của ba, tức 9,12,\ldots,30. Xác suất là 8/25. Khoảng từ 9 đến 32 có 24 nhãn và vẫn có tám bội: xác suất trở lại 1/3.
Vì sao lấy thương của hai đầu rồi trừ có thể mất một viên?
Trong khoảng [9,30], có tám bội 9,12,\ldots,30. Nhưng q_3(30)-q_3(9)=10-3=7 đã loại cả nhãn 9, dù nó được phép. Công thức đúng là q_3(30)-q_3(8)=10-2=8. Mẫu số cũng phải là 30-9+1=22, nên xác suất bằng 4/11.
6. Gần một phần ba khác với đúng một phần ba
Trong bất kì khoảng gồm N nhãn liên tiếp, số nhãn c thuộc một số dư cố định là q hoặc q+1, với N=dq+s như trên. Nếu s=0, xác suất bằng đúng 1/d. Nếu s>0, hai sai lệch có thể có là
\frac1d-\frac qN=\frac{s}{dN},\qquad \frac{q+1}{N}-\frac1d=\frac{d-s}{dN}.
Vì 1\le s\le d-1, mỗi sai lệch dương đều nhỏ hơn 1/N. Như vậy
\left|\frac cN-\frac1d\right|<\frac1N.
Đây là một đánh giá sai số có chứng minh, không phải quy tắc làm tròn xác suất. Với các nhãn từ 1 đến 32, độ lệch của xác suất chia hết cho ba là 1/3-5/16=1/48<1/32. Khoảng càng dài thì ảnh hưởng của phần khối cuối càng nhỏ, nhưng chỉ khi độ dài chia hết cho d mới có sự cân bằng chính xác giữa tất cả các loại.
Điều kiện “liên tiếp” không thể bỏ. Một trăm nhãn 3,6,\ldots,300 đều chia hết cho ba, nên xác suất là 1, không gần 1/3. Có nhiều nhãn chưa đủ; cấu trúc của tập nhãn mới quyết định cách đếm.
7. Đổi cách chọn thì đổi xác suất
Giữ 32 viên ghi 1 đến 32, nhưng tách thành ba túi theo số dư khi chia cho ba. Túi dư không có 10 viên, hai túi còn lại có 11 viên mỗi túi. Bây giờ chọn đều một trong ba túi, rồi chọn đều một viên trong túi đã chọn.
Sự kiện “chia hết cho ba” xảy ra đúng khi chọn túi dư không, nên xác suất theo cách mới là 1/3. Đây là một mô hình khác cách chọn đều từ hộp chung.
Ta có thể kiểm tra độ đồng đều ở mức từng viên. Một viên trong túi có mười viên có xác suất 1/(3\cdot10)=1/30; một viên trong túi có mười một viên có xác suất 1/(3\cdot11)=1/33. Có thể hiểu các tích này bằng cách chia một phần ba tổng khả năng thành các phần bằng nhau trong túi. Vì 1/30\ne1/33, cách hai giai đoạn không chọn đều trên toàn bộ ba mươi hai viên.
Muốn quy trình chọn túi rồi chọn viên tái tạo lựa chọn đều từ hộp chung, phải cho túi có mười viên khả năng được chọn là 10/32, mỗi túi còn lại là 11/32. Khi ấy mỗi viên đều có khả năng (c/32)(1/c)=1/32, với c là số viên trong túi. Nếu một túi rỗng, việc “chọn một viên trong túi” không thực hiện được; phải mô tả lại quy trình thay vì dùng công thức có mẫu bằng không.
8. Tự kiểm tra và chuyển giao
Chọn đều từ một đến ba mươi bốn: xác suất dư một khi chia cho ba?
34=3\cdot11+1. Có mười một khối đủ và thêm nhãn 34 dư một. Vậy có 12 kết quả thuận lợi trong 34 kết quả: P=6/17. Số dư không và số dư hai có 11 nhãn mỗi loại.
Thêm ít nhất bao nhiêu nhãn liên tiếp sau ba mươi hai để ba loại cân bằng?
Phải thêm một nhãn là 33. Khi ấy 33 chia hết cho ba và ba loại đều có 11 nhãn. Không thêm thì chưa cân bằng, nên một là số ít nhất. Nếu được bỏ bớt nhãn thay vì thêm, bỏ 31,32 cũng tạo lại mười khối đủ, nhưng đó là thao tác khác.
Từ mười đến bốn mươi, xác suất chia hết cho bảy là bao nhiêu?
Có 31 nhãn. q_7(40)=5, q_7(9)=1, nên có bốn bội 14,21,28,35. Xác suất là 4/31. Kiểm tra bằng khối hoặc liệt kê đều cho cùng số đếm.
Một bạn nói: “Có hai loại là chia hết và không chia hết, nên xác suất mỗi loại là một nửa.” Sai ở đâu?
Hai sự kiện bổ sung chia toàn bộ kết quả thành hai nhóm, nhưng hai nhóm không buộc có cùng số phần tử. Với nguồn ba mươi viên, hai nhóm có 10 và 20 viên; xác suất là 1/3 và 2/3. Đếm số tên loại không thay được đếm số kết quả đồng khả năng.
Khi dùng phương pháp này, hãy xác định rõ một kết quả ban đầu là gì, kiểm tra giả thiết chọn đều, tìm khối đầy đủ và phần còn lại, rồi mới chia số thuận lợi cho tổng. Một khoảng có hai đầu mút cần đếm cả hai; một cách chọn mới cần kiểm tra lại tính đồng đều.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện