Góc hạ và hải đăng: dựng đúng hình, tìm khoảng cách hai thuyền
Từ phương ngang song song đến tỉ số tang; giải bài hải đăng cao 200 m và phân biệt hai thuyền cùng phía, khác phía trước khi tính khoảng cách.
TOÁN 9 · TAM GIÁC VUÔNG VÀ MÔ HÌNH THỰC TẾ
Góc hạ và hải đăng: dựng đúng hình, tìm khoảng cách hai thuyền
Từ phương ngang song song đến tỉ số tang; giải bài hải đăng cao 200 m và phân biệt hai thuyền cùng phía, khác phía trước khi tính khoảng cách.
1. Từ một góc nhìn đến một khoảng cách
Đứng trên hải đăng, ta nhìn xuống một con thuyền. Nếu thuyền đi xa dần nhưng mặt biển và vị trí mắt không đổi, tia nhìn bớt dốc: góc giữa tia nhìn và phương ngang nhỏ dần. Bài toán lượng giác bắt đầu từ mối liên hệ hình học này, trước khi bấm máy tính.
Mục tiêu. Em sẽ giải thích được vì sao góc hạ bằng góc nâng; chọn đúng cạnh đối, cạnh kề trong một tam giác vuông; và quyết định khoảng cách giữa hai thuyền là hiệu hay tổng của hai khoảng cách đến chân hải đăng.
Dữ kiện và cấu hình của bài học
Mắt người quan sát ở đỉnh A của hải đăng cao AB=200\,\mathrm m. Hai thuyền ở C,D; B,C,D nằm trên cùng một đường thẳng ngang. Các tia nhìn AC,AD tạo với phương ngang qua A các góc hạ lần lượt 40^\circ và 30^\circ. Tính CD, làm tròn đến mét.
Theo hình của bài gốc, hai thuyền ở cùng một phía của chân hải đăng B. Điều này quan trọng: chỉ riêng việc ba điểm thẳng hàng chưa quyết định được phép cộng hay phép trừ. Ta dùng cấu hình cùng phía để giải bài này; trường hợp khác phía sẽ được xét riêng ở phần vận dụng.
Dự đoán trước khi tính: thuyền nhìn dưới góc 40^\circ hay thuyền nhìn dưới góc 30^\circ gần chân hải đăng hơn? Hãy thử vẽ hai tia từ cùng một điểm cao đến mặt biển.
2. Tại sao dùng tang?
Góc hạ đo từ phương ngang qua mắt xuống tia nhìn. Góc nâng đo từ phương ngang tại thuyền lên tia nhìn. Hai phương ngang song song, nên các góc so le trong tạo bởi cùng một tia nhìn bằng nhau. Vì thế \angle ACB=40^\circ và \angle ADB=30^\circ.
Hình giữ đúng tỉ lệ hình học: độ cao được vẽ bằng 120 đơn vị; khoảng cách ngang đến C,D lần lượt là 120/\tan40^\circ và 120/\tan30^\circ. C ở giữa B và D.
Trong tam giác vuông ABC, xét góc tại C: cạnh đối là AB, cạnh kề là BC, còn AC là cạnh huyền. Tang so sánh cạnh đối và cạnh kề, đúng hai độ dài mà ta biết một và cần tìm một:
\tan40^\circ=\frac{AB}{BC}=\frac{200}{BC}.
Nhân hai vế với BC, rồi chia cho số dương \tan40^\circ, ta được:
BC=\frac{200}{\tan40^\circ}.
Mẫu chung cần hiểu: với chiều cao h>0, góc hạ \alpha thỏa 0<\alpha<90^\circ, khoảng cách ngang từ chân tháp đến vật là d=h/\tan\alpha. Độ dài tia nhìn là cạnh huyền, không phải d.
Trên khoảng góc nhọn, góc tăng thì tang tăng. Cùng một chiều cao, mẫu số lớn hơn làm khoảng cách ngang nhỏ hơn. Vì 40^\circ>30^\circ, ta dự đoán đúng rằng BC<BD.
Nếu chọn góc với phương thẳng đứng thì sao?
Góc BAC=90^\circ-40^\circ=50^\circ. Xét góc tại A, BC trở thành cạnh đối và AB là cạnh kề, nên \tan50^\circ=BC/200. Do đó BC=200\tan50^\circ=200/\tan40^\circ. Hai cách thống nhất khi ta đổi cả góc lẫn vai trò các cạnh.
3. Lời giải hoàn chỉnh: hiệu của hai khoảng cách
Hải đăng thẳng đứng và mặt biển nằm ngang nên AB\perp BC, AB\perp BD. Hai tam giác ABC,ABD đều vuông tại B. Từ tỉ số tang ở góc C,D:
BC=\frac{200}{\tan40^\circ}\approx238{,}3507\,\mathrm m,
BD=\frac{200}{\tan30^\circ}=200\sqrt3\approx346{,}4102\,\mathrm m.
Hai thuyền cùng phía của B, mà BC<BD, nên thứ tự là B,C,D. Theo phép cộng đoạn thẳng, BC+CD=BD. Vì vậy:
CD=BD-BC
=\frac{200}{\tan30^\circ}-\frac{200}{\tan40^\circ}
\approx108{,}0594\,\mathrm m.
Kết luận: khoảng cách hai thuyền, làm tròn đến mét, là 108\,\mathrm m.
Khi tính, đặt máy ở chế độ độ (DEG). Giữ nguyên biểu thức hoặc nhiều chữ số trong các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối. Ở đây 108{,}0594 nằm giữa 107{,}5 và 108{,}5, nên làm tròn thành 108.
Kiểm tra bằng ý nghĩa: kết quả phải dương, nhỏ hơn BD, và thuyền có góc hạ lớn hơn phải gần hơn. Ba điều này không thay thế phép tính, nhưng giúp phát hiện lỗi cộng/trừ hoặc chọn sai góc.
4. Cấu hình quyết định phép tính
Công thức tang chỉ cho khoảng cách của từng thuyền đến B. Để tìm khoảng cách giữa hai thuyền , ta phải đọc thứ tự điểm.
Sơ đồ thứ tự điểm, không biểu diễn tỉ lệ độ dài. Đoạn màu xanh chỉ phần khoảng cách cần tìm trong từng cấu hình.
Ba lỗi cần tự sửa.
- Viết BC=200\tan40^\circ: đã đảo cạnh đối và cạnh kề. Hãy bắt đầu lại từ \tan40^\circ=200/BC.
- Lấy góc 40^\circ giữa tia nhìn và thân hải đăng: đó là góc với phương ngang, còn góc với thân hải đăng là 50^\circ.
- Cộng BC+BD cho hai thuyền cùng phía: tổng này đếm đoạn BC hai lần. Hãy viết BC+CD=BD trước.
Nếu chỉ có lời mô tả “B,C,D thẳng hàng” mà thiếu hình hoặc thông tin cùng/khác phía, dữ kiện có thể dẫn đến hai đáp số. Không được tự chọn hiệu chỉ vì đó là phép tính quen thuộc.
5. Vận dụng: thay một điều kiện, giải thích điều thay đổi
A. Giữ chiều cao, đổi góc gần thành 45^\circ
Hai thuyền vẫn ở cùng phía của B, AB=200\,\mathrm m; góc hạ đến C,D lần lượt là 45^\circ,30^\circ. Tính CD chính xác, rồi làm tròn đến mét. Trước khi tính, khoảng cách giữa hai thuyền tăng hay giảm so với bài gốc?
Gợi ý
Thuyền D không đổi. Góc của C lớn hơn nên C gần B hơn; khoảng cách từ C đến D tăng.
Lời giải và kiểm chứng
BC=200/\tan45^\circ=200\,\mathrm m, còn BD=200\sqrt3\,\mathrm m. Vậy CD=200(\sqrt3-1)\,\mathrm m\approx146{,}4102\,\mathrm m, làm tròn là 146\,\mathrm m. Giá trị lớn hơn 108\,\mathrm m, phù hợp dự đoán.
B. Đưa hai thuyền về hai phía của chân tháp
Giữ chiều cao 200\,\mathrm m và hai góc hạ 40^\circ,30^\circ, nhưng đặt B giữa C,D. Khoảng cách hai thuyền là bao nhiêu, làm tròn đến mét?
Lời giải
Khoảng cách mỗi thuyền đến B không đổi, nhưng thứ tự điểm đổi. Ta có CD=BC+BD=200/\tan40^\circ+200/\tan30^\circ\approx584{,}7609\,\mathrm m. Kết quả làm tròn là 585\,\mathrm m.
C. Tăng chiều cao nhưng giữ nguyên góc
Nếu chiều cao mắt so với mặt biển tăng từ 200 m lên 300 m và hai thuyền vẫn cùng phía với góc hạ 40^\circ,30^\circ, CD thay đổi thế nào?
Lời giải bằng tỉ lệ
Với hai góc cố định, CD=h(1/\tan30^\circ-1/\tan40^\circ). Do đó tăng h theo hệ số 300/200=1{,}5 cũng tăng CD theo hệ số ấy: CD\approx162{,}0891\,\mathrm m, làm tròn thành 162\,\mathrm m. Dùng giá trị chưa làm tròn của bài gốc để tính.
6. Tự kiểm: em đã hiểu mô hình chưa?
- Vì sao hai góc hạ có thể chuyển thành góc ở thuyền?
- Trong \tan40^\circ=AB/BC, cạnh nào là đối, cạnh nào là kề? AC có phải khoảng cách ngang không?
- Nếu hai góc hạ bằng nhau và hai thuyền ở cùng một phía trên cùng đường thẳng, mô hình dự đoán gì?
- Thông tin nào quyết định dùng hiệu hay tổng?
Đối chiếu câu trả lời
- Phương ngang qua mắt và mặt biển song song; tia nhìn là đường cắt, tạo các góc so le trong bằng nhau.
- Xét góc tại C: AB đối, BC kề, AC huyền. Khoảng cách ngang là BC, không phải AC.
- Hai khoảng cách đến B bằng nhau. Trong mô hình điểm trên cùng một tia, hai vị trí trùng nhau, nên CD=0; hai thuyền có vị trí khác nhau trên tia không thể cho hai góc hạ bằng nhau với cùng độ cao.
- Thứ tự của B,C,D: cùng phía thì lấy chênh lệch hai khoảng cách, khác phía thì cộng.
Câu chốt: dựng đúng tam giác, viết tỉ số theo đúng góc, rồi đọc thứ tự điểm. Công thức chỉ phát huy tác dụng khi mô hình đã đúng.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải