Cổng parabol: đo chiều cao bằng dây ngang và diện tích biển
Dựng hệ tọa độ đúng nghĩa, suy ra chiều cao từ dây ngang, rồi kiểm tra miền dữ kiện và diện tích khi giữ nguyên cổng hoặc thay mô hình.
TOÁN THCS · PARABOL, TỌA ĐỘ VÀ DIỆN TÍCH
Cổng parabol: đo chiều cao bằng dây ngang và diện tích biển
Dựng hệ tọa độ đúng nghĩa, suy ra chiều cao từ dây ngang, rồi kiểm tra miền dữ kiện và diện tích khi giữ nguyên cổng hoặc thay mô hình.
1. Một sợi dây ngang giúp đo chiều cao không đo trực tiếp được
Mặt trước một cổng có dạng parabol, hai chân A,B nằm trên mặt đất phẳng và cách nhau 8 m. Đỉnh cao nhất là O. Hai điểm M,N trên cổng tạo dây ngang MN\parallel AB, dài 6 m, ở độ cao 3 m so với mặt đất. Tấm biển là tam giác OMN. Tính diện tích biển, làm tròn đến hàng phần mười của mét vuông.
Mô hình coi cổng là phần đồ thị parabol có trục đối xứng thẳng đứng, hai chân ở cùng độ cao; các số đo được cho là chính xác. Diện tích cần tính là diện tích hình phẳng của tấm biển, chưa tính khung, độ dày hay phần chồng lên mép.
Dự đoán: Đáy tam giác dài 6 m đã biết. Nhưng 3 m là độ cao của đáy biển so với đất, có phải chiều cao của tam giác không? Nếu chưa biết đỉnh cổng, thông tin dây ngang có giúp tìm nó không?
2. Chọn gốc tọa độ mà không đổi nghĩa của điểm O
Gọi I là trung điểm AB. Chọn I làm gốc tọa độ, trục ngang trùng mặt đất, trục đứng hướng lên; đơn vị trên cả hai trục là mét. Chữ O vẫn chỉ đỉnh cổng, không chỉ gốc tọa độ. Khi đó
A(-4,0),\quad B(4,0),\quad O(0,H),\qquad H>0.
Vì parabol đối xứng qua trục đứng, nó có dạng y=kx^2+H, với k<0 để đỉnh là điểm cao nhất. Chân B(4,0) nằm trên cổng nên 0=16k+H, suy ra
k=-\frac H{16},\qquad y=H\left(1-\frac{x^2}{16}\right),\quad -4\le x\le4.
Công thức tự thỏa cả hai chân cổng và độ cao đỉnh; chỉ còn một số chưa biết là H. Nếu xuất phát từ y=kx^2+bx+c, thay hai điểm (-4,0),(4,0) rồi trừ hai phương trình cho 8b=0; đây cũng là cách kiểm tra hệ số bậc nhất bằng 0.
Không dùng ngay y=kx^2 trong hệ trục có gốc dưới đất: đồ thị đó có đỉnh ở (0,0), làm cổng có chiều cao bằng 0. Muốn đặt gốc tại đỉnh, phải đổi cả tọa độ của đất và dây ngang.
3. Vì sao hai hoành độ là âm 3 và 3?
Dây MN song song mặt đất và cao 3 m, nên cả hai đầu có tung độ 3. Nếu hai hoành độ là x_M,x_N, công thức parabol cho x_M^2=x_N^2. Vì M,N khác nhau, hai hoành độ không bằng nhau, nên x_M=-x_N.
Độ dài dây ngang chính là hiệu hoành độ. Do MN=6, mỗi điểm cách trục đối xứng 3 m. Gọi điểm trái là M, ta có
M(-3,3),\qquad N(3,3).
Thay N vào phương trình cổng:
3=H\left(1-\frac9{16}\right)=\frac7{16}H,\qquad H=\frac{48}{7}\text{ m}.
Vì 7/16\ne0, chiều cao được xác định duy nhất. Nó lớn hơn 3 m, phù hợp việc đáy biển nằm dưới đỉnh cổng. Phương trình cổng là
y=\frac{48}{7}-\frac37x^2.
Kiểm tra ngược: với x=\pm4, tung độ bằng 0; với x=\pm3, tung độ bằng 3; với x=0, tung độ bằng 48/7. Tất cả dữ kiện cùng thỏa.
Cả hai trục dùng cùng một tỉ lệ. Đường nét đứt thẳng đứng từ O đi qua trung điểm MN và I; chiều cao tam giác chỉ là phần từ O xuống MN.
4. Chiều cao tam giác là hiệu hai độ cao
Vì MN nằm ngang, khoảng cách vuông góc từ O đến MN là
h_{\triangle}=H-3=\frac{48}{7}-3=\frac{27}{7}\text{ m}.
Do đó
S_{OMN}=\frac12\cdot6\cdot\frac{27}{7}=\frac{81}{7}\text{ m}^2\approx11{,}571428\text{ m}^2.
Làm tròn đến hàng phần mười, được
\boxed{S_{OMN}\approx11{,}6\text{ m}^2}.
Không dùng 3 m làm chiều cao tam giác: đó là khoảng cách từ dây xuống đất. Cũng không dùng toàn bộ 48/7 m: đó là khoảng cách từ đỉnh cổng xuống đất.
Phản ví dụ cho làm tròn quá sớm: Nếu làm tròn H thành 6{,}9 m rồi tính, sẽ được \frac12\cdot6\cdot(6{,}9-3)=11{,}7\text{ m}^2, khác 11{,}6\text{ m}^2. Giữ phân số chính xác đến diện tích cuối cùng tránh lỗi này.
Một hệ trục khác vẫn phải cho cùng diện tích
Nếu đặt gốc tại đỉnh O, giữ trục đứng hướng lên, gọi tung độ mới là Y=y-H. Khi đó cổng có phương trình Y=-3x^2/7, đất có tung độ -48/7, dây MN có tung độ -27/7. Khoảng cách từ đỉnh có tung độ 0 xuống dây vẫn là 27/7, nên diện tích không đổi. Không được giữ tung độ dây bằng 3 sau khi đã dời gốc lên đỉnh.
5. Một mẫu tổng quát có điều kiện cần và đủ
Giả sử cổng rộng 2a, với a>0; một dây ngang dài 2u nằm ở độ cao y_0 so với mặt đất. Muốn có dây không suy biến ở phía trên mặt đất và dưới đỉnh, cần
0<u<a,\qquad y_0>0.
Chọn gốc dưới đỉnh như trước. Hai đầu dây có tọa độ (-u,y_0),(u,y_0), nên
y_0=H\left(1-\frac{u^2}{a^2}\right),\qquad H=\frac{y_0a^2}{a^2-u^2}.
Mẫu dương, nên H>y_0>0. Chiều cao tam giác từ đỉnh xuống dây là H-y_0=y_0u^2/(a^2-u^2). Do đáy bằng 2u,
S=u(H-y_0)=\frac{y_0u^3}{a^2-u^2}.
Chiều ngược: Với bất kì a,u,y_0 thỏa ba điều kiện trên, chọn H bằng công thức này và dựng đồ thị y=H(1-x^2/a^2). Đồ thị mở xuống, cắt đất ở \pm a, có đúng hai điểm ở độ cao y_0 với hoành độ \pm u. Vì vậy công thức không chỉ cho một ứng viên; nó dựng được duy nhất cổng trong mô hình đã chọn.
Các đầu mút nói gì?
- Nếu u=0, dây co thành đỉnh; tam giác không còn ba đỉnh phân biệt.
- Nếu u=a, dây nối hai chân cổng nên phải có y_0=0. Khi ấy bề rộng và dây sát đất không xác định được H: mọi chiều cao dương đều có thể xảy ra.
- Nếu u>a nhưng y_0>0, không có dây như vậy trên phần cổng phía trên mặt đất. Công thức suy ra H<0, trái với mô hình cổng có đỉnh cao.
Không được bỏ điều kiện chỉ vì máy tính vẫn cho một số sau phép chia.
6. Giữ nguyên cổng, dời dây: diện tích thay đổi ra sao?
Giờ giữ nguyên cổng đã tìm được, tức a=4, H=48/7. Chỉ thay dây ngang bằng cách chọn nửa chiều dài u, với 0<u\le4; đầu mút u=4 được phép nếu biển có đáy trên mặt đất. Độ cao dây lúc này phải thay đổi theo cổng:
y(u)=H\left(1-\frac{u^2}{16}\right).
Chiều cao tam giác là Hu^2/16, nên
S(u)=\frac{Hu^3}{16}=\frac37u^3.
Nếu 0<u<v, thì v^3-u^3=(v-u)(v^2+uv+u^2)>0, suy ra S(v)>S(u). Diện tích tăng khi dây rộng hơn, nhưng không tăng tỉ lệ thuận với chiều dài dây.
Ví dụ dây dài 4 m có u=2, nằm ở độ cao 36/7 m và cho diện tích 24/7\text{ m}^2. Dây dài 6 m có u=3, nằm ở độ cao 3 m và cho diện tích 81/7\text{ m}^2. Tỉ lệ độ dài là 3/2, còn tỉ lệ diện tích là 27/8=(3/2)^3.
Trục đứng tính diện tích theo mét vuông; trục ngang là nửa chiều dài dây. Điểm ở u=0 để trống vì tam giác suy biến. Điểm u=4 ứng với đáy biển trùng mặt đất.
Nếu đáy biển được phép nằm trên mặt đất, diện tích lớn nhất là S(4)=192/7\text{ m}^2, đạt tại tam giác OAB. Nếu bắt buộc đáy phải cao hơn mặt đất, thì 0<u<4: luôn có thể chọn dây rộng hơn một chút, nên không có diện tích lớn nhất; chỉ có thể tiến gần 192/7.
Nếu bổ sung yêu cầu đáy biển cao ít nhất 3 m , trên cùng cổng ta phải có u\le3. Khi đó diện tích lớn nhất là 81/7\text{ m}^2, đạt đúng dây ở độ cao 3 m. Điều kiện vị trí quyết định cận có đạt được hay không.
7. Chuyển giao mà không trộn hai mô hình
Một cổng khác với dữ kiện mới
Cổng rộng 10 m; dây ngang dài 6 m ở độ cao 4 m. Tính chiều cao đỉnh và diện tích tam giác tạo bởi đỉnh với hai đầu dây.
Gợi ý và kiểm tra
Ở đây a=5,\ u=3,\ y_0=4. Điều kiện 0<u<a, y_0>0 thỏa. Do đó
H=\frac{4\cdot25}{25-9}=\frac{25}{4}\text{ m},\qquad H-y_0=\frac94\text{ m},S=\frac12\cdot6\cdot\frac94=\frac{27}{4}=6{,}75\text{ m}^2.
Kiểm tra H(1-9/25)=4. Nếu cần làm tròn đến phần mười theo quy ước chữ số 5 làm tròn lên, diện tích là 6{,}8\text{ m}^2.
Một phép đo khác có còn cùng cổng không?
Vẫn bề rộng 8 m, nhưng một cổng khác có dây dài 6{,}2 m ở độ cao 3 m. Khi đó
H=\frac{3\cdot16}{16-(3{,}1)^2}=\frac{1600}{213}\text{ m}\approx7{,}51\text{ m}.
Chiều cao này khác 48/7. Không được vừa giữ chiều cao của cổng ban đầu, vừa thay chiều dài dây ở cùng một độ cao: trên một parabol cố định, độ cao dây đã xác định chiều dài dây. Dữ kiện đo mới có thể mô tả một cổng khác hoặc một phép đo cần kiểm tra.
8. Tự kiểm tra mô hình tọa độ
- Điểm dùng làm gốc có trùng đỉnh không? Tung độ đang đo từ mặt đất hay từ đỉnh?
- Vì sao một dây ngang có hai hoành độ đối nhau?
- Đã dùng đúng chiều cao của tam giác là hiệu hai độ cao chưa?
- Mẫu số trong công thức tổng quát có dương không? Những trường hợp dây bằng 0 hoặc bằng bề rộng cổng có khác bản chất không?
- Khi dời dây, đang giữ nguyên cổng hay đang xác định một cổng mới từ số đo khác?
Những câu hỏi đó giúp chuyển một hình cổng thành mô hình kiểm tra được, và giữ đúng ý nghĩa của từng con số trong quá trình tính diện tích.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu