Vật nổi trong bình: đọc mực chất lỏng bằng bảo toàn thể tích
Chuyên đề Toán 9: mô hình thể tích chất lỏng và phần vật chìm, điều kiện áp dụng, kiểm tra đơn vị và chuyển giao sang các bình khác.
THCS · Toán 9 · Hình học không gian và mô hình hóa
Vật nổi trong bình: đọc mực chất lỏng bằng bảo toàn thể tích
Mực chất lỏng không chỉ chứa chất lỏng. Khi một vật đi vào bình, phần vật chìm cũng chiếm không gian dưới mặt thoáng. Hiểu một nguyên lí này, em sẽ tự dựng được mô hình cho nhiều bình và nhiều vật khác nhau.
Mô hình Bảo toàn Quy trình Tự kiểm Chuyển giao
1. Trước khi tính: bên dưới mặt thoáng có gì?
Hãy tưởng tượng một bình trụ có bán kính trong R. Ta biết thể tích chất lỏng thực sự còn lại trong bình tại thời điểm đo mực cuối, kí hiệu V_{\mathrm{lỏng}}. Một quả cầu bán kính r nổi một phần trong bình; sau khi thả cầu, mặt thoáng ở độ cao h tính từ đáy. Bỏ qua phần thể tích do thành bình, sức căng mặt ngoài và các vật khác chiếm chỗ.
Dự đoán trước: \pi R^2h là thể tích nước, thể tích quả cầu, hay thể tích toàn bộ vùng ở dưới mặt thoáng? Hãy chỉ vào hình rồi trả lời trước khi mở phần tiếp theo.
Hình cắt minh họa, không theo tỉ lệ. Vạch ngang là mặt thoáng; độ cao h đo từ đáy bình.
Vùng hình trụ đến mặt thoáng
Đây là dung tích hình học của bình đến độ cao h, không phải lượng nước đã rót.
Phần vật nằm dưới mặt thoáng
Phần này chiếm chỗ mà chất lỏng không thể đồng thời chiếm. Chỉ phần chìm mới được cộng vào dung tích đến mặt thoáng.
2. Phương trình gốc: chia một vùng thành hai phần không chồng nhau
Tiết diện ngang của bình trụ không đổi: S=\pi R^2. Vì vậy thể tích vùng trong bình từ đáy đến độ cao h bằng Sh. Vùng ấy được lấp đầy bởi đúng hai phần: chất lỏng và phần quả cầu chìm.
\underbrace{\pi R^2h}_{\text{dung tích đến mặt thoáng}}=\underbrace{V_{\mathrm{lỏng}}}_{\text{chất lỏng thực có}}+\underbrace{V_{\mathrm{chìm}}}_{\text{vật chiếm chỗ}}.
Vì thế, muốn tìm phần chìm, hãy lấy dung tích đến mặt thoáng trừ đi thể tích chất lỏng thực có:
V_{\mathrm{chìm}}=\pi R^2h-V_{\mathrm{lỏng}}.
Quả cầu hoàn chỉnh có thể tích V_{\mathrm{cầu}}=\dfrac43\pi r^3. Hai phần nổi và chìm ghép lại thành toàn bộ quả cầu, nên:
V_{\mathrm{nổi}}=\frac43\pi r^3-V_{\mathrm{chìm}}.
Ranh giới của mô hình. “Phần nổi” ở đây nghĩa là phần quả cầu nằm trên mặt thoáng , không phải lượng nước bị đẩy ra. Nếu cầu chạm đáy, có bọt khí, bình loe hoặc còn vật khác trong bình, ta phải sửa mô hình hình học tương ứng.
3. Quy trình dùng cho mọi bài cùng cơ chế
- Vẽ vạch mặt thoáng. Tô riêng chất lỏng, phần vật chìm và phần vật nổi. Ghi rõ độ cao đo từ đâu và bán kính nào là của bình, bán kính nào là của vật.
- Tính dung tích đến vạch. Với bình trụ thẳng, dùng diện tích đáy nhân chiều cao: \pi R^2h. Với bình có tiết diện biến đổi, không được dùng công thức này; cần tính thể tích hình học đúng của bình đến mực đó.
- Trừ thể tích chất lỏng thực. Hiệu còn lại là tổng thể tích của những vật chiếm chỗ dưới mặt thoáng. Nếu chỉ có một quả cầu, hiệu ấy chính là V_{\mathrm{chìm}}.
- Lấy toàn bộ trừ phần chìm nếu cần phần nổi. Chỉ dùng công thức thể tích cầu cho quả cầu hoàn chỉnh. Không lấy chiều cao phần nổi chia chiều cao cả cầu để suy ra tỉ lệ thể tích: tiết diện của cầu thay đổi theo độ cao.
- Kiểm tra điều kiện vật nổi một phần. Kết quả hợp lí phải thỏa 0<V_{\mathrm{chìm}}<V_{\mathrm{cầu}}. Giữ \pi đến cuối phép tính; đổi mọi số đo về cùng hệ đơn vị trước khi tính.
Khi dữ kiện thay đổi · Giữ nguyên ý tưởng, thay đúng biểu thức
Nhiều vật cùng ngập một phần · Dung tích đến mặt thoáng = thể tích chất lỏng + tổng thể tích các phần vật chìm.
Bình có đáy vuông cạnh a · Thay diện tích đáy \pi R^2 bằng a^2; điều kiện còn lại không đổi.
Vật chìm hoàn toàn · Phần chìm bằng toàn bộ thể tích vật; kiểm tra mức chất lỏng sau khi thả.
Biết mực nước trước và sau khi thả · Nếu nước không tràn và bình trụ không đổi, thể tích phần vật chìm bằng diện tích đáy nhân độ tăng mực chất lỏng.
4. Ba phép kiểm không thể bỏ qua
Kiểm đơn vị
R,r,h cùng đơn vị độ dài thì mọi thể tích là đơn vị lập phương tương ứng. 1\,\mathrm{mL}=1\,\mathrm{cm}^3; 1\,\mathrm{L}=1000\,\mathrm{cm}^3.
Kiểm miền giá trị
Phần chìm âm hoặc lớn hơn thể tích cả vật báo hiệu dữ kiện, phép đo hoặc giả thiết “nổi một phần” không tương thích.
Kiểm bằng cách ghép ngược
Lấy phần chìm vừa tìm cộng lại với lượng chất lỏng. Kết quả phải đúng bằng dung tích của bình đến mặt thoáng.
Kiểm bằng biến thiên
Trong cùng một bình trụ, nếu giữ nguyên lượng chất lỏng mà phần vật chìm tăng, mực chất lỏng phải tăng theo đúng \Delta h=\Delta V_{\mathrm{chìm}}/(\pi R^2).
Tự kiểm khái niệm: vì sao không lấy thể tích dưới mặt thoáng rồi gọi đó là thể tích nước?
Vì vùng ấy còn chứa phần vật chìm. Chất lỏng và vật không thể chiếm cùng một chỗ; phải tách chúng bằng phương trình bảo toàn thể tích.
5. Chuyển giao: nhận diện nguyên lí, không học thuộc đáp số
Khi gặp một tình huống mới, hãy tự hỏi theo thứ tự: Vùng nào đang được đo? → Những gì chiếm vùng đó? → Các phần có chồng lên nhau không? → Điều kiện hình học nào khiến công thức hợp lệ?
Đó là bản chất của phương pháp chiếm chỗ. Nó cũng xuất hiện khi thả nhiều viên bi vào ống đong, nhúng một phần vật vào bình chia vạch, hoặc so sánh mực chất lỏng trước và sau khi đặt vật. Tên địa phương, năm thi và số thứ tự câu hỏi không quyết định cách làm; sơ đồ thể tích mới quyết định.
THCS AI LUKATO · Chuyên đề khái niệm và phương pháp · Không phụ thuộc một đề thi cụ thể.