Thể tích và giá tiền: so sánh công bằng hai kiểu bao bì
Toán 9: phân biệt dung tích một hộp, hiệu suất thể tích trên giá và số hộp nguyên mua được theo ngân sách; kiểm tra điều kiện hình học và giới hạn mô hình.
THCS · Toán 9 · Hình học không gian × Mô hình hóa
Thể tích và giá tiền: so sánh công bằng hai kiểu bao bì
Một chiếc hộp lớn hơn chưa chắc là lựa chọn tốt hơn với cùng số tiền. Ta cần phân biệt dung tích của một hộp, số hộp mua được và lượng sản phẩm thật — rồi mới quyết định phép so sánh nào phù hợp.
Đặt đúng câu hỏi Hình học Tỉ số Ngân sách Giới hạn mô hình
1. Chọn đại lượng đích trước khi bấm máy
Với mỗi sản phẩm i, kí hiệu V_i là dung tích hình học của một hộp , P_i là giá của một hộp. Có bốn câu hỏi khác nhau, không thể dùng chung một đáp án:
“Hộp nào chứa được nhiều hơn?”
So sánh V_A và V_B. Giá tiền chưa tham gia câu hỏi.
“Một đơn vị tiền đổi được bao nhiêu dung tích?”
So sánh V_A/P_A và V_B/P_B. Chẳng hạn, nếu giá đo theo nghìn đồng, đơn vị của tỉ số là \mathrm{cm}^3/(1000\,\mathrm{VND}).
“Với đúng một ngân sách, mua được bao nhiêu?”
Tính số hộp nguyên có thể mua rồi nhân với dung tích mỗi hộp; tiền thừa có thể khiến kết quả khác tỉ số liên tục.
“Ăn được nhiều sản phẩm hơn?”
Dung tích vỏ hộp chỉ là đại diện. Cần biết lượng rót đầy, độ xốp, khối lượng riêng hoặc khối lượng thực tế mới kết luận về lượng ăn.
Hình biểu diễn đúng quan hệ bán kính và chiều cao; phối cảnh chỉ minh họa, không dùng để đo thể tích bằng mắt.
2. Nắm cấu trúc thể tích, không học thuộc một con số
Đáy tròn bán kính r có diện tích S=\pi r^2. Trụ có các lát cắt song song đáy đều bằng S, nên:
V_{\mathrm{cyl}}=\pi r^2h.
Ở nón, các lát cắt nhỏ dần về đỉnh. Với cùng đáy và cùng chiều cao, thể tích nón bằng một phần ba thể tích trụ:
V_{\mathrm{cone}}=\frac13\pi r^2h.
Hệ số \tfrac13 chỉ cho phép nói “trụ gấp ba nón” khi cả bán kính và chiều cao bằng nhau . Nếu kích thước khác, phải thay từng giá trị đúng vào công thức. Đừng nhầm bán kính với đường kính: nếu nhãn ghi đường kính d, trước hết đặt r=d/2.
Kiểm tra kích thước. Bán kính tăng gấp đôi trong khi chiều cao giữ nguyên thì thể tích tăng gấp bốn. Chiều cao tăng gấp đôi trong khi bán kính giữ nguyên thì thể tích tăng gấp hai. Đây là cách phát hiện nhanh phép tính sai trước khi so giá.
3. Phương pháp giá trị trên một đơn vị tiền
Giả sử dung tích, giá đều dương. Để tránh làm tròn sớm, có thể so sánh hai tỉ số V_A/P_A và V_B/P_B bằng tích chéo:
\frac{V_A}{P_A}>\frac{V_B}{P_B}\quad\Longleftrightarrow\quad V_AP_B>V_BP_A\qquad(P_A,P_B>0).
Phép so này dùng được dù hai hộp khác dạng hoặc khác kích thước, miễn là cùng một loại dung tích và cùng đơn vị tiền . Có thể dùng đại lượng ngược P/V, tức giá cho một đơn vị thể tích; khi ấy giá trị nhỏ hơn là kinh tế hơn. Không được đổi chiều kết luận khi chuyển từ V/P sang P/V.
Đại lượng · Ý nghĩa · Chọn theo hướng nào?
V/P · Dung tích nhận được trên mỗi đơn vị tiền · Lớn hơn nếu mục tiêu là nhiều dung tích.
P/V · Giá phải trả cho mỗi đơn vị dung tích · Nhỏ hơn nếu mục tiêu là tiết kiệm chi phí trên thể tích.
V · Dung tích của một hộp · Chỉ dùng khi câu hỏi so một hộp với một hộp.
4. Khi chỉ mua được nguyên chiếc: tỉ số chưa đủ
Với ngân sách B, nếu chỉ mua một loại hộp và không được mua lẻ, số hộp mua được là n_i=\left\lfloor B/P_i\right\rfloor. Tổng dung tích danh nghĩa là:
C_i(B)=V_i\left\lfloor\frac{B}{P_i}\right\rfloor.
Hàm “phần nguyên” làm lượng mua tăng theo bậc thang. Một loại có V/P cao hơn vẫn có thể bất lợi với một ngân sách rất nhỏ nếu giá một hộp vượt quá số tiền hiện có. Nếu bài toán cho phép mua kết hợp hai loại, cần xét các cặp số nguyên không âm (n_A,n_B) thỏa n_AP_A+n_BP_B\le B, rồi tối ưu n_AV_A+n_BV_B.
Trường hợp muốn so “cùng đúng số tiền” mà giá là bội số nguyên của nhau, ta có thể quy về một ngân sách chung và so số hộp tương ứng. Nếu không có bội số chung thuận tiện, tỉ số V/P là thước đo hiệu suất, còn công thức phần nguyên trả lời số lượng mua thật.
Hãy tự phán đoán: nếu tăng ngân sách thêm một ít, tổng dung tích có tăng ngay không?
Không nhất thiết. Khi chưa đủ mua thêm một hộp, \lfloor B/P\rfloor giữ nguyên, nên tổng dung tích cũng giữ nguyên. Đây là lí do phải đọc kĩ “trên một đơn vị tiền” hay “với đúng ngân sách”.
5. Kiểm chứng và giới hạn thực tế
- Thống nhất đơn vị: r,h theo xentimét cho V theo \mathrm{cm}^3. Giá hai loại phải cùng đơn vị tiền; 1\,\mathrm{L}=1000\,\mathrm{cm}^3.
- Kiểm điều kiện hình: chiếc “hộp nón” có thật là nón đầy tới đỉnh, hay là nón cụt? Nón cụt cần công thức khác. Thành hộp, nắp và khoảng rỗng không nằm trong dung tích lí tưởng.
- Kiểm điều cần kết luận: thể tích bao bì là khả năng chứa, không tự chứng minh khối lượng đồ ăn lớn hơn. Mức nén và độ đầy có thể khác nhau.
- Kiểm bằng tỉ số: cùng r,h, V_{\mathrm{cyl}}/V_{\mathrm{cone}}=3. Nếu tính ra quan hệ khác, xem lại hệ số \tfrac13, bình phương bán kính và đơn vị.
Quy trình chuyển giao
Đọc mục tiêu → vẽ và xác định kích thước thật → tính dung tích mỗi đơn vị → chọn V/P hoặc C(B) đúng với câu hỏi → thử lại giới hạn thực tế. Quy trình này áp dụng cho bao bì, bồn chứa, gói dữ liệu, vé và nhiều quyết định “giá trị trên chi phí” khác.
THCS AI LUKATO · Chuyên đề khái niệm và mô hình hóa · Không phụ thuộc giá bán hay đáp án của một đề thi.