Góc với phương đứng: đo chiều cao bằng tam giác vuông
Đọc đúng góc và cạnh đã cho, kiểm tra hai cách dùng tang, rồi điều chỉnh mô hình khi khoảng cách hoặc độ cao điểm quan sát thay đổi.
TOÁN THCS · LƯỢNG GIÁC VÀ MÔ HÌNH ĐO CHIỀU CAO
Góc với phương đứng: đo chiều cao bằng tam giác vuông
Đọc đúng góc và cạnh đã cho, kiểm tra hai cách dùng tang, rồi điều chỉnh mô hình khi khoảng cách hoặc độ cao điểm quan sát thay đổi.
1. Góc được đo từ đường nào?
Một con thuyền cách chân hải đăng 100 m theo phương ngang. Tia sáng từ đỉnh đến thuyền hợp với phương thẳng đứng hướng xuống một góc 70^\circ. Tính chiều cao hải đăng, làm tròn đến mét.
Ta dùng mô hình mặt phẳng: hải đăng thẳng đứng, chân hải đăng và điểm nhận sáng trên thuyền cùng độ cao; tia sáng là đoạn thẳng. Khoảng cách 100 m là khoảng cách ngang, không phải chiều dài tia sáng. Những điều này xác định một tam giác vuông.
Dự đoán: Tia sáng gần nằm ngang hay gần thẳng đứng? Nếu nó tạo với phương đứng góc 70^\circ, chiều cao có lớn hơn khoảng cách ngang 100 m không?
2. Đặt tên đỉnh để giữ đúng ý nghĩa của góc
Gọi B là đỉnh hải đăng, C là chân hải đăng, A là điểm nhận sáng. Khi đó BC\perp AC, AC=100 m, và BC=h>0 là chiều cao cần tìm. Góc đã cho là
\angle ABC=70^\circ,
vì nó nằm giữa tia sáng BA và phương đứng BC. Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90^\circ, nên
\angle BAC=20^\circ.
Hình vẽ giữ cùng tỉ lệ cho chiều ngang và chiều cao. Góc 70 độ nằm tại B, cạnh đứng ngắn hơn cạnh ngang; đó là một kiểm tra trực quan cho kết quả.
Ở góc B, cạnh đối là AC, cạnh kề là BC. Ở góc A, hai vai trò đổi chỗ. Không thể chọn công thức chỉ bằng việc thấy một góc và một độ dài trên hình.
3. Hai cách tính, cùng một chiều cao
Dùng trực tiếp góc với phương đứng
\tan70^\circ=\frac{AC}{BC}=\frac{100}{h},h=\frac{100}{\tan70^\circ}\approx36{,}3970\text{ m}.
Dùng góc với phương ngang
\tan20^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac h{100},h=100\tan20^\circ\approx36{,}3970\text{ m}.
Hai kết quả trùng nhau vì với góc nhọn \varphi,
\tan(90^\circ-\varphi)=\frac1{\tan\varphi}.
Có thể hiểu hệ thức này ngay trong tam giác vuông: hai góc nhọn phụ nhau, có tổng bằng 90^\circ, tỉ số đối/kề của góc này là nghịch đảo tỉ số đối/kề của góc kia.
Làm tròn 36{,}3970 đến mét được 36 m . Giữ đủ chữ số trong phép tính, rồi mới làm tròn chiều cao cuối cùng. Khi nhập góc 70^\circ hoặc 20^\circ, máy tính phải ở chế độ độ.
4. Một công thức sai có thể tình cờ đúng ở một góc
Nếu viết h=100\tan70^\circ, ta đã coi 70^\circ là góc ở thuyền với mặt ngang. Kết quả khoảng 274{,}7 m, mô tả một tam giác khác. Nó cũng trái dự đoán: góc nâng thật là 20^\circ<45^\circ, nên cạnh đứng phải ngắn hơn cạnh ngang.
Riêng góc 45^\circ, ta có \tan45^\circ=1, nên cả 100\tan45^\circ lẫn 100/\tan45^\circ đều bằng 100. Kiểm tra duy nhất ở góc này không thể phát hiện lỗi đảo tỉ số.
Phản ví dụ rõ hơn: Với góc 60^\circ theo phương đứng, công thức đúng cho 100/\sqrt3, còn công thức sai cho 100\sqrt3, lớn gấp 3 lần. Hãy kiểm tra cấu trúc cạnh đối–kề trước khi tin một kết quả số.
5. Chiều dài tia sáng và khoảng cách ngang là hai dữ kiện khác
Trong bài ban đầu, AB là cạnh huyền chưa được cho. Có thể tính nó sau khi tìm chiều cao:
AB=\sqrt{100^2+h^2}=\frac{100}{\sin70^\circ}\approx106{,}42\text{ m}.
Kết quả lớn hơn 100 m, phù hợp cạnh huyền dài nhất.
Ví dụ độc lập: nếu chiều dài tia sáng mới là 100 m, còn góc với phương đứng vẫn 70^\circ, thì
h=100\cos70^\circ\approx34{,}20\text{ m},AC=100\sin70^\circ\approx93{,}97\text{ m}.
Đó là một bài toán khác với dữ kiện khoảng cách ngang 100 m. Cùng xuất hiện số 100 và góc 70^\circ không đủ để chọn cùng một phép tính.
6. Viết mô hình tổng quát và kiểm tra hai đầu mút
Gọi khoảng cách ngang là d>0, góc với phương đứng là \varphi, với 0<\varphi<90^\circ. Trong mô hình hai đầu ngang bằng độ cao:
h=\frac d{\tan\varphi}=d\tan(90^\circ-\varphi)>0.
Giữ \varphi cố định, chiều cao tỉ lệ thuận với d. Nếu khoảng cách ngang tăng gấp đôi và góc không đổi, chiều cao suy ra cũng tăng gấp đôi; đây là hai tam giác đồng dạng.
Giữ d cố định, tăng góc nhọn \varphi làm \tan\varphi tăng, nên h giảm. Điều này phù hợp hình học: tia càng gần phương ngang thì chiều cao càng nhỏ so với khoảng cách ngang.
- Không lấy \varphi=0 khi d>0: tia thẳng đứng không thể đi tới một điểm lệch ngang; công thức chia cho \tan0=0 cũng không xác định.
- Không lấy \varphi=90^\circ để mô tả tam giác có h>0: tia nằm ngang đòi hỏi hai đầu cùng độ cao; hải đăng trong mô hình sẽ có chiều cao 0, tam giác suy biến. Không thế vào biểu thức d/\tan90^\circ, vì tang tại góc này không xác định.
Điều kiện góc nhọn giữ cho các tỉ số có nghĩa và tam giác thực sự có ba đỉnh phân biệt.
7. Độ cao điểm quan sát cũng là một phần của mô hình
Ví dụ độc lập: điểm nhận sáng trên thuyền cao 3 m so với mặt nước, còn chân hải đăng ở ngang mặt nước. Khoảng cách ngang vẫn 100 m, góc tia sáng với phương đứng vẫn 70^\circ. Giả sử đỉnh hải đăng cao hơn điểm nhận sáng.
Chiều đứng trong tam giác vuông lúc này là h-3, nên
h-3=\frac{100}{\tan70^\circ},\qquad h\approx39{,}3970\text{ m}.
Không cộng thêm 3 m trong bài ban đầu nếu đề không có dữ kiện này; cũng không bỏ nó khi mô hình đã nêu điểm nhận sáng cao 3 m.
Tổng quát, nếu chân hải đăng có độ cao z_C và điểm nhận sáng có độ cao z_A so với cùng một mốc, thì chênh cao từ đỉnh xuống điểm nhận sáng là h+z_C-z_A. Với đỉnh cao hơn điểm nhận sáng,
h+z_C-z_A=\frac d{\tan\varphi}.
Góc và khoảng cách ngang xác định chênh cao giữa hai đầu tia . Muốn tách riêng chiều cao công trình, cần biết quan hệ độ cao của chân công trình với điểm nhận sáng.
8. Chuyển giao và kiểm tra độ chính xác
Đổi góc thành 60 độ
Trong mô hình ban đầu, giữ khoảng cách ngang 100 m, thay góc với phương đứng bằng 60^\circ. Hãy tìm chiều cao trước khi mở lời giải.
Gợi ý và lời giải
Cạnh ngang vẫn đối diện góc đã cho, nên
h=\frac{100}{\tan60^\circ}=\frac{100}{\sqrt3}=\frac{100\sqrt3}{3}\text{ m}\approx57{,}7\text{ m}.
Nếu yêu cầu làm tròn đến mét, kết quả là 58 m. Góc với phương đứng giảm từ 70^\circ xuống 60^\circ, nên chiều cao tăng; kết quả đúng với nhận xét phần trước.
Đi ngược từ chiều cao
Một tam giác cùng mô hình có h=50 m, d=100 m. Góc với phương đứng thỏa \tan\varphi=100/50=2, nên \varphi\approx63{,}4^\circ. Góc với phương ngang khoảng 26{,}6^\circ; hai góc cộng thành 90^\circ trước khi làm tròn.
Nếu góc chỉ được biết trong một khoảng?
Tình huống mới: khoảng cách ngang chính xác 100 m, nhưng chỉ biết 69^\circ\le\varphi\le71^\circ. Vì hàm tang tăng trên khoảng góc nhọn và các giá trị đều dương,
\frac{100}{\tan71^\circ}\le h\le\frac{100}{\tan69^\circ}.
Đây là một khoảng chiều cao, không phải một số chính xác. Việc làm tròn đáp số từ dữ kiện góc chính xác và việc mô tả độ không chắc chắn của góc đo là hai câu hỏi khác nhau.
9. Tự kiểm trước khi dùng lượng giác
- Góc được đo với phương đứng hay phương ngang, và ở đỉnh nào?
- Độ dài đã cho là cạnh ngang, cạnh đứng hay cạnh huyền?
- Hai điểm làm đáy ngang có thật sự cùng độ cao trong mô hình không?
- Kết quả có phù hợp việc góc nâng nhỏ hơn hoặc lớn hơn 45^\circ không?
- Đã dùng chế độ độ và chỉ làm tròn ở bước cuối chưa?
Đánh dấu góc và đặt đúng cạnh vào tỉ số thường quan trọng hơn thao tác tính toán. Một mô hình rõ ràng cho phép kiểm tra kết quả bằng cả hình vẽ, đơn vị và một cách tính thứ hai.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu