Cùng một tỉ lệ chia: chuyển độ dài qua đồng dạng
Hiểu vì sao đoạn nối đến các điểm chia tương ứng có cùng tỉ số, áp dụng vào hai tiếp tuyến và phân biệt điều kiện đủ với chiều đảo không đúng.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Cùng một tỉ lệ chia: chuyển độ dài qua đồng dạng
Hiểu vì sao đoạn nối đến các điểm chia tương ứng có cùng tỉ số, áp dụng vào hai tiếp tuyến và phân biệt điều kiện đủ với chiều đảo không đúng.
1. Tỉ số đồng dạng truyền được tới những đoạn chưa có sẵn
Hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng tỉ lệ. Nhưng nhiều bài toán hỏi một đoạn nối từ đỉnh đến trung điểm hoặc đến một điểm chia cạnh, chứ không hỏi ba cạnh của tam giác ban đầu. Muốn chuyển tỉ lệ sang đoạn mới, ta phải dựng các điểm theo cùng một tỉ lệ trên hai cạnh tương ứng .
Điểm mấu chốt không nằm riêng ở trung điểm. Trung điểm là điểm chia theo tỉ lệ 1/2; điểm chia một phần ba hoặc hai phần ba cũng có thể tạo quan hệ tương tự. Điều quan trọng là xác định đúng đỉnh bắt đầu đo tỉ lệ, đúng cặp cạnh và đúng thứ tự tương ứng.
Nếu hai hình đồng dạng được phóng to với hệ số k, tại sao đoạn nối đến điểm một phần ba cạnh cũng phải phóng to theo k? Ta sẽ chứng minh bằng cạnh–góc–cạnh, rồi dùng kết quả để tạo một đẳng thức tích đoạn trong cấu hình tiếp tuyến.
Mọi tam giác trong phần lí thuyết là tam giác không suy biến; độ dài cạnh đều dương. Ta không suy ra đồng dạng chỉ từ một góc bằng nhau hoặc từ hình vẽ trông giống nhau.
2. Định lí nhỏ về hai điểm chia tương ứng
Giả sử \triangle UVW\sim\triangle XYZ, với thứ tự tương ứng U\leftrightarrow X, V\leftrightarrow Y, W\leftrightarrow Z. Kí hiệu tỉ số là
k=\frac{UV}{XY}=\frac{UW}{XZ}=\frac{VW}{YZ}>0.
Lấy P trên UV, Q trên XY, sao cho
\frac{UP}{UV}=\frac{XQ}{XY}=\lambda,\qquad0<\lambda\le1.
Khi đó UP=\lambda UV, XQ=\lambda XY. Chia hai đẳng thức với các độ dài dương cho
\frac{UP}{XQ}=\frac{UV}{XY}=k=\frac{UW}{XZ}.
Vì P,Q nằm trên đúng các tia UV,XY, góc PUW bằng góc QXZ. Hai tỉ số vừa nêu là hai cặp cạnh kề góc ấy. Theo trường hợp cạnh–góc–cạnh,
\triangle UPW\sim\triangle XQZ\quad\Rightarrow\quad\boxed{\frac{PW}{QZ}=k}.
Đoạn nối từ đỉnh thứ ba đến điểm chia cũng có cùng tỉ số. Khi \lambda=1, ta trở lại các cạnh VW,YZ của hai tam giác gốc.
Nếu \lambda=0, thì P=U,Q=X. Hai tam giác nhỏ suy biến, nên không áp dụng cạnh–góc–cạnh. Tuy nhiên PW=UW,QZ=XZ, nên kết luận độ dài vẫn đúng trực tiếp. Phải tách cách chứng minh ở đầu mút này.
Hình dựng chính xác với UV=72,UW=96,XY=48,XZ=64 đơn vị vẽ, nên k=3/2. Có UP=24,XQ=16, đều bằng một phần ba cạnh ngang tương ứng. Hai đoạn màu nâu cũng có tỉ số 3/2, đúng định lí.
3. Từ tỉ số đến tích đoạn, và cách tránh ghép nhầm cạnh
Với bốn độ dài dương a,b,c,d, đẳng thức a/b=c/d tương đương ad=bc, vì ta được phép nhân hoặc chia cho bd>0. Như vậy một đẳng thức tích có thể được tạo bằng việc chứng minh hai tỉ số.
Tuy nhiên, tỉ số đồng dạng phải theo đúng thứ tự đỉnh. Trong phần trước, PW tương ứng QZ, còn UP tương ứng XQ. Nếu tùy ý viết PW/XY=k, ta đã ghép một đoạn mới với một cạnh khác loại và không có căn cứ.
Một cách tự kiểm tra là ghi rõ ba cặp đỉnh trước khi viết tỉ lệ, rồi đọc hai đầu của từng đoạn. Ví dụ U\leftrightarrow X, P\leftrightarrow Q, W\leftrightarrow Z quyết định PW\leftrightarrow QZ. Khi đổi thứ tự viết tên tam giác, phải đổi đồng thời thứ tự tương ứng, không chỉ đảo một tỉ số.
“Một góc bằng nhau và hai tỉ số bằng nhau” chỉ đủ cho cạnh–góc–cạnh nếu đó là góc xen giữa đúng hai cặp cạnh đã xét. Một góc ở vị trí khác không tự cho đồng dạng. Ta sẽ chỉ rõ góc xen giữa ở ứng dụng, thay vì đọc nó từ một hình phác.
4. Hai tiếp tuyến tạo cặp tam giác đồng dạng ban đầu
Ứng dụng chọn lọc: tam giác ABC cân tại A, với 0<\angle BAC<90^\circ, nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại A,B gặp nhau ở M. Gọi N là trung điểm AC, K là trung điểm AM. Cần tìm quan hệ giữa BN,BK và các đoạn CA,BM.
Đặt \alpha=\angle BAC, \beta=\angle ABC=\angle ACB. Khi đó \alpha+2\beta=180^\circ, và 45^\circ<\beta<90^\circ. Cung nhỏ AB không chứa C có góc ở tâm \angle AOB=2\beta<180^\circ, nên A,B không phải hai đầu một đường kính; hai tiếp tuyến không song song.
Vì bán kính vuông góc tiếp tuyến, hai tam giác OAM,OBM vuông, chung cạnh huyền OM và có OA=OB. Chúng bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông, nên MA=MB>0.
Trong tứ giác tạo bởi hai bán kính và hai tiếp tuyến, hai góc tại A,B là góc vuông. Vì vậy góc giữa hai đoạn tiếp tuyến là
\angle AMB=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-2\beta=\alpha.
Tam giác AMB cân tại M, nên hai góc còn lại bằng \beta. Suy ra
\triangle ABC\sim\triangle MBA,
với A\leftrightarrow M, B\leftrightarrow B, C\leftrightarrow A. Đọc đúng các cạnh cho
\boxed{\frac{BC}{AB}=\frac{CA}{MA}}.
Ta đã tạo được hai tam giác đồng dạng có cạnh CA tương ứng MA, là hai cạnh đang chứa các trung điểm. Đó là lí do cặp tam giác này hữu ích cho mục tiêu.
5. Trung điểm truyền tỉ số sang hai đoạn nối
Viết lại cùng quan hệ đồng dạng theo thứ tự
\triangle CAB\sim\triangle AMB.
Bây giờ cặp đỉnh bắt đầu là C\leftrightarrow A, cặp cạnh bị chia là CA\leftrightarrow AM. Hai trung điểm thỏa
\frac{CN}{CA}=\frac{AK}{AM}=\frac12.
Áp dụng định lí điểm chia ở phần 2, hoặc kiểm tra trực tiếp:
\frac{CN}{AK}=\frac{CA}{AM}=\frac{CB}{AB},\qquad\angle NCB=\angle KAB=\beta.
Góc vừa ghi nằm giữa CN,CB ở tam giác thứ nhất, và giữa AK,AB ở tam giác thứ hai. Do đó
\triangle CNB\sim\triangle AKB\quad\Rightarrow\quad\frac{BN}{BK}=\frac{CA}{AM}.
Vì AM=BM, ta được
\frac{BN}{BK}=\frac{CA}{BM}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{BM\cdot BN=CA\cdot BK}.
Các mẫu đều dương: A,M,B tạo tam giác thật sự, K nằm trong AM, còn B không nằm trên đường AM, nên BK>0. Tương tự, B không nằm trên AC, nên BN>0. Phép nhân chéo không che một trường hợp chia cho không.
Mẫu dựng dùng A=(0,3),B=(-1,0),C=(1,0), O=(0,4/3), bán kính 5/3, M=(-5,3), K=(-5/2,3), N=(1/2,3/2). Hình dùng cùng tỉ lệ 30 đơn vị vẽ trên mỗi trục; các tiếp tuyến và trung điểm đều được xác định chính xác từ tọa độ.
6. Thay trung điểm bằng một phần ba, kết luận nào còn giữ?
Giữ nguyên A,B,C,M. Chọn N_\lambda trên CA, K_\lambda trên AM sao cho
\frac{CN_\lambda}{CA}=\frac{AK_\lambda}{AM}=\lambda,\qquad0<\lambda\le1.
Chứng minh ở phần trước không dùng riêng số 1/2; nó chỉ dùng hai tỉ lệ bằng nhau. Do đó
\boxed{BM\cdot BN_\lambda=CA\cdot BK_\lambda}.
Với \lambda=1/3, trong mẫu tọa độ của hình, N_{1/3}=(2/3,1), K_{1/3}=(-5/3,3). Pythagore cho
BN_{1/3}^2=\left(\frac53\right)^2+1=\frac{34}{9},BK_{1/3}^2=\left(-\frac23\right)^2+9=\frac{85}{9}.
Vì BM=5,CA=\sqrt{10}, hai vế của tích đều bằng 5\sqrt{34}/3. Số học này kiểm tra một mô hình; tính đúng cho mọi \lambda hợp lệ đã được chứng minh bằng đồng dạng.
Tại \lambda=0, N_0=C,K_0=A. Không dùng hai tam giác nhỏ suy biến; thay trực tiếp, đẳng thức cần chứng minh là BM\cdot BC=CA\cdot AB, đã có từ cặp tam giác lớn và BM=MA. Tại \lambda=1, N_1=A,K_1=M, kết luận thành BM\cdot BA=CA\cdot BM, đúng vì BA=CA. Hai đầu mút đều giữ đẳng thức độ dài, dù cách đọc hình khác nhau.
Hơn nữa, nếu cho \lambda>1, chọn điểm trên các tia tương ứng vượt qua đầu cạnh, hai tia tạo góc xen giữa vẫn giữ nguyên và hai tam giác nhỏ không suy biến. Chứng minh cạnh–góc–cạnh còn dùng được. Không tự mở rộng sang \lambda<0 bằng cùng lập luận độ dài, vì khi ấy hướng tia đã đổi.
7. Chiều thuận đúng không làm chiều đảo tự động đúng
Hai điểm chia theo cùng tỉ lệ là điều kiện đủ cho đẳng thức tích. Chỉ biết tích bằng nhau chưa chắc khôi phục được hai tỉ lệ chia. Một đẳng thức độ dài có thể đúng do một lựa chọn khác, không tạo đúng cặp tam giác tương ứng.
Trong mẫu A=(0,3),B=(-1,0),C=(1,0),M=(-5,3), chọn N'=(9/10,3/10) và K'=(-3/2,3). Khi đó
\frac{CN'}{CA}=\frac1{10},\qquad\frac{AK'}{AM}=\frac3{10},
không bằng nhau. Nhưng
BN'^2=\left(\frac{19}{10}\right)^2+\left(\frac3{10}\right)^2=\frac{37}{10},BK'^2=\left(-\frac12\right)^2+3^2=\frac{37}{4}.
Vì BM^2=25,CA^2=10, ta có
(BM\cdot BN')^2=25\cdot\frac{37}{10}=\frac{185}{2}=(CA\cdot BK')^2.
Hai tích đều dương nên chúng bằng nhau. Đây là phản ví dụ cụ thể cho chiều đảo “tích bằng nhau thì hai điểm chia cùng tỉ lệ”. Nó không bác bỏ chiều thuận đã chứng minh.
Trong chứng minh, một phương pháp dựng đủ để bảo đảm kết luận không nhất thiết liệt kê mọi cách làm kết luận đúng. Muốn khẳng định “khi và chỉ khi”, phải chứng minh thêm chiều đảo hoặc phát hiện phản ví dụ như trên.
8. Tự kiểm tra cách chuyển tỉ số
Hai tam giác đồng dạng tỉ số 3 phần 2. Hai trung tuyến tương ứng có tỉ số nào?
Mỗi trung tuyến nối đỉnh thứ ba với trung điểm cạnh đối diện. Lấy \lambda=1/2 trong định lí điểm chia, tỉ số hai trung tuyến là 3/2. Không lấy bình phương 9/4, vì đây là độ dài, không phải diện tích.
Nếu một điểm cách đỉnh đầu một phần ba cạnh, điểm kia cách đỉnh cuối một phần ba cạnh, có áp dụng ngay được không?
Không. Đo từ đỉnh đầu, điểm thứ hai cách 2/3 cạnh, khác 1/3. Cần thống nhất đầu đo tương ứng trước khi so tỉ lệ. Hai cụm “một phần ba” chưa đủ nếu bắt đầu từ hai đầu khác nhau.
Chọn hai điểm tùy ý có thể giữ đẳng thức tích của ứng dụng không?
Có thể tình cờ giữ, như phản ví dụ ở phần 7, nhưng không được dùng định lí cùng tỉ lệ chia để bảo đảm. Khi dựng theo yêu cầu bằng tỉ lệ, ta có một chứng minh cho cả họ điểm; khi chọn tùy ý, cần một lập luận khác cho từng điều kiện cụ thể.
Chuyển tỉ số đáng tin cậy đi theo thứ tự: xác định cặp tam giác lớn; ghi đúng ba cặp đỉnh; chọn điểm chia từ đúng đầu tương ứng; dùng hai cạnh kề cùng một góc để có tam giác nhỏ; rồi mới chuyển tỉ số thành tích. Trung điểm là một trường hợp đặc biệt của nguyên tắc rộng hơn.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện