Hình trụ và hình nón: từ đồng dạng đến bảo toàn thể tích nước
Giải thích quan hệ lập phương giữa mực nước và thể tích nón, điều kiện đỉnh ở dưới, cách đổi thứ tự rót và kiểm tra đủ nước khi kích thước thay đổi.
Toán 9 · Đồng dạng và thể tích
Hình trụ và hình nón: từ đồng dạng đến bảo toàn thể tích nước
Giải thích quan hệ lập phương giữa mực nước và thể tích nón, điều kiện đỉnh ở dưới, cách đổi thứ tự rót và kiểm tra đủ nước khi kích thước thay đổi.
1. Chiều cao là một chiều, thể tích là ba chiều
Đổ nước vào một cốc hình trụ: mỗi lớp nước dày như nhau chứa cùng một thể tích, vì diện tích mặt cắt ngang không đổi. Trong một cốc hình nón đặt đỉnh xuống dưới, những lớp gần đỉnh rất hẹp; càng lên cao mặt nước càng rộng. Vì vậy nửa chiều cao không có nghĩa nửa dung tích .
Dự đoán trước khi tính. Hai cốc có cùng bán kính miệng và chiều cao. Một cốc hình trụ, một cốc hình nón có đỉnh ở dưới. Khi nước đều cao bằng nửa chiều cao cốc, phần nước trong cốc nón chiếm bao nhiêu dung tích đầy của chính nó? Ít hơn, bằng hay nhiều hơn một nửa?
Bài học dùng hình trụ tròn đứng và hình nón tròn xoay đặt thẳng đứng. Mặt nước nằm ngang. Các kích thước là kích thước bên trong phần chứa nước; không tính bề dày thành cốc. Coi nước không nén được, không thất thoát khi rót, không còn nước trong chai khi đã rót xong, không có vật chiếm chỗ. Đây là mô hình hình học lý tưởng.
Đối với cấu hình chung ban đầu, bán kính r>0, chiều cao h>0, hai cốc có cùng r,h. Cốc nón có miệng tròn ở trên, đỉnh kín ở dưới và được giữ thẳng đứng. Nếu chưa biết chiều đặt hình nón, chưa được áp dụng công thức phần nước hình nón nhỏ.
2. Đồng dạng cho bán kính mặt nước
Trong cốc nón đỉnh dưới, gọi z là độ sâu nước đo thẳng đứng từ đỉnh, với 0\le z\le h; gọi \rho là bán kính mặt nước. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục. Nửa mặt cắt là tam giác vuông có chiều cao h, đáy r. Phần nước tạo tam giác vuông nhỏ có chiều cao z, đáy \rho.
Hai tam giác chung góc ở đỉnh, có các đáy song song vì mặt nước nằm ngang. Chúng đồng dạng theo góc-góc. Khi z>0, tỉ số cạnh tương ứng cho \rho/r=z/h. Đặt k=z/h, ta được \rho=kr. Ở z=0, phần nước rỗng, \rho=0, công thức vẫn đúng nhưng không gọi tam giác suy biến là tam giác đồng dạng.
Hình là mặt cắt dọc, không phải hình chiếu ba chiều. SO=h, OB=r, SM=z, MN=\rho. Trong hình, SM=SO/2, nên MN=OB/2. Các độ dài dựng đúng tỉ lệ.
Công thức thể tích cơ bản đã học ở THCS là V_{\text{trụ}}=\pi r^2h và V_{\text{nón}}=\frac13\pi r^2h. Ta dùng hai công thức này làm kiến thức nền; đồng dạng giải thích sự thay đổi kích thước, không tự nó chứng minh hệ số một phần ba .
Thay \rho=kr, z=kh vào công thức hình nón nhỏ:
V(z)=\frac13\pi(kr)^2(kh)=k^3\left(\frac13\pi r^2h\right).
Đặt C=\pi r^2h là dung tích trụ và N=C/3 là dung tích nón. Khi đó V(z)=k^3N=\frac{k^3}{3}C. Hai hệ số cần phân biệt: phần trăm dung tích nón là k^3, còn phần so với dung tích trụ là k^3/3.
Quay lại dự đoán nửa chiều cao
Với k=\frac12, ta có V=\frac18N=\frac1{24}C. Bán kính cũng giảm một nửa, nên diện tích mặt nước giảm còn một phần tư; nhân thêm chiều cao một nửa làm thể tích còn một phần tám dung tích nón. Nếu em được \frac12N, em đã giữ nguyên bán kính; nếu được \frac18C, em đã đổi nhầm vật làm chuẩn.
Trong cốc trụ, phần nước cao h/2 có thể tích C/2. Vậy với cùng độ sâu ở cấu hình này, nước trong trụ nhiều gấp mười hai lần nước trong nón: (C/2):(C/24)=12.
3. Đổi thứ tự rót: thứ giữ nguyên là tổng lượng nước
Giả sử một lượng nước cố định được rót theo hai cách riêng biệt. Cách thứ nhất: đổ đầy cốc trụ, rồi đổ hết phần còn lại vào cốc nón đỉnh dưới; mực nước trong nón cao h/2. Cách thứ hai: dùng lại đúng lượng nước ấy, đổ đầy cốc nón trước, rồi đổ hết phần còn lại vào cốc trụ. Tìm độ cao nước cuối trong trụ.
Bước 1: tìm lượng nước ban đầu, không đoán mực nước cuối. Cách thứ nhất gồm một trụ đầy và một nón nhỏ cao nửa cốc:
W=C+\frac1{24}C=\frac{25}{24}C.
Bước 2: trừ đúng dung tích cốc được đổ đầy trước. Cốc nón đầy cần N=C/3=8C/24. Lượng còn lại:
W-N=\frac{25}{24}C-\frac8{24}C=\frac{17}{24}C.
Bước 3: đổi thể tích sang chiều cao trong hình trụ. Gọi y là mực nước tính từ đáy trụ. Diện tích đáy trụ không đổi, nên
\pi r^2y=\frac{17}{24}\pi r^2h.
Vì r>0, chia cho \pi r^2 hợp lệ và được y=\frac{17}{24}h.
Ba kiểm tra độc lập. Lượng nước đủ đầy nón vì W>N. Phần còn lại không tràn trụ vì 0<17/24<1. Cộng ngược hai lượng ở cách thứ hai: C/3+17C/24=25C/24=W. Đúng số chưa đủ nếu không kiểm tính khả thi của thao tác rót.
Một kiểm chứng có đơn vị cụ thể
Chọn r=3\,\mathrm{cm}, h=8\,\mathrm{cm}. Khi đó C=72\pi\,\mathrm{cm^3}, N=24\pi\,\mathrm{cm^3}. Phần nón cao 4\,\mathrm{cm} có bán kính 1{,}5\,\mathrm{cm} và thể tích 3\pi\,\mathrm{cm^3}. Tổng nước là 75\pi\,\mathrm{cm^3}; sau khi đầy nón còn 51\pi\,\mathrm{cm^3}. Chia cho diện tích đáy trụ 9\pi\,\mathrm{cm^2}, được y=17/3\,\mathrm{cm}, đúng bằng (17/24)\cdot8\,\mathrm{cm}.
Không trừ chiều cao 8-4 để tính lượng nước chuyển giữa hai cốc: cùng một chiều cao trong hai hình không đại diện cùng một thể tích.
4. Một công thức cho mọi mức nước hợp lệ
Thay nửa chiều cao bằng kh, với 0\le k\le1. Cách thứ nhất cho W=C+k^3N. Cách thứ hai để lại W-N=C-(1-k^3)N trong trụ. Vì N=C/3, ta có
\frac yh=\frac{W-N}{C}=1-\frac{1-k^3}{3}=\frac{2+k^3}{3}.
Vì 0\le k^3\le1, mực nước cuối nằm trong \frac23h\le y\le h. Ở k=0, lượng nước ban đầu chỉ đủ một trụ: đầy nón xong còn hai phần ba trụ. Ở k=1, cả hai cốc ban đầu đều đầy, đổi thứ tự không đổi mức đầy. Hai đầu này là trường hợp biên hợp lệ của thể tích, dù một “phần nước hình nón” ở mức không đã suy biến.
Mực nước cuối tăng theo k. Không cần đạo hàm: nếu 0\le a<b\le1, thì b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)>0. Nhưng tăng không tuyến tính: k=0,\frac12,1 cho y/h=\frac{16}{24},\frac{17}{24},\frac{24}{24}. Hai khoảng tăng chiều cao nón bằng nhau làm mực nước trụ tăng rất khác nhau.
Đo ngược. Nếu mực nước cuối trong trụ là \frac34h, mực nước nón ban đầu có bằng \frac14h không?
Gợi ý, kết luận và kiểm tra miền
Từ \frac{2+k^3}{3}=\frac34, suy ra k^3=\frac14. Vì k\ge0, k=\sqrt[3]{\frac14}\approx0{,}630, không phải một phần tư. Ta có thể mô tả nghiệm chính xác là số không âm duy nhất có lập phương bằng một phần tư; dùng máy tính chỉ để xấp xỉ.
Nếu được báo mực nước cuối là 0{,}6h, dữ liệu không phù hợp mô hình: nó nhỏ hơn 2h/3. Không cố lấy căn bậc ba ra một mức âm rồi nhận; mức âm vi phạm 0\le k\le1. Có thể hình nón có kích thước khác, có nước bị mất hoặc mô tả ban đầu không đúng; cần kiểm lại giả thiết, không chọn tùy một nguyên nhân.
5. Phản ví dụ quan trọng: đổi chiều đặt hình nón
Giờ xét một khoang hình nón có đáy tròn ở dưới, đỉnh ở trên , được nạp nước qua một lỗ nhỏ thích hợp. Nó không phải cốc miệng tròn ở trên của các phần trước. Dùng khoang này để kiểm tra xem định hướng hình nón có thật sự quan trọng không.
Khi nước cao kh từ đáy dưới, phần nước là hình nón cụt. Phần trống ở trên mới là một hình nón nhỏ, cao (1-k)h, bán kính (1-k)r. Do đó
V_{\text{nước}}=N-(1-k)^3N=\bigl[1-(1-k)^3\bigr]N.
Ở nửa chiều cao, phần trống bằng N/8, nên nước bằng 7N/8. Không dùng diện tích hình thang trong mặt cắt để thay thể tích khối nón cụt.
Với k=\frac12, khoang nón đáy dưới chứa \frac78N, trong khi cốc nón đỉnh dưới chỉ chứa \frac18N. Cùng nói “nửa chiều cao” nhưng hai lượng nước chênh gấp bảy lần.
Nếu làm lại hai cách rót, một trụ đầy cộng phần nước này cho W=C+7C/24=31C/24. Sau khi đầy khoang nón trước, còn W-N=23C/24, nên nước cuối trong trụ cao 23h/24, không phải 17h/24. Tổng quát ở hướng này:
\frac yh=1-\frac{(1-k)^3}{3}.
Kết luận về điều kiện. Hai công thức không mâu thuẫn: chúng mô tả hai hình đặt khác nhau. Trước khi gọi phần nước là một hình nón nhỏ, hãy chỉ được đỉnh của phần nước ở đâu. Hình vẽ hoặc câu mô tả phải xác định điều đó.
6. Khác kích thước: kiểm tra có đủ nước đầy nón không
Đặt cốc trụ bán kính R>0, cao H>0; cốc nón đỉnh dưới bán kính r>0, cao h>0. Khi đó C=\pi R^2H, N=\frac13\pi r^2h. Gọi \lambda=N/C>0. Lần đầu đầy trụ rồi nón cao kh vẫn cho W=C+k^3N. Nếu có đủ nước để đầy nón trước, mực nước trụ sau cùng là
\frac yH=1-\lambda(1-k^3),\qquad0\le k\le1.
Điều kiện đủ nước cho thao tác là W\ge N, tương đương \lambda(1-k^3)\le1. Khi điều kiện này đúng, vế phải tự nằm trong [0,1]: phần còn lại không âm và không vượt dung tích trụ. Nếu điều kiện sai, không thể đổ đầy nón trước; một “chiều cao âm” từ công thức chỉ báo mô hình thao tác không khả thi.
Phản ví dụ cho việc dùng công thức mà không kiểm đủ nước
Cho r=R, h=6H. Khi đó N=2C, tức \lambda=2. Nếu lần đầu nón cao nửa chiều cao của nó, tổng nước là W=C+N/8=5C/4, nhỏ hơn N=2C. Không thể đầy nón trong lần rót thứ hai. Thay máy móc cho y/H=1-2(1-1/8)=-3/4, nhưng đó không phải một mực nước vật lý.
Muốn đầy nón trong ví dụ này, phải có k^3\ge1/2, tức k\ge\sqrt[3]{1/2}. Ở đúng biên, nước vừa đầy nón và trụ rỗng.
Nếu đồng thời phóng to mọi độ dài của cả hai cốc theo cùng hệ số s>0, các dung tích nhân với s^3, các chiều cao nhân với s, còn \lambda, k và tỉ số mực nước không đổi. Nếu chỉ tăng bán kính gấp đôi, dung tích tăng gấp bốn; nếu tăng cả bán kính và chiều cao gấp đôi, dung tích tăng gấp tám.
7. Tự giải thích để biết mình đã hiểu
Hãy thử kể lại lời giải mà chưa dùng con số: xác định hình đặt theo hướng nào; lấy bán kính mặt nước từ đồng dạng; tính tổng lượng nước từ cách rót đầu; trừ dung tích được đổ đầy trước ở cách sau; cuối cùng mới đổi thể tích sang chiều cao trụ.
Một tình huống chuyển giao cuối: cùng nửa dung tích
Cốc trụ và cốc nón đỉnh dưới cùng r,h. Mỗi cốc chứa nửa dung tích của chính nó. Cốc nào có mực nước cao hơn?
Gợi ý: trụ dùng quan hệ tuyến tính, nón dùng lập phương. Trụ có nước cao h/2. Nón thỏa k^3=1/2, nên cao \sqrt[3]{1/2}\,h\approx0{,}794h, cao hơn trụ. Có thể biết lớn hơn mà không cần máy: (1/2)^3=1/8<1/2, và lập phương tăng với số không âm, nên nghiệm phải lớn hơn một phần hai. Nửa dung tích nón vẫn chỉ bằng một phần sáu dung tích trụ; mực nước cao hơn không đồng nghĩa có nhiều nước hơn.
Những sai lầm cần nhận diện là nhầm chiều cao với thể tích; dùng bán kính miệng cho mọi lớp nước; quên cốc nào làm chuẩn; bỏ hướng đặt nón; và trừ chiều cao giữa hai hình khác nhau. Cách tự kiểm tốt nhất là ghi đơn vị, kiểm hai mức rỗng và đầy, cộng ngược thể tích, rồi thử một cấu hình mới.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu