Hai đường tròn: dùng phép trừ để tìm dây chung
Từ khoảng cách đến phương trình, tìm đường chứa giao điểm, giữ điều kiện chiều đảo và phân biệt hai giao điểm với tiếp xúc trước khi chứng minh tích đoạn.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hai đường tròn: dùng phép trừ để tìm dây chung
Từ khoảng cách đến phương trình, tìm đường chứa giao điểm, giữ điều kiện chiều đảo và phân biệt hai giao điểm với tiếp xúc trước khi chứng minh tích đoạn.
1. Đường tròn có thể được đọc bằng một đẳng thức khoảng cách
Khi một hình có hai đường tròn, tìm giao điểm bằng cách giải đồng thời hai phương trình bậc hai tưởng như rất dài. Nhưng hai phương trình đường tròn đều chứa cùng phần x^2+y^2. Phép trừ có thể loại phần ấy, làm lộ đường thẳng đi qua các giao điểm.
Ta dùng tọa độ vuông góc với cùng đơn vị trên hai trục. Định lí Pythagore cho bình phương khoảng cách giữa (x,y) và (a,b) bằng (x-a)^2+(y-b)^2. Vì vậy đường tròn tâm (a,b), bán kính r>0, gồm đúng các điểm thỏa
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
Khai triển cho dạng x^2+y^2+Lx+My+N=0. Ngược lại, hoàn thành bình phương:
\left(x+\frac L2\right)^2+\left(y+\frac M2\right)^2=\frac{L^2+M^2}{4}-N.
Vế phải dương thì đây là đường tròn thực sự; bằng không thì chỉ còn một điểm; âm thì không có điểm thực. Không gọi mọi phương trình có x^2+y^2 là một đường tròn mà chưa kiểm tra điều này.
Đích của phương pháp không nhất thiết là tọa độ đầy đủ của giao điểm. Đôi khi chỉ cần phương của dây chung, hoặc một độ dài liên quan tới nó. Ta chọn lượng vừa đủ cho kết luận cần chứng minh.
2. Phép trừ cho đường chứa giao điểm, chưa cho cả giao điểm
Xét hai đường tròn khác nhau có phương trình
F_1=x^2+y^2+L_1x+M_1y+N_1=0,F_2=x^2+y^2+L_2x+M_2y+N_2=0.
Mọi điểm chung phải thỏa phương trình hiệu
(L_2-L_1)x+(M_2-M_1)y+(N_2-N_1)=0.
Nếu hai tâm khác nhau, ít nhất một trong hai hệ số của x,y khác không, nên đây là một đường thẳng. Khi có hai giao điểm phân biệt, đường đó chính là đường thẳng chứa dây chung.
Chiều đảo cần giữ thêm một phương trình đường tròn:
\begin{cases}F_1=0\\F_2=0\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}F_1=0\\F_2-F_1=0.\end{cases}
Thật vậy, từ F_1=0 và F_2-F_1=0 suy ra F_2=0. Nếu chỉ giữ phương trình hiệu, ta nhận mọi điểm trên một đường thẳng, gồm nhiều điểm không nằm trên đường tròn nào.
Một mô hình số để nhìn rõ phép trừ
Cho hai đường tròn x^2+y^2=25 và (x-4)^2+y^2=9. Tâm lần lượt là O=(0,0), S=(4,0), bán kính 5 và 3. Trừ hai phương trình cho -8x+16=-16, nên x=4. Giữ phương trình đầu, ta được 16+y^2=25, tức y=\pm3.
Hai giao điểm là (4,3) và (4,-3). Ngược lại, hai điểm này đều thỏa cả hai phương trình. Điểm (4,0) thỏa đường thẳng x=4 nhưng không thỏa đường tròn đầu: đó là phản ví dụ cho việc bỏ phương trình được giữ lại.
Hình dùng cùng tỉ lệ 18 đơn vị vẽ cho một đơn vị độ dài. Hai điểm chung nằm trên đường qua S, vuông góc với OS. Đường chung được xác định bằng phép trừ; hai điểm cụ thể được xác định bằng cách giữ lại một đường tròn.
3. Một phép thế phân biệt cắt nhau, tiếp xúc và không gặp nhau
Với hai tâm khác nhau, có thể chọn hệ trục để tâm thứ nhất là (0,0), tâm thứ hai là (d,0), trong đó d>0. Gọi bán kính là R,r>0. Hai phương trình là
x^2+y^2=R^2,\qquad(x-d)^2+y^2=r^2.
Phép trừ xác định duy nhất hoành độ chung:
x=c=\frac{d^2+R^2-r^2}{2d}.
Mẫu khác không vì hai tâm phân biệt. Khi thế vào đường tròn đầu, ta có y^2=R^2-c^2. Do đó:
- Nếu R^2-c^2>0, có hai giá trị y đối nhau, tức hai giao điểm phân biệt
- Nếu R^2-c^2=0, có một điểm chung trên đường nối tâm; hai đường tròn tiếp xúc
- Nếu R^2-c^2<0, không có giao điểm thực
Có thể liên hệ với độ dài bằng phép phân tích
4d^2(R^2-c^2)=\big((R+r)^2-d^2\big)\big(d^2-(R-r)^2\big).
Tổng hai thừa số bên phải bằng 4Rr>0, nên chúng không thể đồng thời âm. Tích không âm khi và chỉ khi cả hai không âm. Vì các độ dài đều không âm, điều đó tương đương
|R-r|\le d\le R+r.
Hai dấu nghiêm cho hai giao điểm; một dấu bằng cho tiếp xúc. Nếu hai tâm trùng nhau, d=0 và không dùng công thức chia cho 2d: hai bán kính khác nhau thì không có điểm chung, cùng bán kính thì hai đường tròn trùng nhau.
Trong mô hình R=5,d=4, nếu bán kính còn lại thay đổi, có hai giao điểm đúng khi 1<r<9. Tại r=1 hoặc r=9, chỉ có một điểm chung. Đây là cách nhận biết trước khi gọi một điểm là “giao điểm thứ hai”.
4. Chọn hệ trục để đường cao trở thành một trục
Ứng dụng chọn lọc sau dùng đúng phương pháp vừa xây dựng. Cho tam giác nhọn ABC, với AB<BC<AC, trực tâm H. Gọi P là chân đường cao từ C xuống AB; K là trung điểm AB, I là trung điểm CH. Đường tròn đường kính CH, kí hiệu \omega, và đường tròn ngoại tiếp ABC có điểm chung C. Ta sẽ kiểm tra giao điểm thứ hai Q\ne C tồn tại, rồi tìm quan hệ giữa HQ,HK,HC,HP.
Chọn P=(0,0), trục ngang theo AB, trục đứng theo PC. Vì tam giác nhọn, P nằm trong AB. Viết
A=(-u,0),\quad B=(v,0),\quad C=(0,w),\qquad u,v,w>0.
Trực tâm nằm trong tam giác nên H=(0,h), với 0<h<w. Hai tam giác vuông BPH và CPA đồng dạng: góc PBH và PCA cùng phụ với góc CAP, vì BH\perp AC. Suy ra
\frac{PH}{PB}=\frac{PA}{PC}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{uv}{w}.
Do đó hw=uv, HP=h, HC=w-h>0. Điều kiện BC<AC cho v^2+w^2<u^2+w^2, nên v<u. Điều này sẽ bảo đảm giao điểm thứ hai không nhập vào C. Thứ tự AB<BC thuộc dữ kiện đầy đủ của tình huống, nhưng các bước sau không cần dùng nó.
Trung điểm K có tọa độ ((v-u)/2,0). Bởi Pythagore,
HK^2=h^2+\frac{(v-u)^2}{4}>0.
5. Viết hai đường tròn rồi giữ lại đường chung
Tâm I của \omega là (0,(h+w)/2), bán kính (w-h)/2. Phương trình là
x^2+\left(y-\frac{h+w}{2}\right)^2=\left(\frac{w-h}{2}\right)^2,\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2-(h+w)y+hw=0.
Đường tròn ngoại tiếp ABC có phương trình
x^2+y^2+(u-v)x+(h-w)y-hw=0.
Để kiểm tra công thức này, thay A=(-u,0) và B=(v,0): mỗi vế trái đều rút thành uv-hw=0. Thay C=(0,w) cũng được không. Dạng phương trình là dạng đường tròn, và nó chứa ba điểm không thẳng hàng, nên chính là đường tròn ngoại tiếp. Không cần nhớ một công thức tâm ngoại tiếp riêng.
Lấy phương trình ngoại tiếp trừ phương trình \omega, ta thu được
(u-v)x+2h(y-w)=0.
Đường này đi qua C. Vì h>0, mọi điểm trên nó được viết duy nhất dưới dạng
x=2ht,\qquad y=w+(v-u)t,\qquad t\in\mathbb R.
Thật vậy, biểu thức tọa độ ấy thỏa phương trình đường; ngược lại, với một điểm trên đường, đặt t=x/(2h), rồi phương trình cho đúng công thức của y. Điểm C ứng với t=0.
Đặt D=4h^2+(v-u)^2=4HK^2>0. Thế biểu diễn điểm vào phương trình \omega, dạng x^2+(y-h)(y-w)=0, được
Dt^2+(v-u)(w-h)t=0\Longleftrightarrow\quad t\big(Dt+(v-u)(w-h)\big)=0.
Ngoài nghiệm t=0, có đúng một nghiệm
t_Q=\frac{(u-v)(w-h)}{D}>0.
Nó khác không vì u>v và w>h. Điểm tương ứng nằm trên \omega và trên đường phương trình hiệu, nên cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp. Như vậy Q\ne C đã được dựng bằng điều kiện đủ, không chỉ được giả sử từ hình vẽ.
6. Tính độ dài cần dùng mà không khai hết tọa độ điểm
Từ biểu diễn tọa độ của Q, bình phương độ dài CQ là
CQ^2=(2ht_Q)^2+((v-u)t_Q)^2=Dt_Q^2=\frac{(u-v)^2(w-h)^2}{D}.
Vì Q nằm trên đường tròn đường kính CH và khác C,H, tam giác CQH vuông tại Q. Điểm H không nằm trên đường phương trình hiệu: thế vào cho 2h(h-w)\ne0, nên Q\ne H thật sự. Pythagore cho
HQ^2=HC^2-CQ^2=(w-h)^2\left(1-\frac{(u-v)^2}{D}\right)=\frac{4h^2(w-h)^2}{D}.
Tất cả độ dài đang lấy đều dương. Vì HK=\sqrt D/2, chọn căn dương được
HQ=\frac{2h(w-h)}{\sqrt D},\boxed{HQ\cdot HK=h(w-h)=HP\cdot HC=2HI\cdot HP}.
Không có phép bỏ dấu giá trị tuyệt đối tùy tiện: h>0, w-h>0, D>0 đã được bảo đảm trước khi lấy căn. Mỗi vế cuối có đơn vị bình phương độ dài, phù hợp với tích hai đoạn.
Mẫu dựng u=3,v=1,w=5 thỏa AB=4<BC=\sqrt{26}<AC=\sqrt{34} và là tam giác nhọn. Có h=3/5, Q=(33/17,30/17). Hình dùng cùng tỉ lệ 25 đơn vị vẽ cho một đơn vị trên hai trục, với P làm gốc; các đường tròn, trung điểm và giao điểm đều được tính từ dữ kiện này.
7. Một giao điểm kép không phải hai điểm phân biệt
Giữ tam giác nhọn nhưng đổi thành AC=BC. Khi đó u=v, còn h>0,w>h. Phương trình đường chung trở thành y=w; phép thế cho Dt^2=0, chỉ có t=0. Hai đường tròn tiếp xúc tại C, không có Q\ne C.
Không được gọi nghiệm lặp t=0 là một giao điểm thứ hai. Công thức tích có thể cho một đẳng thức hình thức nếu tự thay Q=C, nhưng tam giác CQH đã suy biến và góc vuông tại Q không còn xác định. Phát biểu có “điểm thứ hai khác C” đã thay đổi.
Đây là một lợi ích của cách viết bằng phương trình: hệ số (u-v)(w-h) chỉ ra chính xác điều kiện làm hai nghiệm tham số nhập lại. Với mọi tam giác nhọn có AC\ne BC, cùng lập luận vẫn có giao điểm thứ hai; nếu u<v, t_Q âm, nhưng công thức bình phương độ dài và tích cuối vẫn đúng. Dấu của tham số mô tả hướng đi trên đường, không làm độ dài âm.
8. Tự kiểm tra phương pháp
Hai phương trình đường tròn có cùng hệ số của x và y nhưng khác hằng số thì sao?
Hai tâm trùng nhau. Trừ hai phương trình cho một hằng số khác không bằng không, nên không có điểm chung. Nếu cả hằng số cũng bằng nhau, hai phương trình giống hệt nhau; khi bán kính dương, có vô số điểm chung, không có một dây chung duy nhất được xác định bởi phép trừ.
Với x bình phương cộng y bình phương bằng 25 và (x trừ 4) bình phương cộng y bình phương bằng 1, có hai điểm chung không?
Không. Trừ hai phương trình cho x=5, rồi thế lại cho y=0. Chỉ có (5,0). Đây là tiếp xúc trong vì khoảng cách hai tâm 4=5-1, đúng với tiêu chuẩn đã chứng minh.
Vì sao phương pháp trên không cần tính từng tọa độ của Q đến dạng đơn giản nhất?
Ta chỉ cần CQ^2=Dt_Q^2, sau đó dùng tam giác vuông để có HQ, trong khi HK^2=D/4. Đại lượng chung D triệt tiêu ở tích cuối. Tính đúng lượng cần dùng thường ngắn và dễ kiểm tra hơn khai triển mọi tọa độ.
Chuỗi suy luận cốt lõi: viết khoảng cách thành phương trình đường tròn; trừ để tìm đường chứa giao điểm; giữ lại một đường tròn để có chiều đảo; xét số nghiệm thực và điểm trùng; cuối cùng tính đúng độ dài cần cho mục tiêu. Đó là một phương pháp dùng lại được, không phụ thuộc vào việc nhớ riêng một cấu hình trực tâm.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện