Căn của một bình phương: đọc dấu, hiểu khoảng cách, giữ đủ hai phía
Từ căn số học đến giá trị tuyệt đối và khoảng cách; đồ thị hai nhánh, phương trình/bất phương trình, biểu thức theo miền, ranh giới và phản ví dụ. Ví dụ…
THCS · TOÁN · CĂN BẬC HAI VÀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Căn của một bình phương: đọc dấu, hiểu khoảng cách, giữ đủ hai phía
Mục tiêu: giải thích vì sao căn bậc hai số học không khôi phục dấu âm; dùng khoảng cách để kiểm tra biểu thức, phương trình và bất phương trình.
Cần biết: số thực, bình phương, trục số và căn bậc hai số học. Các ví dụ, đồ thị và kiểm tra dưới đây được tự biên soạn để học khái niệm.
1. Hai thao tác trông ngược nhau nhưng không giữ mọi thông tin
Với a\ge0, \sqrt a là số không âm có bình phương bằng a. Vì 3^2=(-3)^2=9, thao tác bình phương đã làm mất thông tin dấu. Kí hiệu \sqrt9 chọn giá trị không âm 3, không đồng thời biểu thị cả 3 và −3.
Phân biệt câu hỏi: “giá trị \sqrt9 là gì?” có giá trị 3; “những số nào bình phương bằng 9?” là phương trình t^2=9, có hai nghiệm t=3 và t=-3.
Quy tắc cần hiểu: với mọi số thực u, u^2\ge0 nên \sqrt{u^2} luôn xác định. Nó có độ lớn như u nhưng không âm, vì thế \sqrt{u^2}=|u|. Trong khi đó, (\sqrt u)^2=u chỉ viết trong số thực khi u\ge0.
Ví dụ \sqrt{(-4)^2}=4. Không thể kết luận “căn và bình phương luôn triệt tiêu” rồi lấy −4. Trước khi bỏ căn, hãy hỏi dấu của cả biểu thức đang được bình phương.
2. Giá trị tuyệt đối là khoảng cách đến 0
Trên trục số, |u| đo khoảng cách từ điểm u đến 0, nên không âm. Nếu u\ge0, khoảng cách là u; nếu u<0, khoảng cách là -u. Dấu trừ trong trường hợp thứ hai làm số âm trở thành không âm.
|u|=\begin{cases}u,&u\ge0,\\-u,&u<0.\end{cases}
Với u=x-2, ranh giới không nằm ở x=0 mà ở x=2. Do đó
\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|=\begin{cases}x-2,&x\ge2,\\2-x,&x<2.\end{cases}
Hai biểu thức cho cùng giá trị 0 ở x=2. Có thể đặt dấu bằng vào nhánh dưới thay vì nhánh trên, miễn là không bỏ sót hay tạo kết luận mâu thuẫn tại ranh giới.
Dự đoán: nếu x=1 là số dương, có được bỏ căn thành x-2?
Mở gợi ý và giải thích
Gợi ý: kiểm tra dấu của x-2, không chỉ dấu của x.
Giải thích: x-2=-1, nên căn bằng 1, tức 2-x. Dấu của biến riêng lẻ chưa quyết định dấu của biểu thức bên trong.
3. Khoảng cách đến một mốc tạo đồ thị hai nhánh
|x-2| là khoảng cách từ x đến mốc 2 trên trục số. Hai điểm cách mốc như nhau có cùng giá trị: tại x=-1 và x=5, khoảng cách đều là 3. Đồ thị y=|x-2| gồm nhánh y=2-x ở bên trái và y=x-2 ở bên phải, gặp nhau tại (2,0).
Cùng tỉ lệ 60 đơn vị hình cho một đơn vị tọa độ: X=280+60x, Y=360-60y. Hình chỉ vẽ một cửa sổ của đồ thị; hai nhánh còn kéo dài ngoài cửa sổ.
Đường thẳng y=3 cắt hai nhánh tại hai điểm. Hình giúp thấy vì sao phương trình có thể có hai nghiệm; đại số kiểm lại bằng |x-2|=3, tức x-2=3 hoặc x-2=-3.
Nếu chỉ viết x-2=3, ta đã ngầm giữ phía phải của mốc và bỏ phía trái. Hai nghiệm không đến từ việc \sqrt9 có hai giá trị; chúng đến từ hai vị trí có cùng khoảng cách.
4. Khoảng cách bằng, nhỏ hơn hoặc lớn hơn một số
Với mốc bất kì c và bán kính khoảng cách r>0, có hai điểm cách c đúng r, một đoạn gồm các điểm cách không quá r, và hai miền ngoài cho khoảng cách lớn hơn r.
Quan hệ · Diễn đạt trên trục số · Điều kiện tương đương khi r > 0
|x-c|=r · Hai điểm biên. · x=c-r hoặc x=c+r.
|x-c|\le r · Trong đoạn, gồm hai đầu. · c-r\le x\le c+r.
|x-c|<r · Trong khoảng, bỏ hai đầu. · c-r<x<c+r.
|x-c|>r · Ngoài đoạn, bỏ hai đầu. · x<c-r hoặc x>c+r.
Ví dụ |x-2|\le3 tương đương -1\le x\le5; còn |x-2|>3 tương đương x<-1 hoặc x>5. Không nối hai miền ngoài bằng “và”: một số không thể đồng thời nhỏ hơn −1 và lớn hơn 5.
Ranh giới: khi r=0, phương trình và bất phương trình |x-c|\le0 chỉ nhận x=c; quan hệ |x-c|<0 vô nghiệm, còn |x-c|>0 nhận mọi x\ne c. Khi r<0, các quan hệ bằng, nhỏ hơn, nhỏ hơn hoặc bằng r đều vô nghiệm; quan hệ lớn hơn r đúng với mọi số thực x.
Các kết luận này áp dụng trực tiếp khi vế phải là số đã biết dấu. Với vế phải chứa x, phải xét dấu và điều kiện tương ứng; không bê nguyên quy tắc “hai đầu mút” mà quên vế phải cũng thay đổi.
5. Dấu tuyệt đối làm biểu thức đổi dạng theo miền
Xét biểu thức tự biên soạn F(x)=\sqrt{(x-2)^2}+x-2, xác định với mọi số thực x. Nhờ phân nhánh:
F(x)=\begin{cases}0,&x<2,\\2x-4,&x\ge2.\end{cases}
Ở nhánh trái, (2-x)+(x-2)=0. Ở nhánh phải, (x-2)+(x-2)=2x-4. Tại 2, nhánh phải cũng cho 0. Vì vậy F(x)\ge0 với mọi x, và F(x)=0 khi x\le2, không chỉ tại một điểm.
Điều kiện dấu có thể chứng minh trước, không nhất thiết dùng số thập phân. Chẳng hạn \sqrt5>2 vì cả hai không âm và 5>4. Suy ra 2-\sqrt5<0, nên \sqrt{(2-\sqrt5)^2}=\sqrt5-2. Hãy xác định dấu bằng một so sánh có căn cứ rồi mới bỏ căn.
Để kiểm bản rút gọn, chọn ít nhất một giá trị ở mỗi miền và cả điểm ranh giới. Kiểm thử giúp phát hiện lỗi nhưng không thay chứng minh tổng quát; các đẳng thức theo từng miền mới giải thích vì sao kết quả đúng cho mọi giá trị được phép.
6. Những phép “bỏ căn” nhìn giống nhau nhưng khác điều kiện
Biểu thức · Điều được phép nói trong số thực · Bẫy cần tránh
\sqrt{u^2v^2} · |uv|=|u||v|, với u,v thực. · Viết uv khi tích có thể âm.
\sqrt{u^2/v^2} · |u|/|v|, cần v\ne0. · Quên mẫu số không được bằng 0.
\sqrt{u^2+v^2} · Không âm, luôn xác định với u,v thực. · Phân phối căn qua tổng thành |u|+|v|.
\sqrt{x^2-4} · Cần x\le-2 hoặc x\ge2. · Nhầm x^2-4 với (x-2)^2.
Phản ví dụ cho phép tách tổng: \sqrt{3^2+4^2}=5, trong khi |3|+|4|=7. Còn tại x=3, \sqrt{x^2-4}=\sqrt5 nhưng \sqrt{(x-2)^2}=1; hai biểu thức khác nhau cả cấu trúc lẫn miền xác định.
Trước khi bình phương một phương trình \sqrt{A}=B, cần A\ge0 và B\ge0. Trong điều kiện đó, quan hệ tương đương A=B^2. Chỉ bình phương mà không giữ B\ge0 có thể thêm nghiệm, vì B và -B có cùng bình phương. Đây là cùng một hiện tượng mất dấu đã gặp ở phần đầu.
7. Tự kiểm tra: dấu, mốc, miền và ranh giới
Hãy dự đoán trước rồi giải thích bằng định nghĩa hoặc khoảng cách. Ghi điều kiện trước khi mở gợi ý.
1. Căn bậc hai số học của 16 có hai giá trị?
Gợi ý: phân biệt kí hiệu căn với phương trình bình phương.
Giải thích: \sqrt{16}=4; phương trình t^2=16 mới có hai nghiệm 4 và −4.
2. x dương có đủ để viết căn của (x − 2)² bằng x − 2?
Gợi ý: thử 0<x<2.
Giải thích: không. Cần x\ge2. Ví dụ x=1 cho giá trị căn là 1, không phải −1.
3. Khoảng cách tới 2 bằng 3: vì sao có hai vị trí?
Gợi ý: đi từ 2 sang trái và sang phải cùng ba đơn vị.
Giải thích: được −1 và 5. Không bỏ một phía chỉ vì căn số học không âm.
4. Khoảng cách lớn hơn 3 có cần đồng thời x < −1 và x > 5?
Gợi ý: một điểm có thể nằm ở cả hai miền ngoài không?
Giải thích: dùng “hoặc”: x<-1 hoặc x>5. Dùng “và” sẽ cho tập rỗng, khác với yêu cầu khoảng cách.
5. |x − 2| = −3 có nghiệm sau khi bình phương?
Gợi ý: xét dấu hai vế trước.
Giải thích: phương trình gốc vô nghiệm. Bình phương cho ứng viên −1 và 5 nhưng cả hai đều có khoảng cách 3, không phải −3.
6. F(x) bằng 0 chỉ tại x = 2?
Gợi ý: kiểm tra toàn nhánh trái ở mục 5.
Giải thích: F(x)=0 với mọi x\le2. Hai hạng triệt tiêu trên cả miền ấy, không chỉ ở ranh giới.
7. Tách căn qua tổng hai bình phương luôn đúng?
Gợi ý: dùng cặp 3 và 4.
Giải thích: không, căn của tổng là 5, tổng hai giá trị tuyệt đối là 7. Một phản ví dụ đủ bác bỏ khẳng định “luôn đúng”.
8. Đổi gốc khoảng cách từ 2 sang c có đổi định nghĩa?
Gợi ý: nhìn biểu thức |x-c|.
Giải thích: định nghĩa không đổi: khoảng cách từ x tới c. Ranh giới phân nhánh chuyển tới x=c; khoảng cách đúng r>0 cho hai vị trí c-r,c+r.
Quy trình: kiểm tra miền thực → xác định biểu thức được bình phương → đổi căn thành giá trị tuyệt đối → tìm mốc đổi dấu → xét từng miền và điểm biên → kiểm tra lại bằng khoảng cách hoặc thay vào biểu thức gốc.
THCS · Ví dụ và đồ thị tự biên soạn · Dấu và điều kiện là một phần của kết quả.